Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Thạch Hà (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THẠCH HÀ NĂM 2018-2019
Câu 1. (4,5 điểm)
 1. Tính giá trị biểu thức A 4 15 10 6 4 15
 2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
 2018 2019
 M N 
 x2 2x 3 x 2x 3
Câu 2. (3,0 điểm)
 1. Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a b c 0 . Chứng minh hằng đẳng thức:
 1 1 1 1 1 1
 a2 b2 c2 a b c
 1 1 1 1 1 1
 2. Tính giá trị của biểu thức: B 1 1 .... 1 
 12 22 22 32 20182 20192
 Câu 3. (4,5 điểm)
 1. Cho đa thức f x , tìm dư của phép chia f x cho x 1 x 2 . Biết rằng f x chia cho 
 x 1 dư 7 và f x chia cho x 2 dư 1. 
 2. Giải phương trình: x3 - 3x2 + 2x + 6 = 0
 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 y2 17 – 2xy
Câu 4. (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
 a b c
 a) 2
 b c c a a b
 1 1 1
 b) ; ; là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
 a b b c c a
Câu 5. (5,0 điểm)
 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM , phân giác AI . Tính 
 4
 HI, IM ; biết rằng AC AB và diện tích tam giác ABC là 24 cm2 .
 3
 2. Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với 3 cạnh tam giác. 
 Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt tại E và D ; đường thẳng 
 song song với cạnh BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại M và N ; đường thẳng song song 
 với cạnh AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại F và H . Biết diện tích các tam giác 
 ODH, ONE, OMF lần lượt là a2 , b2 ,c2 .
 a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo a,b,c .
 b) Chứng minh S 3 a2 b2 c2 .
 ------------------Hết-----------------
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THẠCH HÀ NĂM 2018-2019 Câu 1. (4,5 điểm)
 1. Tính giá trị biểu thức A 4 15 10 6 4 15
 2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
 2018 2019
 M N 
 x2 2x 3 x 2x 3
 Lời giải
 1. Ta có A 4 15 10 6 4 15 4 15 4 15 4 15 . 10 6 
 A 4 15.1. 2 5 3 8 2 15. 5 3 
 A 5 3 . 5 3 5 3 2
 Điều kiện xác định của M là x2 2x 3 0
 x 1 0 x 1 0
 hoặc 
 x 3 0 x 3 0
 x 3
 x 1
 2x 3 0
 2. Điều kiện xác định của N là x 2x 3 0 (*)
 x 2x 3 0
 2 2 x 3
 x 2x 3 x 2x 3 0 (**)
 x 1
 Từ (*) và (**) ta được x 3 là điều kiện xác định của M
Câu 2. (3,0 điểm)
 1. Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a b c 0 . Chứng minh hằng đẳng thức:
 1 1 1 1 1 1
 a2 b2 c2 a b c
 1 1 1 1 1 1
 2. Tính giá trị của biểu thức: B 1 1 .... 1 
 12 22 22 32 20182 20192
 Lời giải
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1. Ta có: 2 2 2 2 
 a b c a b c ab bc bc 
 1 1 1 c a b 1 1 1 2(a b c)
 2 2 2 2 2 2 2 
 a b c abc abc abc a b c abc
 1 1 1
 a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1
Vậy 
 a2 b2 c2 a b c
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2. Theo câu 1) Ta có (*)
 a2 b2 c2 a b c a b a b
Áp dụng (*) ta có:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 (Vì 0)
 12 22 12 12 ( 2)2 1 1 ( 2) 1 1 2 1 1 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tượng tự 1 ; 1 ; .
 22 32 1 2 3 32 42 1 3 4
 1 1 1 1 1
 1 
 20182 20192 1 2018 2019
 1 4076360
Suy ra: B 2019 
 2019 2019
 Câu 3. (4,5 điểm)
1. Cho đa thức f x , tìm dư của phép chia f x cho x 1 x 2 . Biết rằng f x chia cho 
x 1 dư 7 và f x chia cho x 2 dư 1. 
 2. Giải phương trình: x3 - 3x2 + 2x + 6 = 0
3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 y2 17 – 2xy
 Lời giải
1. Vì (x - 1)(x + 2) = x2 + x - 2 là đa thức bậc 2 nên f x : (x 1)(x 2) có đa thức dư 
dạng ax + b .
Đặt f (x) (x 1)(x 2).q(x) ax b
Theo đề ra: f (x):(x - 1) dư 7 f (1) 7 a b 7 (1)
 f (x):(x + 2) dư 1 f ( 2) 1 2a b 1 (2)
Từ (1) và (2) Þ a = 2 và b = 5.
Vậy f (x):[(x - 1)(x + 2)] được dư là 2x + 5.
2. x3 - 3x2 + 2x + 6 = 0
 (x 1)(x2 4x 6) 0
Û x + 1= 0 (1) hoặc x2 - 4x + 6 = 0 (2)
(1) Û x = - 1
(2) Û (x - 2)2 + 2 = 0 . Do(x - 2)2 + 2 ¹ 0 " x nên pt này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {- 1} .
 2
3. 5x 2 + y2 = 17- 2xy 4x 2 + (x + y) = 17 17
 4x2 17 x2 vì x 2 là số chính phương nên x 2 = 0; 1; 4 .
 4
 2
 Nếu x 2 = 0 Þ (x + y) = 17 (loại)
 2
 Nếu x 2 = 1 x y 13 (loại)
 Nếu x 2 = 4 x = 2 hoặc x = - 2
 2
 x = 2 2 y 1 y = - 3 hoặc y = - 1.
 2
 x = - 2 (- 2 + y) = 1 y = 3 hoặc y = 1.
 Vậy phương trình có nghiệm: (x;y)= (2; - 3), (2; - 1), (- 2; 3), (- 2; 1).
Câu 4. (3,0 điểm)
 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
 a b c
 a) 2
 b c c a a b
 1 1 1
 b) ; ; là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
 a b b c c a
 Lời giải
 a) Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên b + c > a
 a(b c) a2 a(b c) ab ac a2 ab ac
 a 2a
 2a(b c) a(a b c) 
 b c a b c
 b 2b c 2c
 Tượng tự ta cũng có: ; 
 c a a b c b a a b c
 a b c 2a 2b 2c
 Suy ra: 2 (đpcm).
 b c c a a b a b c b c a a b c
 b) Ta có a + b > c
 1 1 1 1 2 2 1
 b c c a b c a c a b a b c (a b) (a b) a b
 1 1 1 1 1 1
 Chứng minh tương tự ta có ; 
 c a a b b c a b b c c a
 1 1 1
 Vậy ; ; là độ dài 3 cạnh của một tam giác (đpcm)
 a b b c c a
Câu 5. (5,0 điểm)
 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM , phân giác AI . Tính 
 4
 HI, IM ; biết rằng AC AB và diện tích tam giác ABC là 24 cm2 .
 3
 2. Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với 3 cạnh tam giác. 
 Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt tại E và D ; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại M và N ; đường thẳng song song 
với cạnh AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại F và H . Biết diện tích các tam giác 
ODH, ONE, OMF lần lượt là a2 , b2 ,c2 .
a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo a,b,c .
b) Chứng minh S 3 a2 b2 c2 .
 Lời giải
 3
1. Do AC = AB (gt) và AB.AC = 2S = 48 , suy ra AC = 6(cm); AB = 8(cm). 
 4
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABC ta tính được BC = 10 cm suy ra 
AM = 5(cm) (1)
 A
Áp dụng tính chất giữa cạnh và đường cao trong 
tam giác vuông ABC ta tính được 
 AB2
BH 3,6(cm) (2)
 BC
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác 
ta có B H I M C
IB AB IB AB IB 6 30
 IB cm (3)
IC AC IB IC AB AC 10 6 8 7
Từ (1), (2) và (3), ta có I nằm giữa B và M ; H nằm giữa B và I .
 4,8
Vậy: HI BI BH cm
 7
 5
 MI BM BI cm.
 7
2. Ta có các tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC 
 2
Đặt SABC d . 
 2 A
 S a2 DH a DH
Ta có: ODH ; 
 2 E
 SABC d BC d BC
 2 2
S b2 ON HC b HC F
 EON b2
 2 ; 
S d BC BC d BC c2 O N
 ABC M
 c BD
Tương tự 
 d BC a2
 C
Suy ra: B D H
a b c DH HC DB
 1 d a b c
 d BC
Vậy S d 2 (a b c)2
 2 2 2 2 2 2
Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a b 2ab; b c 2bc; a c 2ac S (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 S a2 b2 c2 (a2 b2 ) (b2 c2 ) (c2 a2 ) 3(a2 b2 c2 )
Dấu “=” xảy ra khi a b c , hay O là trọng tâm của tam giác ABC .
 =====HẾT=====