Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Xuyên Mộc (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN 
 HUYỆN XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 - 2017
 Môn: Toán 
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017
 ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (3,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7.
 102016 1 102016 1
 b) So sánh A và B 
 102017 11 102017 9
Câu 2: (5,5 điểm)
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a) Rút gọn biểu thức: P với x 0;x 4;x 9.\
 x 5 x 6 x 3 2 x
 2016x2 2x 2016
 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 
 x2 1
 c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 5y2 74 .
Câu 3: (3,5 điểm) 
 a) Trên mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình m 4 x m 3 y 1 ( m là 
 tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.
 a b c
 b) Cho các số dương a, b, c . Chứng minh rằng: 1 2 
 a b b c c a
Câu 4: (5,5 điểm) 
 Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB 2R . Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M 
 khác A và B ); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K . Gọi E là giao 
 điểm của AM và OK .
 a) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
 b) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N . Chứng 
 minh: IN IO .
 c) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH . Chứng minh:
 EF // AB .
Câu 5: (2,5 điểm) 
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O; R . Một điểm P chạy trên cung nhỏ A»B ( P 
 khác A và B ). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn 
 hơn đường kính của đường tròn O; R .
 ------- HẾT ----- PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ CHÍNH THỨC
 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9 
 (Hướng dẫn chấm có trang)
Câu 1: (3,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7.
 102016 1 102016 1
 b) So sánh A và B 
 102017 11 102017 9
 Lời giải
 1013
 a) Ta có: A 62015 16 1 77 và B 62016 1 62 162 1 357 .
 10.(102016 1) 102017 11 1 1
 b) Ta có: 10. A 1 (*)
 102017 11 102017 11 102017 11
 10.(102016 1) 102017 9 1 1
 10. B 1 (**)
 102017 9 102017 9 102017 9
 1 1
 Ta thấy nên từ (*) và (**) 10A > 10B A > B.
 102017 11 102017 9
Câu 2: (5,5 điểm)
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a) Rút gọn biểu thức: P với x 0; x 4; x 9.\
 x 5 x 6 x 3 2 x
 2016x2 2x 2016
 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 
 x2 1
 c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 5y2 74 .
 Lời giải
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a) Rút gọn P 
 x 5 x 6 x 3 2 x
 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
 P 
 ( x 2)( x 3)
 x x 2 ( x 2)( x 1) x 1
 P 
 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3
 b) Tìm giá trị lớn nhất:
 2016x2 2x 2016 (2017x2 2017) (x2 2x 1)
 Q 
 x2 1 x2 1
 2017(x2 1) (x 1)2 (x 1)2
 2017 (*)
 x2 1 x2 1 x2 1 (x 1)2
 Vì 0 nên từ (*) Q 2017
 x2 1
 (x 1)2
 Dấu “=” xảy ra 0 x 1 0 x 1
 x2 1
 Vậy max Q = 2017 x 1
 c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 5y2 74 .
 Cách 1: 
 Ta có: 6x2 5y2 74 6x2 24 50 – 5y2 6(x2 4) 5(10 – y2 ) (*)
 Từ (*) suy ra: 6(x2 4)  5 , Mà UCLN(6,5) 1 nên x2 4  5
 Đặt x2 4 5t ( t ¥ ) x2 5t 4 thay vào (*) y2 10 6t 
 4
 2 2 t 
 x 0 x 5t 4 0 5 4 5
 Vì t 
 y2 0 y2 10 6t 0 5 5 3
 t 
 3
 t 0 hoặc t 1 
  Khi t = 0 thì y2 10 (loại vì y ¢ )
 x2 9 x 3
  Khi t = 1 thì (vì nghiệm nguyên dương nên lấy 
 2 
 y 4 y 2
 x 0, y 0 )
 Cách 2: 
 Ta có: 6x2 5y2 74 6x2 24 50 – 5y2 6(x2 4) 5(10 – y2 ) (*)
 Từ (*) suy ra: 6(x2 4)  5 , Mà UCLN(6,5) 1 nên x2 4  5
 2 2
 x 4 5  5 x 1  5 (**)
 Từ bài ra 0 6x2 74 0 x2 12 , Kết hợp (**) x2 4 hoặc x2 9
  Khi x2 4 thì y2 10 (loại vì y ¢ )
  Khi x2 9 thì y2 4 ( x 3, y 2 ) (vì x 0, y 0 ) 
Câu 3: (3,5 điểm) 
 a) Trên mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình m 4 x m 3 y 1 ( m là 
 tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.
 a b c
 b) Cho các số dương a, b, c . Chứng minh rằng: 1 2 
 a b b c c a
 Lời giải
 a) Xét pt: m 4 x m 3 y 1
 Ta thấy: m 4 .0 m 3 .0 0 1 nên d không thể đi qua O 0;0 .
 + Với m 4 ta được y 1 nên khoảng cách từ d đến O 0;0 bằng y 1.
 + Với m 3 ta được x 1 nên khoảng cách từ d đến O 0;0 bằng x 1 1. 1 1 
 + Với m 3; m 4 thì d cắt Ox tại A ,0 và cắt Oy tại B 0, .
 m 4 m 3 
 Kẻ OH vuông góc với d tại H; ta có khoảng cách từ d đến O 0;0 làOH
 . 
 Dựa vào OAB vuông tại O chỉ ra được
 2
 1 2 2 7 1 1
 2 (m 4) (m 3) 2 m 
 OH 2 2 2
 Suy ra được: OH 2
 7
 Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất OH 2 khi m 
 2
 b)Vì a, b, c là các số dương (gt) nên ta có:
 a a a c
 (1) 
 a b c a b a b c
 b b b a
 (2)
 a b c b c b c a
 c c c b
 (3)
 a b c c a c a b
 a b c
 Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 2 (đpcm).
 a b b c c a
Câu 4: (5,5 điểm) 
 Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB 2R . Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M 
 khác A và B ); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K . Gọi E là giao 
 điểm của AM và OK .
 a) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
 b) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N . Chứng 
 minh: IN IO .
 c) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH . Chứng minh:
 EF // AB .
 K N
 M
 I
 E F
 A B
 O H
 Lời giải
 a) Chứng minh được OK  AM tại E.
 Dựa vào OAK vuông tại A chỉ ra được OE.OK OA2 R2 không đổi. b) Chứng minh được: OK // BN (  AM)
 Chứng minh được: AOK OBN(g.c.g) OK BN .
 Suy được OBNK là hình bình hành từ đó suy được: IN IO .
 HB MB HB2 MB2
 c) Chứng minh được AOK ∽ HBM (1)
 AO OK AO2 OK 2
 Chỉ ra được MB2 HB.AB và OA2 OE.OK (câu a) (2) 
 HB2 HB.AB HB AB HB OE
 Từ (1) và (2) suy được (3)
 OK.OE OK 2 OE OK AB OK
 HB FB
 Chứng minh được (4)
 AB BK
 FB OE
 Từ (3) và (4) suy ra EF // OB // AB (đl Ta let)
 KB OK
Câu 5: (2,5 điểm) 
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O; R . Một điểm P chạy trên cung nhỏ A»B ( P 
 khác A và B ). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn 
 hơn đường kính của đường tròn O; R .
 Lời giải
 A
 1 3 2
 P 1
 O
 1 Q
 B C
 - Vì ABC đều, P A»B nên AP PC . Lấy điểm Q trên PC sao cho PQ PA .
 · µ 0 o
 Ta thấy APQ cân có APQ P1 60 (chắn cung 120 ) nên APQ đều 
 AP AQ PQ 
 - Chứng minh được APB AQC (c.g.c) PB QC .
 Từ đó PA PB PQ QC PC . Mà PC là một dây của O; R nên PC 2R .
 Chứng tỏ tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường 
 tròn O; R . (đpcm)
 --- HẾT ---