Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

 UBND HUYỆN GIA LÂM
 ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2020-2021. 
 MÔN: TOÁN
Câu 1.(2.0 điểm). Cho đa thức f x x3 ax2 bx c trong đó a,b,c ¡ . Biết rằng khi chia 
 đa thức f x cho đa thức x 2 thì được dư là 5, còn chia đa thức f x cho đa thức 
 x 1 thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức a2019 b2019 b2020 c2020 c2021 a2021 .
Câu 2.(2.0 điểm). Giải các phương trình sau:
 x3 3x3
 a) x 2 x 1 x 1 1. b) x3 2.
 x 1 3 x 1
 n n
 5 3 5 1 5 5 3 5 1 5 *
Câu 3.(2.0 điểm). Cho f n . với n ¥ .
 10 2 10 2 
 Tính f n 1 f n 1 .
Câu 4.(2.0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết
 1 1 1 1 1 1 
 1 1  1 . 1 2  x 1612.
 2 2 2 2 2 2 
 2 3 3 4 14 15 
Câu 5.(2.0 điểm). Cho các số p và p2 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 2 cũng là 
 số nguyên tố.
Câu 6.(2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho PA 3cm, 
 PD 4cm,PC 5cm . Tính độ dài đoạn thẳng PB .
Câu 7.(2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ 
 và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình 
 của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả 
 các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân 
 nhiều hơn. 
 2ab  
Câu 8.((2.0 điểm) Cho tan x , trong đó a b 0 và 0 x 90 .
 a2 b2
 Hãy biểu diễn sin x theo a;b.
Câu 9.(2.0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 2020 . Tìm giá trị nhỏ 
 nhất của biểu thức P 2a2 ab 2b2 2b2 bc 2c2 2c2 ca 2a2
Câu 10.(2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý 
 của S là một số chính phương. (Ví dụ S 5;20;44 hoặc S 10;5;90 là các tập hợp 
 thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ.
 HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 UBND HUYỆN GIA LÂM
 NĂM HỌC 2020-2021. 
 MÔN: TOÁN
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.(2.0 điểm). Cho đa thức f x x3 ax2 bx c trong đó a,b,c ¡ . Biết rằng khi chia 
 đa thức f x cho đa thức x 2 thì được dư là 5, còn chia đa thức f x cho đa thức 
 x 1 thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức a2019 b2019 b2020 c2020 c2021 a2021 .
 Lời giải
 Gọi thương trong phép chia đa thức f x cho đa thức x 2và x 1 lần lượt là P x và 
 Q x 
 Theo đề ra ta có f x x 2 P x 5 1 
 f x x 1 Q x 4 2 
 do với mọi x nên:
 - Thay x 2 vào 1 ta có: 8 4a 2b c 5 3 
 - Thay x 1vào 2 ta có: 1 a b c 4 4 
 Từ 3 và 4 suy ra 4a 2b c a b c 3 3a 3b a b
 a2019 b2019 a2019 b2019 0 a2019 b2019 b2020 c2020 c2021 a2021 0 .
Câu 2.(2.0 điểm). Giải các phương trình sau:
 x3 3x3
 a) x 2 x 1 x 1 1. b) x3 2.
 x 1 3 x 1
 Lời giải
 a) Điều kiện: x 1
 Ta có: x 2 x 1 x 1 1
 x 1 2 x 1 1 x 1 1
 2
 x 1 1 x 1 1
 x 1 1 x 1 1 x 1 1 0 x 1 1 x 2 (TMĐK)
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S x ¡ / x 2 .
 b) ĐK: x 1
 x3 3x2
 Ta có: x3 2
 x 1 3 x 1
 3
 x x x 3x2
 x 3x. . x 2
 x 1 x 1 x 1 x 1
 3
 x2 x2 x2 3x2
 3. . 2
 x 1 x 1 x 1 x 1
 3 2
 x2 x2 3x2
 3. 1 1
 x 1 x 1 x 1
 2 3 2 2
 x x x 2
 1 1 1 1 2 x 2x 2
 x 1 x 1 x 1
 2
 x 1 1 0 (phương trình vô nghiệm)
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  .
 n n
 5 3 5 1 5 5 3 5 1 5 *
Câu 3.(2.0 điểm). Cho f n . với n ¥ .
 10 2 10 2 
 Tính f n 1 f n 1 .
 Lời giải
 f n 1 f n 1 
 n 1 n 1 n 1 n 1
 5 3 5 1 5 5 3 5 1 5 5 3 5 1 5 5 3 5 1 5 
 10 2 10 2 10 2 10 2 
 n 1 2 n 1 2
 5 3 5 1 5 1 5 5 3 5 1 5 1 5 
 1 1 
 10 2 2 10 2 2 
 n 1 n 1
 5 3 5 1 5 1 5 5 3 5 1 5 1 5
 . .
 10 2 2 10 2 2
 n n
 5 3 5 1 5 5 3 5 1 5 
 f n 
 10 2 10 2 
 Vậy f n 1 f n 1 f n .
Câu 4.(2.0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết 1 1 1 1 1 1 
 1 1  1 . 1 2  x 1612.
 2 2 2 2 2 2 
 2 3 3 4 14 15 
 Lời giải
 2 2
 1 1 n2 n 1 n 1 n2 n4 n2 1 2n3 2n2 2n
 Ta thấy 1 
 n2 n 1 2 n2 n 1 2 n2 n 1 2
 2 2
 n n 1 1 1 n2 n 1 1 1
 1 1 
 n2 n 1 2 n2 n 1 2 n n 1 n n 1
 Áp dụng với n 2,3,4...,14 ta có:
 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 ... 1 
 22 32 32 42 42 52 142 152
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
 1 1 1 ... 1 13 13
 2 3 3 4 4 5 14 15 2 15 30
 13 x x 1 403x x 1 
 Khi đó phương trình đã cho 13 . 1612 1612
 30 2 60
 x x 1 240 x2 2 240 0 x 15 x 16 0
 x 15 0 do x 16 16 0 x 15
 Vậy x 15.
Câu 5.(2.0 điểm). Cho các số p và p2 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 2 cũng là 
 số nguyên tố.
 Lời giải
 - Xét p 2 thì p2 2 4 2 6 (loại). Vì 6 không là số nguyên tố.
 - Xét p 3 thì p2 2 9 2 11 (nhận). Vì 11 là số nguyên tố.
 Suy ra, p3 2 33 2 29 (nhận). Vì 29 là số nguyên tố.
 - Xét p 3 .
 Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 (1).
 Mà p ¢ suy ra p2 là số chính phương (2).
 Từ (1), (2) suy ra p2 chia cho 3 dư 1.
 p2 2 chia hết cho 3. (3)
 Mặt khác, p 3 p2 9 p2 2 11 (4)
 Từ (3), (4) suy ra p2 2 là hợp số (trái với đề bài). Vậy p 3 thỏa mãn bài toán.
Câu 6.(2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho 
 PA 3cm, PD 4cm, PC 5cm . Tính độ dài đoạn thẳng PB .
 Lời giải
 Qua P kẻ đường thẳng HK / /CD, H AD, K BC HK  AD, HK  BC
 Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ta có:
 PA2 PD2 PH 2 HA2 PH 2 HD2 HA2 HD2
 PB2 PC 2 PK 2 KB2 PK 2 KC 2 KB2 KC 2
 Ta chứng minh được HA KB, HD KC
 PA2 PD2 PB2 PC 2 PB2 PA2 PD2 PC 2 PB2 32 42 52 18
 PB 18 3 2 cm .
Câu 7.(2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ 
 và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình 
 của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả 
 các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân 
 nhiều hơn.
 Lời giải
 Gọi số bác sỹ là a (người) a N * 
 Nhiệt độ trung bình của các bác sỹ là x (độ)
 Số bệnh nhân là y (người) y N * 
 Nhiệt độ trung bình của bệnh nhân là y (độ) y x 
 Theo đề bài ta có: x y ax by
 x y a b 2 ax by ax ay bx by 2ax 2by
 2 a b
 ax by bx ay 0 a b x y 0
 Mà x khác y nên a b 0 a b
 Vậy số bác sỹ và số bệnh nhân bằng nhau.
 2ab
Câu 8.(2.0 điểm) Cho tan x , trong đó a b 0 và 00 x 900 .
 a2 b2
 Hãy biểu diễn sin x theo a;b.
 Lời giải
 Vẽ tam giác ABC vuông tại A có 
 AC 2ab, AB a2 b2
 Khi đó số đo góc B chính là số đo x
 Áp dụng định lý Pytago vào tam giác 
 ABC ta có: BC 2 AB2 AC 2
 2
 BC AB2 AC 2 (a2 b2 )2 4a2b2 a2 b2 BC a2 b2
 2ab
 Khi đó ta có sin x 
 a2 b2
Câu 9.(2.0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a b c 2020 . Tìm giá trị nhỏ 
 nhất của biểu thức P 2a2 ab 2b2 2b2 bc 2c2 2c2 ca 2a2
 Lời giải
 Ta có 4 2a2 ab 2b2 5 a2 2ab b2 3 a2 2ab b2 
 5 a b 2 3 a b 2 5 a b 2
 5
 2 2a2 ab b2 5 a b 2a2 ab b2 a b 1 
 2
 Dấu bằng xảy ra khi a b .
 5
 Tương tự ta có: 2 2b2 bc c2 5 b c 2b2 bc c2 b c 2 
 2
 5
 2 2c2 ac a2 5 c a 2c2 ac a2 c a 3 
 2
 Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có:
 5
 P 2a2 ab b2 2b2 bc c2 2c2 ca a2 .2 a b c 2020 5
 2 2020
 Dấu bằng xảy ra khi a b c .
 3
 2020
 Vậy min P 2020 5 a b c .
 3
Câu 10.(2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý 
 của S là một số chính phương. (Ví dụ S 5;20;44 hoặc S 10;5;90 là các tập hợp 
 thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ.
 Lời giải
 Ta đã biết số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1.
 Xét tập S {a,b,c} thỏa yêu cầu.
 • Nếu a,b,c là các số lẻ thì (a b)4 , (b c)4 và (a c)4 .
 Khi đó a b b c (a c) 2b4 .
 Suy ra b là số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ).
 • Nếu a,b là các số lẻ và c chẵn thì (a b)4 , (b c) (a c)4 .
 Khi đó a b (b c) (a c) 2b4 .
 Suy ra b là số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ).