Đề cương ôn tập giữa học kỳ I môn Toán Lớp 9

ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ I – TOÁN 9
Phần I. ĐẠI SỐ
Chương 1. Căn bậc hai – Căn bậc ba. 
A. Tóm tắt lý thuyết
x=a ⟺ x≥0x2=a
A xác định ⟺A≥0
A2=A
AB=A.B với A, B ≥0 
AB=AB với A ≥0, B>0
A2B=AB với A, B ≥0
AB=A2B (A≥0)-A2B (A<0)
AB=ABB B>0
CA±B=C(A∓B)A-B2 (A≥0, A≠B2)
CA±B=CA∓BA-B(A, B ≥0, A≠B)
x=3a⟺x3=a
3AB=3A.3B
3AB=3A3B(B≠0)
3A3B=A3B
B. Các dạng bài tập
Gồm 7 dạng chính: 
+ Tìm ĐKXĐ của biểu thức
+ So sánh các số vô tỉ
+ Phân tích biểu thức thành nhân tử
+ Rút gọn biểu thức chứa căn
+ Chứng minh đẳng thức 
+ Giải phương trình vô tỉ
+ Bài toán rút gọn tổng hợp
1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức
Phương pháp: Dùng hằng đẳng thức A2=A, nếu biến dưới mẫu thì mẫu khác 0, dùng cách giải bất phương trình tích/thương để tìm ĐKXĐ của biểu thức
VD: Tìm x để biểu thức có nghĩa
a) -4x xác định ⟺-4x≥0⟺x≤0
b) x3 xác định ⟺x3≥0⟺x≥0
c) 1x-3 xác định ⟺x-3≥0x-3≠0⟺x-3>0⟺x-3>0⟺x>3
2. So sánh các số vô tỉ
Phương pháp: Áp dụng các phép biến đổi đưa thừa số vào trong/ra ngoài dấu căn rồi sau đó dùng định lí a<b⟺a<b (a,b ≥0)
VD: So sánh các số sau
a) 38 và 64
Ta có: 38=32.8=72
Vì 72 > 64 ⟹64 64
b) 3 và 22
Ta có 3=9 ; 22=22.2=8. Vì 8 < 9 ⟹8<9⟹22<3
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp: Áp dụng các phương pháp đã học (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách hạng tử,...) để đưa về dạng tích
VD: Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử
a) 24+12=4.6+3.4=4(6+3)
b) xy+x+y+1=xy+1+y+1=(y+1)(x+1)
c) x+2xy-5y x,y≥0=x2+2xy+y2-4y=x+y2-2y2
 =x+y-2yx+y+2y=(x-y)(x+3y)
4. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Phương pháp: 
+ C1: Dùng các phép biến đổi căn bậc hai đưa về các căn thức đồng dạng
+ C2: Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai và hằng đẳng thức để rút gọn
VD: Rút gọn các biểu thức
a) A=3+412-75=3+44.3-25.3=3+4.23-53=43
b) B=21+6-21-6=21-61+61-6+21+61+61-6=2-26-2+261-6=0
c) C=(1-6)2-6+22=1-6-6+2=6-1-6-2=-3
d) D= 
VD2: Rút gọn biểu thức sau
a) A=x2-6x+9-3x x≥2=(x-3)2-3x=x-3-3x (x≥2)=-2x-3
b) B=3x-9y2x-6yx,y≥0, x≠9y=3(x-3y)2(x-3y)=32
c) C=2x+2xx+1-x2+xx-x+1x≥0
=2x-x(xx+1)x-x+1=2x-xx+1x-x+1x-x+1=2x-xx+1=x-x
5. Chứng minh đẳng thức
VD: Chứng minh đẳng thức sau
a) 223-2+(1+22)2-26=9
Biến đổi vế trái, ta có: VT = 223-2+1+222-26
=26-42+1+42+8-26=9 = VP ⟹ Đpcm
b) 2+3+2-3=6
VT=2[2+3+2-3]2=4+23+4-232=(3+1)2+(3-1)22=3+1+|3-1|2=3+1+3-12=232=6=VP⟹Đpcm
6. Giải phương trình vô tỉ cơ bản
Dạng 1: A2=B⟺B≥0A=B
Dạng 2: A=B⟺B≥0 A=B2
Dạng 3: A=B⟺A≥0 ;B≥0)A=B
Dạng 4: A2=B2⟺A=B⟺A=±B
VD: Giải các phương trình sau
a) 2x-12=x⟺x≥02x-1=x ⟺x≥02x-1=x hoặc 2x-1=-x
 ⟺x≥0x=1 hoặc x=13⟺x=1 hoặc x=13
Vậy nghiệm của phương trình là x=1; x=13
b) 2x-3=2⟺2x-3≥02x-3=2⟺x≥322x=5⟺x≥32x=52⟺x=52
Vậy nghiệm của phương trình là x = 52
c) 2x-3=x-1
Điều kiện: 2x-3≥0x-1≥0⟺x≥32x≥1⟺x≥32
Phương trình ⟺2x-3=x-1⟺2x-x=-1+3⟺x=2 (nhận)
Vậy nghiệm của phương trình x = 2
d) 4x2+4x+1=x2-6x+9⟺2x-12=x-32
 ⟺2x-1=x-3 hoặc 2x-1=3-x⟺x=-2 hoặc x=43
Vậy nghiệm của phương trình x=-2;x=43
7. Bài toán rút gọn tổng hợp
VD: Cho biểu thức P=a2-12a2.(a-1a+1-a+1a-1)
a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức P; 
b) Rút gọn P; c) Tìm a để P < 0
Giải:
a) ĐKXĐ: a≥0a≠0a-1≠0⟺a≥0a≠0a≠1⟺a≥0a≠1
b) P=(a.a2a-12a)2.[a-1a-1a-1a+1-a+1a+1a-1a+1]=a-12a2.a-2a+1-a-2a-1)a-1
 =(a-1)2(2a)2.-4aa-1=a-124a.-4aa-1=-1(a-1)a=1-aa
c) P < 0 ⟺1-aa<0 (với a≥0,a≠1)
⟺1-a>0a 0
⟺a 1a>0⟺a 1(nhận)
Vậy a > 1 thì P < 0
C. Luyện tập
1. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau
-5x;12x-3;3x-511;-72x+3;x2-1;x2-5x+6;x2-2x-3;x2+1;
2x+3;-34-x;x2-6x+9;x2-4.
 2. So sánh các số vô tỉ
a) 5 và 22 
b) 2 và 8
c) 12 và 410
d) 2+3 và 5+2
3. Phân tích biểu thức thành nhân tử
a) 3+15-2-25	
b) 2x+2y+xy+y x,y ≥0
c) xx+yy x,y≥0	
d) a+3a-10 a≥0
e) x-y x,y≥0	
f) x-2xy+y x,y≥0
4. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
a) A=x2-4x+4+4x2 với x=4
b) B=x2-2x5+5+x với x=5
c) C=a2-2ab+b+b2 với a=2;b=3
d) D=x2-8x+16+9x2 với x=2
5. Rút gọn biểu thức	
1) A = 
2) B = 
3) C = với và 
4) D = 
5) A = ()()
6) B = 
7) C = 
8) D = 
9) A = với a≥0,a≠1
10) B = 
11) C = 
12) D = 
13) A = 
14) B = 
15) C = 
16) D = 
17) A = 
18) B = 
6. Giải các phương trình
a) x2-4x+4=2
b) 4x2+4x+1=4
c) x2+12x+36=3x
d) 3x+9x-16x=x+1
e) 2x+1=3x
f) (x+1)2=9x2
7. Cho biểu thức A=1+ab+b1+a.(1+b-b1-b)
a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức A
b) Rút gọn A
8. Cho biểu thức B=xx-1x-1+x:x-1x-1
a) Tìm ĐKXĐ của B
b) Tính B tại x = 6 - 25
9. Cho biểu thức C=xx+3+2xx-3-3x-9x-9
a) Tìm ĐKXĐ của C
b) Rút gọn C
c) Tìm x để C = 13
d) Tìm giá trị lớn nhất của C
10. Cho biểu thức P=xx-1x-x-xx+1x+x:2x-2x+1x-1
a) Tìm ĐKXĐ của P
b) Rút gọn P
c) Tìm x nguyên để P đạt giá trị nguyên
Phần II. HÌNH HỌC
Chương I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: ∆ABC A=90o,
Kẻ AH⊥BC (H∈BC):
a2=b2+c2Py-ta-go; c2=ac'; b2=ab'
h2=b'c'; bc=ah; 1h2=1b2+1c2
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: ∆ABC A=90o
sinB=đốihuyền=ACBC;
cosB=kềhuyền=ABBC;
tanB=đối kề=ACAB;
cotB=kềđối=ABAC
3. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau:
“Nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”
Vậy trong ∆ABC A=90o có B;C là 2 góc phụ nhau nên:
sinB=cosC
cosB=sinC;
tanB=cotC;
cotB=tanC
4. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: 
“Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc côsin góc kề
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề.”
Vậy trong ∆ABC A=90o ta có các hệ thức
AC = BC.sinB=BC.cosC
AC = AB.tanB=AB.cotC
AB = BC.sinC = BC.cosB
AB = AC.tanC = AC.cotB
B. Bài tập
1. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 4cm, AC = 7,5cm. Tính HB, HC.
2. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 6cm, BH = 3cm. Tính AH, AC, CH.
3. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Tính diện tích ∆ABC biết AH = 12cm, 
BH = 9cm.
4. Cho ∆ABC biết BC = 7.5cm, AC = 4.5cm, AB = 6cm.
∆ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của ∆ABC.
Tính độ dài các cạnh BH, HC.
5. Giải ∆ABC vuông tại A, biết BC = 20cm, B=300
6. Giải ∆DEF vuông tại D, biết DE = 15cm, EF = 30cm
7. Giải ∆ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, AC = 12cm (độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, góc làm tròn đến độ)
8. Giải ∆ABC vuông tại A, biết AB = 7cm, AC = 24cm (làm tròn như trên)
9. Giải ∆ABC vuông tại A biết AB = 3cm, B=60o
 10. Giải tam giác vuông ABC (hình bên) vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8 cm 
(Góc làm tròn đến phút)
11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 12 cm, HC = 9 cm.	
a) Tính độ dài HB, BC, AB, AC
b) Kẻ . Tính độ dài HD và diện tích tam giác AHD.
12. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm.
	1/ Giải tam giác vuông ABC
	2/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC:
	a/ Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH.
	b/ Tính: EAEB + AFFC
13. Dựng gócbiết sin = 0,6. Hãy tính tan.
ĐỀ 1
1. Tìm x để biểu thức có nghĩa
a) x-2	b) 9-2x	c) x2+1	d) -22x-1
2. Tính 
a) -5.45; 	b) 12-27+3; 
c) 7+26+7-26
3. Giải phương trình 
a) 3x-2=6	b) (x-1)2=5
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AM. Biết AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ ME vuông góc với AB
a) Tính BC, B,C; 
b) Tính AM?BM?; 
c) CMR: AE.AB = AC2 – MC2
ĐỀ 2
1. Rút gọn biểu thức
a) A = 1232+98-1618; b) B = 4-15-4+15; 
c) C = 35+3-23-5
2. Giải phương trình
a) x+x9-134x=5; 	b) x2-9-2x-3=0; 
c) x-3+5-x=2
3. Cho P = aa-1-4-6a1-a--3a+1
a) Tìm ĐKXĐ của P
b) Rút gọn P và tính P tại a=4-23
c) Tìm a nguyên để P đạt giá trị nguyên
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 16cm
a) Tính AH, AB, AC
b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đo góc AMB (làm tròn đến phút)
c) Kẻ AK vuông góc với BM (K Î BM). CMR DBKC đồng dạng với DBHM
ĐỀ 3
1. Tính
a) 32x-58x+718x ;	b) 13+5+13-5
2. Giải phương trình
a) 9x+9+x+1=20;	b) x-8=2x-3
3. Cho A = 1x+2x-1x+2:1-xx+4x+4
a) Tìm ĐKXĐ của A
b) Rút gọn A 
c) Tìm x để A = 53
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 18cm, HC = 32cm
a) Tính AH, AB, AC
b) Tính số đo góc B và góc C
c) Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Tính BD?
5. Chứng minh đẳng thức aa+bba+b-ab=(a-b)2 với a, b > 0
ĐỀ 4
1. Tìm x để biểu thức có nghĩa
a) -3x+1;	b) 2x+32;	c) -2-2x+5; 	d) x-3x2-2x-3
2. Tính giá trị biểu thức
A = 17-332+17+332
3. Giải phương trình 
a) x2-9-3x-3=0
b) 2x+1=3x
4. Cho P = 2xx+3+xx-3-3x+3x-9:(2x-2x-3-1)
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. HB = 3,6cm; HC = 6,4cm
a) Tính AB, AC, AH
b) Kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC. CMR AB.AE = AC.AF
6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 30cm, góc C bằng 30o. Giải tam giác ABC?