Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2012 - Phòng GD&ĐT Hà Trung (Có đáp án)

 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Lớp 9
 CẤP HUYỆN
 Năm học 2010 – 2011
 Mụn thi: Toỏn. Thời gian: 150 phỳt
Cõu 1: (3,5 điểm) Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
 2 5 24
 a. (3 2 2 3)(3 2 2 3) b. 
 12
 sin2x cos2x
 c. ( 12 2 14 2 13 12 2 11)( 11 13) d. + 1
 1+ cotgx 1+ tgx
 2
 x - y x3 - y3 x - y + xy
Cõu 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P = ( + ) :
 x - y x - y x + y
 a. Rỳt gọn P.
 b. Tớnh giỏ trị của biểu thức P khi x = 5- 2 6 ; y = 5 + 2 6
 c. Chứng minh: 0 P 1
Cõu 3: (2,5 điểm)
 a. Chứng minh rằng: 2a 4 1 2a3 a2
 x2 + y2
 b. Cho x > y và x.y = 1. Chứng minh rằng 2 2 
 x - y
Cõu 4: (3,0 điểm) 
 a. Chứng minh rằng tich của 4 số tự nhiờn liờn tiếp thờm 1 luụn là một số chớnh phương.
 b. Giải phương trỡnh 15- x + 3- x = 6
Cõu 5: (3,5 điểm) Cho tam giỏc đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trờn cạnh AB và
 Q trờn cạnh AC sao cho Pã MQ = 600 .
 a. Chứng minh Bã PM = Cã MQ .
 b. Chứng minh ΔMBP ~ QCM và tớch PB.CQ cú giỏ trị khụng đổi khi P trờn cạnh AB và Q trờn 
 cạnh AC sao cho Pã MQ = 600
 c. Kẻ MH  PQ . Chứng minh ΔMBP ~ QMP ; ΔQCM ~ QMP
 d. Chứng minh độ dài MH khụng đổi khi P trờn cạnh AB và Q trờn cạnh AC sao cho Pã MQ = 600
Cõu 6: (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC, đường cao AH ( (H BC) và HC = 2HB. Đường thẳng qua 
 C vuụng gúc với AC và đường thảng qua B vuụng gúc với AB cỏt nhau tại D. Gọi K là hỡnh 
 chiếu vuụng gúc của D trờn BC.
 a. Chứng minh 3DK.AH = BC.BK
 b. Tam giỏc DHC là tam giỏc gỡ?
Cõu 7: (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa món x + y = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 
 A = 1- 2 1- 2 
 x y 
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM THI 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 Năm học 2010 – 2011
 Mụn thi: Toỏn. Thời gian: 150 phỳt
 Cõu Nội dung Điểm
Cõu 1: a. 
(3,5 đ) (3 2 2 3)(3 2 2 3) 9.2 4.3
 18 12 6 0,75
 2 5 24 2 3 2 3
 b. 2 0,75
 12 2 3 2 3
 c.
 ( 12 2 14 2 13 12 2 11)( 11 13)
 ( 12 2 13 2 12 2 11)( 11 13) 0,5
 ( 13 1 11 1)( 11 13) 0,5
 ( 13 11)( 13 11) 13 11 2
 d.
 sin2x cos2x sin3x cos3x
 + 1 1 0,5
 1+cotgx 1+tgx sinx +cosx sinx +cosx
 (sinx +cosx)(sin2x-sinxcosx +cos2x)
 1 1 sinxcosx-1= sinxcosx 0,5
 sinx +cosx
Cõu 2: 
(3,0 đ)
 0,5
 0,5
 0,5
 \ 0,5 a.
 2
 x - y x3 - y3 ( x - y) + xy
 P = ( + ) :
 x - y y - x x + y
 ộ ự
 ờ x + y + xy ỳ x + y - xy
 P = ờ x + y - ỳ:
 ởờ x + y ỷỳ x + y
 x + y + 2 xy - x - y - xy x + y
 P = . (ĐKXĐ: x ạ y; x > 0; y > 0 )
 x + y x + y - xy
 xy x + y
 P = .
 x + y x + y - xy
 xy
 P =
 x + y - xy
 x = 5- 2 6 ( 3 2)2 x = 3 2
 b. Với Thay vào biểu thức ta được:
 2
 y = 5 + 2 6 ( 3 2) x = 3 2
 ( 3 - 2)( 3 + 2)
 P =
 3 - 2 + 3 + 2 - ( 3 - 2)( 3 + 2)
 1 2 3 + 1 2 3 + 1
 P = = =
 2 3 -1 12- 1 11
 c. 
 Với x > 0; y > 0 suy ra xy > 0 và 
 1 3
 x + y - xy = ( x - y)2 + y > 0 ị P > 0
 2 4
 2 xy
 ( x - y) > 0 ị x + y - xy > xy ị < 1
 x + y - xy
 Cõu 3: a.
 2 2
 (2,5 đ) 2a 4 +1 2a3 + a 2 a -1 a +1 + a 2 0 (Hiển nhiờn đỳng vỡ...).Dấu bằng 
 xảy ra khi a = 1
 b. Với x > y và x.y = 1 ta cú:
 x2 + y2
 2 2 x2 + y2 2 2(x - y) (x - y)2 2 2(x - y) + 2 0 (x - y - 2)2 0
 x - y
 (Hiển nhiờn đung). 
Cõu 4: a.
(3,0 đ) Gọi 4 số tự nhiờn liờn tiếp lần lượt là n, n + 1, n + 2, n + 3
 Tớch 4 số thờm 1 là: 
 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
 = (n2 + 3n + 1)2 (đpcm) b.
ĐKXĐ: x 3
Ta cú: