Đề chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm 2020 - Phòng GD&ĐT Chương Mỹ (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VềNG 2 - NĂM 2020
Cõu 1:(3,0 điểm)
 1. Chứng minh rằng: 20192019 20212020 2020 .
 2. Tỡm cỏc số tự nhiờn n để n 24 và n 65 là số chớnh phương.
 x y xy
Cõu 2:(4,0 điểm) Cho H .
 x y xy y x xy x y x 1 xy y
 Tỡm x, y nguyờn để H 20.
Cõu 3:(3,0 điểm) 
 x y z a b c
 1. Cho cỏc số a,b,c, x, y, z dương thỏa món: 1 và 0 .
 a b c x y z
 x y z
 Tớnh giỏ trị của biểu thức M 2019 .
 a b c
 2. Giải phương trỡnh: 2x2 16x 6 4 x x 8 .
Cõu 4:(4,0 điểm) 
 1. Tỡm a,b để f x x4 2x3 x2 x a 4 b 2 viết thành bỡnh phương của một đa 
 thức.
 2. Cho a,b là cỏc số dương thỏa món 1 a 1 b 4,5. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 
 thức Q a4 1 b4 1.
 a b c b c a
 3. Cho a,b,c dương sao cho 1. Chứng minh: 1.
 b c a a b c
Cõu 5:(7,0 điểm) 
 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AB AC , đường cao AH ( H thuộc BC ). Kẻ 
 HD, HE lần lượt vuụng gúc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Đường thẳng qua 
 A vuụng gúc với DE cắt BC tại I .
 a) Chứng minh: I là trung điểm của BC .
 b) Kẻ đường thẳng vuụng gúc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh AB 
 là tia phõn giỏc của gúc KAH .
 c) Chứng minh: AD.BD AE.EC AI 2 .
 2. Cho tam giỏc ABC , kẻ cỏc đường phõn giỏc trong AD, BE,CF của tam giỏc ABC .
 a) Chứng minh AB.BD BD.DC AD2 .
 1 1 1 1 1 1
 b) Chứng minh: .
 AB AC BC AD BE CF LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VềNG 2 
 NĂM 2020
Cõu 1:(3,0 điểm)
 1. Chứng minh rằng: 20192019 20212020 2020 .
 2. Tỡm cỏc số tự nhiờn n để n 24 và n 65 là số chớnh phương.
 Lời giải
 1. Ta cú: 20192019 1 20212020 1 20192019 20212020 
 Mà 20192019 1 2019 1 20192018 20192017 20192016  1 (1)
 20212020 1 2021 1 20212019 20212018 20212017  1 (2)
 Cộng vế (1) và (2) ta được:
 2018 2017 2016 2019 2018 2017 
 2020. 2019 2019 2019  1 2021 2021 2021  1 2020
 .
 n 24 k 2
 2. Đặt 
 2
 n 65 h
 k 2 24 h2 65 .
 Với k,h 0 ta cú: k h k h 89 1.89 89.1 
 k h 1 k 45
 +) TH1: 
 k h 89 h 44
 Khi k 45 n 24 452 n 2001 
 k h 89 k 45
 +) TH2: 
 k h 1 h 44(KTM )
 Vậy với n 2001 thỡ n 24 và n 65 là số chớnh phương.
 x y xy
Cõu 2:(4,0 điểm) Cho H .
 x y xy y x xy x y x 1 xy y
 Tỡm x, y nguyờn để H 20.
 Lời giải
 ĐKXĐ: x, y 1; x, y 0 .
 Ta cú: x y xy y x y y x y x y 1 y 
 x xy x y x x y x y x y x 1 
 x 1 xy y x 1 y x 1 x 1 1 y 
 x x 1 y 1 y xy x y 
 Khi đú H 
 x y 1 y x 1 
 x x x y y y xy x xy y
 H 
 x y 1 y x 1 x y x y x xy y xy 
 H 
 x y 1 y x 1 
 x y x xy y xy
 H 
 1 y x 1 
 x x y xy y 1 x 1 x 
 H 
 1 y x 1 
 x x 1 y x 1 y 1 x 1 x 
 H 
 1 y x 1 
 x y y 1 x x y y y x
 H 
 1 y 1 y
 x 1 y 1 y y 1 y 
 H 
 1 y
 H x 1 y y x xy y
 Ta cú H 20 x xy y 20 x y 1 y 1 19
 y 1 x 1 19 19.1 1.19 1 . 19 19 . 1 
 y 1 1 y 0
 TH1: 
 x 1 19 x 400
 y 1 19 y 324
 TH2: 
 x 1 1 x 4
 y 1 1
 TH3: loại
 x 1 19
 y 1 19
 TH4: loại
 x 1 1
 Vậy với x 400; y 0 hoặc x 4, y 324 thỡ H 20.
Cõu 3:(3,0 điểm) 
 x y z a b c
 1. Cho cỏc số a,b,c, x, y, z dương thỏa món: 1 và 0 .
 a b c x y z
 x y z
 Tớnh giỏ trị của biểu thức M 2019 .
 a b c
 2. Giải phương trỡnh: 2x2 16x 6 4 x x 8 .
 Lời giải
 x y z x y z 2 xy 2 yz 2 xz
 1. Từ 1 1 
 a b c a b c ab bc ac x y z ayz bxz cxy
 2. 1 (1)
 a b c abc
 a b c ayz bxz cxy
 Mà 0 0 
 x y z xyz
 ayz bxz cxy 0 (2)
 x y z
 Từ (1) và (2) suy ra 1.
 a b c
 x y z
 Do đú M 2019 1 2019 2020 .
 a b c
 2. Đk: x 0 hoặc x 8 
 2x2 16x 6 4 x x 8 
 x2 8x 3 2 x x 8 (1)
 Đặt t x x 8 t 0 t 2 x2 8x 
 2 2 t 1
 (1) t 3 2t t 2t 3 0 
 t 3
 Ta thấy t 1 khụng thỏa món đk.
 2 x 1
 Với t 3 x 8x 9 (tmđk)
 x 9
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 1; 9.
Cõu 4:(4,0 điểm) 
 1. Tỡm a,b để f x x4 2x3 x2 x a 4 b 2 viết thành bỡnh phương của một đa 
 thức.
 2. Cho a,b là cỏc số dương thỏa món 1 a 1 b 4,5. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 
 thức Q a4 1 b4 1.
 a b c b c a
 3. Cho a,b,c dương sao cho 1. Chứng minh: 1.
 b c a a b c
 Lời giải
 1. Biến đổi
 f x x4 x2 1 2x3 2x 2x2 ax 2x b 1 
 2
 x2 x 1 a 2 x b 1 
 a 2 0 a 2
 Để f x trở thành bỡnh phương của một đa thức thỡ 
 b 1 0 b 1
 Vậy với a 2,b 1 thỡ f x trở thành bỡnh phương của một đa thức.
 7
 2. Ta cú: 1 a 1 b 4,5 a b ab .
 2 Ta xột 4 số thực a,b, x, y ta cú bất đẳng thức sau:
 2
 a2 b2 x2 y2 a2 b2 x2 y2 2 a2 b2 x2 y2 
 a2 b2 x2 y2 2 ax by a2 b2 x2 y2 2ax 2by a x 2 b y 2
 a2 b2 x2 y2 a x 2 b y 2
 Áp dụng vào bài toỏn ta cú:
 2 2 2
 Q a2 12 b2 12 a2 b2 1 1 2 
 2
 2 3 2 3 2 
 Mà a 2a. 3 2 2 a (1)
 2 2 
 2
 2 3 2 
 b 3 2 2 b (2)
 2 
 a2 b2 3 2 2
 ab a2 b2 3 2 2 ab (3)
 2 2 
 Cộng (1), (2) và (3) lại ta được:
 2
 3 2 2 2 3 2 
 a b 2 3 2 2 ab a b 
 2 2 
 3 2 7
 a2 b2 11 6 2 3 2 2 . 
 2 2
 Hay a2 b2 11 6 2
 2
 9 1 a 1 b 2 a b 3
 (Cỏch khỏc: 1 a 1 b a b 3 2 2 
 2 2 2 2
 2
 3 2 2
 2 
 Mặt khỏc: a b 2 a2 b2 a2 b2 11 6 2 )
 2
 2
 Do đú Q 11 6 2 4 87 12 2 
 3 2 2
 Dấu “=” xảy ra a b 
 2
 3 2 2
 Vậy MinQ 87 12 2 khi a b 
 2
Cõu 5:(7,0 điểm) 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AB AC , đường cao AH ( H thuộc BC ). Kẻ 
 HD, HE lần lượt vuụng gúc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Đường thẳng qua 
 A vuụng gúc với DE cắt BC tại I .
a) Chứng minh: I là trung điểm của BC .
b) Kẻ đường thẳng vuụng gúc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh AB 
là tia phõn giỏc của gúc KAH .
c) Chứng minh: AD.BD AE.EC AI 2 .
2. Cho tam giỏc ABC , kẻ cỏc đường phõn giỏc trong AD, BE,CF của tam giỏc ABC .
a) Chứng minh AB.BD BD.DC AD2 .
 1 1 1 1 1 1
b) Chứng minh: .
 AB AC BC AD BE CF
 Lời giải
1.
 K
 B
 H
 D
 I
 J
 4 G
 1 2
 3
 C
 A E
a) Gọi giao điểm của DE với AH , AI lần lượt tại J;G 
Tứ giỏc ADHE là hỡnh chữ nhật Hã AE Jã AE ?
 à ã
Mà A1 HAE 90 (hai gúc phụ nhau)
 à ã
 A3 JEA 90 ( AGE vuụng)
 à à
Do đú A1 A3 
 à à ã à à
Vỡ A1 C (cựng phụ HAC ) A3 C AIC cõn tại I AI IC 
Tương tự: AI BI 
Vậy IB IC IA .
b) Ta cú AIB cõn tại I IãBA IãAB ảA IãAB 90
 4 ã ã à
mà và HAC IBA (cựng phụ A1 )
 à ã
 A1 HAC 90
 à ả
Do đú: A1 A4 
 AB là phõn giỏc của Hã AK 
 AD.DB HD2 
c) Ta cú: AD.DB AE.EC HD2 HE 2 DE 2 AH 2 
 2 
 AE.EC HE  
Xột AHI vuụng tại H , ta cú AH 2 AI 2 
Do đú AD.DB AE.EC AI 2 .
2. 
 M
 A
 2 1
 E
 F
 J
 B C
 D
 K
a) Lấy K thuộc tia đối của tia DA sao cho ãAKB ãACB 
 AD AC
Vỡ ACD ∽ AKB (g.g) AB.AC AD.AK (1)
 AB AK
 DC AC AD
Vỡ DAC ∽ DBK (g.g) DC.BD DK.AD (2)
 DK BK BD
Trừ (1), (2) suy ra AB.AC DC.BD AD. AK KD AD.AD AD2 
b) Kẻ BM //AD , cắt đường thẳng AC tại M 
 ABM cõn tại A AM AB 
Theo BĐT tam giỏc: MB AM AB MB 2AB AD CA AC AC
Do AD//BM (do CM AC AM ; AM AB )
 BM CM AC AM AC AB
 AD AC
 BM AC AB
 AC AC.2AB 2AB.AC
 AD .BM 
 AC AB AC AB AC AB
 1 AC AB 1 1 1 1 1 
 . 
 AD 2AB.AC 2AC 2AB 2 AC AB 
 1 1 1 1 
Tương tự: . 
 BE 2 AB BC 
 1 1 1 1 
 . 
 CF 2 AC BC 
 1 1 1 1 1 1
Cộng vế với vế, ta được: .
 AD BE CF AB BC AC