Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán 9 - Phần II: Hình học - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Đăk Drô

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – TOÁN 9
NĂM HỌC 2020 – 2021
PHẦN II : HÌNH HỌC
Chương I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. Một số hệ thức trong tam giác vuông
1/ b2 = a.b’
 c2 = a.c’
2/ h2 = c’.b’
3/ a.h = b.c
4/ 
5/ a2 = b2 + c2
6/ a = b’ + c’ 
HAY: 
1/ AB2 = BH.BC
 AC2 = CH.BC
2/ AH2 = BH.CH
3/ AH.BC = AB.AC
4/ 
5/ BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore)
6/ BC = HB + HC 
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sin đi học
cos không hư
tan đoàn kết 
cot kết đoàn
sin cos
tan cot
sin cos
tan cot 
cos2a + sin2a = 1 tana = 
cota = tana.cota = 1 
3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
sinB = cosC cosB = sinC 
tanB = cotC cotB = tanC
4. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
(Suy ra từ định nghĩa các TSLG của góc nhọn)
b = a.sinB = a.cosC b = c.tanB = c.cotC
c = a.cosB = a.sinC c = b.cotB = b.tanC
Tỉ số LG 
300
450
600
sin
cos 
tan
1
cot
1
Chương II: ĐƯỜNG TRÒN.
1. Định nghĩa đường tròn : Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R
2. Tâm đối xứng: Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó
3. Trục đối xứng: Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
4. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Định lý 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính: AB 2R
Định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy: ABCD HC = HD
Định lý 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy: HC = HD và CD không là đường kính ABCD 
5. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý 1 : Trong một đường tròn :
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
AB = CD OH = OK
Định lý 2: Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn 
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn 
AB > CD OH < OK
6. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
d : khoảng cách từ tâm đến đường thẳng a ; 
R : bán kính đường tròn tâm (O)
a) a cắt (O) Û d < R 
b) a tiếp xúc với (O) Û d = R 
c) a và (O) không giao nhau Û d > R 
7. Tiếp tuyến của đường tròn
Định nghĩa: Đường thẳng gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu đường thẳng và đường tròn đó tiếp xúc nhau 
Định lý: (Tính chất của một tiếp tuyến) Nếu đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. aOC
Định lý 1: (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
a là tiếp tuyến của đường tròn (O)
 Định lý 2: (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : 
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm (AB = AC)
+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ()
+ Tia kẻ từ tâm đi qua hai điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm ()
8 . Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho đường tròn tâm (O) và (O’) 
Đoạn thẳng d = OO’: đoạn nối tâm 
a) Hai đường tròn cắt nhau 
(O; R) và (O’;r) cắt nhau Û R – r < d < R + r
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau : 
* Tiếp xúc ngoài: (O; R) tiếp xúc ngoài (O’,r) Û d = R + r 
* Tiếp xúc trong: (O; R) tiếp xúc trong (O’;r) Û d = R- r 
c) Hai đường tròn không giao nhau: 
· (O; R), (O’; r) ở ngoài nhau Û d > R + r
· (O;R) đựng (O’; r) Û d < R – r 
Định lí : 
a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm hay đường nối tâm là đường trung trực của dây chung 
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm 
Chương III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1. Góc ở tâm 
Định nghĩa : Là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
Định lí số đo : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.
 = sđ 
2. Số đo cung : 
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó : sđ = 
- Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ : sđ = 3600 - 
- Cung bị chắn bởi một góc là cung nằm trong hai cạnh của góc đó
- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800
3. So sánh hai cung : 
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: 
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 
4. Khi nào thì sđ = sđ + sđ 
Định lí: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì:
 sđ = sđ + sđ 
* Định lý 1 : Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau 
+ Hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau
* Định lí 2 : Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau : 
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn 
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn 
5. Góc nội tiếp 
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây của đường tròn đó.
Định lí số đo: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
 = sđ = 
* Hệ quả: 
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. 
c) Mọi góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. 
d) Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông. 
6. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Định nghĩa: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp tuyến và một cạnh chứa dây cung của đường tròn
Định lí số đo: Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn 
 = sđ = ; = sđ 
7. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn : 
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, hai cạnh chứa một đoạn các dây cung của đường tròn
Định lí số đo: Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
 = (sđ + sđ)
8. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn 
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung (hình a), hoặc một cạnh chứa dây cung một cạnh là tiếp tuyến (hình b), hoặc hai cạnh đều là tiếp tuyến (hình c) của đường tròn
- Định lí số đo: Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc. 
a) = (sđ - sđ) ; 
b) = (sđ - sđ) ;
c) = (sđ - sđ)
9. Tứ giác nội tiếp
Định nghĩa : Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay gọi là tứ giác nội tiếp) và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.
Tính chất:
+ Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
 = 1800 ; = 1800
+ Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn
* Cách chứng minh tứ giác nội tiếp.
Cách 1: (Dựa vào định nghĩa): Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp
Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
Cách 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp
Tứ giác ABCD có : = 1800 (hoặc ) Þ tứ giác ABCD nội tiếp
Cách 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp
 Þ tứ giác ABCD nội tiếp
Cách 4: ( Dựa vào cung chứa góc): Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau.
Tứ giác ABCD có : và B, C là hai đỉnh kề nhau Þ tứ giác ABCD nội tiếp
Cách 5: Tứ giác là hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật
Đặc biệt: 
a) Các điểm D, E, F cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, cùng nhìn đoạn AB dưới một góc không đổi Các đểm A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
 cùng nhìn đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB.
 cùng nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính AB.
10. Đa giác nội tiếp, đa giác ngoại tiếp.
* Định nghĩa 
a) Nếu có một đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác thì đường tròn này được gọi là ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn.
b) Nếu có một đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác thì đường tròn này được gọi là nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
* Định lí : Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
11. Công thức tính độ dài đường tròn:
mC= 2pR = pdm
d = 2R
12. Công thức tính độ dài cung tròn : 
 Độ dài cung n0 : ml = m
l : độ dài cung n0.
13. Công thức tính diện tích hình tròn
mS = pR2 = m
14. Công thức tính diện tích hình quạt tròn : 
Hình quạt n0 có diện tích : 
mS = m
S : diện tích của hình quạt n0 
l : độ dài cung hình quạt n0 
Chương IV: HÌNH KHÔNG GIAN
1) Hình trụ:	
+ Diện tích: 
Sxq= 2prh 
Stp = Sxq + 2 Sd = 2prh + 2pr2
+ Thể tích hình trụ: 
V = Sđ.h = pr2h
 (Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; Sđ là diện tích đáy)
2) Hình nón: 	
+ Diện tích xung quanh: mSxq = prl m 
+ Diện tích toàn phần: 
mStp = Sxq + Sd = prl + pr2 m
+ Thể tích: mV = Sđ.h = pr2hm
 (Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình nón; l là độ dài đường sinh)
3) Hình cầu: 
+ Diện tích mặt cầu:	 mS = pd2 = 4pR2	m 
+ Thể tích hình cầu : mV = m
(Trong đó: R là bán kính; d là đường kính hình cầu)
*) MỘT SỐ CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
a) Bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a
+ Đường cao của tam giác đều h = 
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = 	
+ Bán kính đường tròn nội tiếp: r = 
b) Độ dài cạnh của các đa giác đều nội tiếp đường tròn (có bán kính R):
+ Cạnh tam giác đều: a = R	
+ Cạnh hình vuông: a = R 
+ Cạnh lục giác đều: a = R
c) Công thức tính diện tích tam giác:
+ Diện tích tam giác thường: S = a.h 
( a là độ dài cạnh, h là chiều cao tương ứng).
+ Diện tích tam giác vuông: S = a.b 
(a, b là độ dài 2 cạnh góc vuông)
+ Diện tích tam giác đều : S = 
(a là độ dài cạnh của tam giác đều)
Chú ý: - Xem lại các đề đã giải. 
 - Xem lại các bài tập 30 ; 39 ; 41 ; 42 SGK và các bài tập quan trọng khác đã chữa
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
Tứ giác CEHD nội tiếp.
Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải: 
Xét tứ giác CEHD ta có:
Ð CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
Ð CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
=> Ð CEH + Ð CDH = 1800
Mà Ð CEH và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEC = 900.
CF là đường cao => CF ^ AB => ÐBFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: Ð AEH = Ð ADC = 900 ; Â là góc chung 
=> D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: Ð BEC = Ð ADC = 900 ; ÐC là góc chung 
=> D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có ÐC1 = ÐA1 ( vì cùng phụ với góc ABC)
ÐC2 = ÐA1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ÐC1 = Ð C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM => D CHM cân tại C 
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
 => ÐC1 = ÐE1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 
ÐC1 = ÐE2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
ÐE1 = ÐE2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).Tính độ dài DE biết DH = 2cm, AH = 6cm
Lời giải: 
1. Xét tứ giác CEHD ta có:Ð CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
Ð CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => Ð CEH + Ð CDH = 1800
Mà Ð CEH và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. 
Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => ÐBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến 
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có ÐBEC = 900 .
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ÐE1 = ÐA1 (1).
Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => ÐE3 = ÐB1 (2)
Mà ÐB1 = ÐA1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => ÐE1 = ÐE3 => ÐE1 + ÐE2 = ÐE2 + ÐE3 
Mà ÐE1 + ÐE2 = ÐBEA = 900 => ÐE2 + ÐE3 = 900 = ÐOED => DE ^ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Chứng minh AC + BD = CD.
Chứng minh ÐCOD = 900.
3. Chứng minh AC. BD = 
4. Chứng minh OC // BM
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
6. Chứng minh MN ^ AB.
Lời giải: 
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM =>AC+BD = CM + DM.
 Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà ÐAOM và ÐBOM là hai góc kề bù => ÐCOD = 900.
Theo trên ÐCOD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .
Theo trên ÐCOD = 900 nên OC ^ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD 
6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra 
=> MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB.
Bài 4 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
Chứng minh AC. AE không đổi.
Chứng minh Ð ABD = Ð DFB.
Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải: 
1. C thuộc nửa đường tròn nên ÐACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BC ^ AE. 
ÐABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B có BC là đường cao => AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.
2. D ADB có ÐADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ).
 ÐABD + ÐBAD = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (1)
D ABF có ÐABF = 900 ( BF là tiếp tuyến ).
 ÐAFB + ÐBAF = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2)
Từ (1) và (2) ÐABD = ÐDFB ( cùng phụ với ÐBAD)
3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) ÐABD + ÐACD = 1800 .
ÐECD + ÐACD = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) ÐECD = ÐABD ( cùng bù với ÐACD).
Theo trên ÐABD = ÐDFB ÐECD = ÐDFB. Mà ÐEFD + ÐDFB = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) nên suy ra ÐECD + ÐEFD = 1800, mặt khác ÐECD và ÐEFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn 
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Lời giải:
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính 
Và dây cung) ÐOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 900; ÐOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. 
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 
3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 
 OM là trung trực của AB OM ^ AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) OB // AC hay OB // AH.
OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) OA // BD hay OA // BH.
 Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) OAHB là hình thoi.
5. Theo trên OAHB là hình thoi. OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
6. Theo trên OAHB là hình thoi. AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
Chứng minh tam giác BEC cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
Chứng minh BE = BH + DE.
Lời giải: (HD)
D AHC = DADE (g.c.g) ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC BEC là tam giác cân. ÐB1 = ÐB2 
2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, ÐB1 = ÐB2 D AHB = DAIB AI = AH.
3. AI = AH và BE ^ AI tại I BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một 
điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
Lời giải: 
(HS tự làm).
2. Ta có Ð ABM nội tiếp chắn cung AM; Ð AOM là góc ở tâm
chắn cung AM; suy ra Ð ABM = (1) OP là tia phân giác Ð AOM 
( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) Ð AOP = (2) 
Từ (1) và (2) Ð ABM = Ð AOP (3)
Mà Ð ABM và Ð AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : ÐPAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); ÐNOB = 900 (gt NO^AB).
 ÐPAO = ÐNOB = 900; OA = OB = R; ÐAOP = ÐOBN (theo (3)) DAOP = DOBN 
 OP = BN (5)
Từ (4) và (5) OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Bài 8: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F.
CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
CMR: DE.HE = BE.CE.
Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.
CMR: HC là tia phân giác của .
HD:
a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng thuộc một đường tròn:
+ = 900 nhìn đoạn BD A đường tròn đường kính BD (1)
+ = 900 nhìn đoạn BD H đường tròn đường kính BD (2)
+ = 900 nhìn đoạn BD C đường tròn đường kính BD (3)
 Từ (1), (2) và (3) A, B, H, C, D đường tròn đường kính BD.
b) CMR: DE.HE = BE.CE:
+DEC vàBEH có:
DEC đồng dạng với BEH (g.g)
 DE.HE = BE.CE.
c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC:
Khi E là trung điểm của BC .
DEC vuông tại C DE =.
Từ: DE.HE = BE.CE (cmt) 
 .
DH = DE + EH = + = .
d) CMR: HC là tia phân giác của :
+ Đường tròn đường kính BD có: sđ (góc nội tiếp cùng chắn cung CD). 
Mà: 
+ Mặc khác: (2)
+ Từ (1) và (2) HC là tia phân giác của .
Bài 9: Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R. Một điểm M di động trên cung ABC, M không trùng với A, B và C, MD cắt AC tại H.
CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2 .
CMR: MD.MH = MA.MC.
HD:
	1. CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường tròn: 
+ ABCD là hình vuông BD ^ AC (1)
+ (O) có: nội tiếp chắn đường tròn (2)
+ Từ (1) và (2) 
Þ MBOH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BH.
* CMR: DH.DM = 2R2:
có:
 DOH DMB (g.g)
(đpcm).
2. CMR: MD.MH = MA.MC:
+ (O,R) có: (góc nội tiếp cùng chắn cung CD).
+ CD = AD (ABCD là hình vuông) .
+ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung ).
+ MDC và MAH có: ; 
MDC MAH (g.g) .
Bài 10: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’).
CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.	b) Tính độ dài đoạn OO’.
Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm). 
CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
HD:
a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng:
+ (O) cónội tiếp chắn nửa đường tròn 
đường kính AC = 900 (1)
+ (O’) cónội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD = 900 (2)
+ Từ (1) và (2) = + = 1800
 Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Tính độ dài đoạn OO’:
+ (O) và (O’) cắt nhau tại A và B OO’ là đường
trung trực của AB.
+ Gọi H là giao điểm của OO’ và AB OO’ AB tại H; HA = HB = AB = 12 (cm).
+ AHO vuông tại H = (cm).
+ AHO’ vuông tại H = (cm).
Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + 9 = 25 (cm).
c) CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF:
+ Gọi K là giao điểm của AB và EF.
+ OEK vuông tại E 	(1)
+ OHK vuông tại H 	(2)
+ Từ (1) và (2) KE2 = (OH2 + HK2) – OE2 = 162 + HK2 – 202 = HK2 – 144 (*).
+ O’FK vuông tại F 	(3)
+ O’HK vuông tại H 	(2)
+ Từ (3) và (4) KF2 = (O’H2 + HK2) – O’F2 = 92 + HK2 – 152 = HK2 – 144 (**).
+ Từ (*) và (**) ; Mà: K là trung điểm của EF
 AB đi qua trung điểm của EF (đpcm).
Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
1. CMR:
	a) Tứ giác AOMC nội tiếp.	b) CD = CA + DB và = 900.	c) AC. BD = R2.
2. Khi = 600. Chứng tỏ là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R.
HD:
1a) CMR: Tứ giác AOMC nội tiếp:
+ Ax là tiếp tuyến tại A = 900 (1)
+ CD là tiếp tuyến tại M = 900 (2)
Từ (1) và (2) + = 1800AOMC là tứ giác nội tiếp
đường tròn đường kính OC.
1b) CMR: CD = CA + DB và = 900:
+ Hai tiếp tuyến CA và CM cắt nhau tại C CA = CM và OC là 
tia phân giác của (1)
+ Hai tiếp tuyến DB và DM cắt nhau tại D DB = DM và OD là 
tia phân giác của (2)
Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB 
+ (O; R) có: (kề bù)
 	OC là tia phân giác của 
OD là tia phân giác của 
 = 900.
1c) CMR: AC. BD = R2:
 vuông tại O; 
Và 	
2. Khi = 600. Chứng tỏ là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R:
+ Nửa (O, R) có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB) (1)
+ có DB = DM cân tại D (2)
Từ (1) và (2) đều.
+ Nửa (O, R) có: là góc nội tiếp chắn cung BM; là góc ở tâm chắn cung BM
+ Squạt = (đvdt).
Bài 12: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. 
CMR: MA2 = MC. MD.
Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của .
HD:
a) CMR:MA2 = MC. MD:
+ và có: ; (góc nội tiếp 
và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
 đồng dạng với (g.g)
 (đpcm)).
b) CMR:5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn:
+ (O) có:
I là trung điểm của dây CD nhìn đoạn OM	 (1)
 (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OM	 	 (2)
 (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OM	 (3)
Từ (1), (2) và (3) 5 điểm M, A, I, O, B đường tròn đường kính OM.
c) CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của :
+ vuông tại A MA2 = MO. MH. Mà: 
	 MO. MH = MC. MD 
+ và có: , 
 đồng dạng với (c.g.c)
, 
mà 
Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn (đpcm)
	* CMR: AB là phân giác của :
+ có OC = OD = R cân tại O 
Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung OD của đtròn nội tiếp tứ giác CHOD)
, mà (1)
+ Mặc khác: ; 	 (2)
Từ (1) và (2) , mà 
Suy ra: HA là tia phân giác của AB là tia phân giác của (đpcm).
Bài 13: Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.
	1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp.
	2. Chứng minh: KM ^ DB.	3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB.
HD: 1. CMR: BHCD là tứ giác nội tiếp:
+ = 900 nhìn đoạn BD H đường tròn đường kính BD (1)
+ = 900 nhìn đoạn BD C đường tròn đường kính BD (2)
 Từ (1) và (2) B, H, C, D đường tròn đường kính BD.
2. Chứng minh: KM ^ DB:
+ có : , , DH cắt DK tại M
 M là trực tâm của KM là đường cao thứ ba KM ^ DB
3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB:
+ và có: đồng dạng với (g.g)
	 KC . KD = KH . KB (đpcm).
Bài 14: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F).
CMR: và đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF.
Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.
HD: a) CMR: và đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF:
+ và có: (cùng chắn cung EC) , chung
 đồng dạng với (g.g) AC2 = AE. AF (đpcm).
b) Gọi I là trung điểm của EF
Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn:
+ (O) có: I là trung điểm của dây EF nhìn đoạn OA (1)
 	 (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OA	(2)
 (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OA	(3)
Từ (1), (2) và (3) 5 điểm A, B, O, I, C đường tròn đường kính OA.
Bài 15: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
Lời giải: 
1. Ta có : ÐAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 ÐKMF = 900 (vì là hai góc kề bù).
ÐAEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 ÐKEF = 900 (vì là hai góc kề bù).
 ÐKMF + ÐKEF = 1800 . Mà ÐKMF và ÐKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
Ta có ÐIAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên). 
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao AI2 = IM . IB.
Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM ÐIAE = ÐMAE () 
 ÐABE =ÐMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có ÐAEB = 900 BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) BAF là tam giác cân. tại B .
BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến E là trung điểm của AF. (3) ; Từ BE ^ AF AF ^ HK (4), 
Theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác ÐHAK (5)
Từ (4) và (5) HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
BÀI TẬP KHÔNG CÓ HƯỚNG DẪN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của (A;AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt AC ở E. 
a) Chứng minh tam giác BEC là tam giác cân.	b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE, chứng minh AI = AH
c) Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH)	d) Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 2: Cho đường tròn đường kính AB và một điểm M trên nửa đường tròn ( M khác A và B). Trên một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I, tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại tại E cắt BM tại F, tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh IA2 = IM.IB.	b) Chứng minh tam giác BAF cân
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn, vẽ đường cao BD và CE. Chứng minh:
a) Bốn điểm B, C, D, E cóng nằm trên một đường tròn.
b) Hai góc AED và ACB bằng nhau.	c) OA ^ DE.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy một điểm M , dựng đường tròn (O) đường kính MC, đường thẳng BM cắt (O) tại D. Đường thẳng AD cắt đường (O) tại S.
a) Chứng minh ABCD nội tiếp	b) Chứng minh CA là phân giác góc SCB.
c) Gọi E là giao điểm của BC với (O). Chứng minh BA, EM, CD đồng quy.
d) Chứng minh DM là phân giác góc ADE
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R, gọi M là điểm trên nửa đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và Ax. Gọi I là giao điểm của Am và PQ.
a) Chứng minh OI // BM, tam giấc AOI là tam giác vuông.
b) Chứng minh tứ giác OATM nội tiếp.
c) Chứng minh hai tam giác AIO và TAO đồng dạng với nhau. Tính AI biết R = 5cm, AT = 10cm.
Bài 6: Ch