Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Chư Sê (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ Sấ - NĂM HỌC 2019 – 2020
Cõu 1:(6,0 điểm)
 a) Rỳt gọn biểu thức: M = 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 .
 x2 - x + 1 1
 b) Giải phương trỡnh: 6ì - (x + 1) ì = 5 .
 x + 1 x 3 + 1
Cõu 2:(3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh 
 (m - 4)x + (m - 3)y = 1 (m là tham số). Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến 
 đường thẳng (d) là lớn nhất.
Cõu 3:(3,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm P nằm trong tam giỏc ABC sao cho 
 BãPC = 135° . Chứng minh rằng: 2PB 2 + PC 2 = PA2
Cõu 4:(5,0 điểm) Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R . M là điểm di động trờn 
 đoạn thẳng AB , kẻ CM ^ AB tại M (C thuộc nửa đường trũn tõm O ). Gọi D và E 
 là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn CA và CB . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của 
 AM và MB . Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch của tứ giỏc DEQP đạt giỏ trị lớn 
 nhất.
Cõu 5:(3,0 điểm)
 a) Giả sử x,y,z là cỏc số thực thỏa món điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng 
 minh rằng: x2 + y2 + z2 ³ 3.
 b) Chứng minh trong 8 số tự nhiờn cú 3 chữ số bao giờ cũng chọn hai số mà khi viết liền 
 nhau ta được một số cú 6 chữ số chia hết cho 7.
 --- HẾT --- LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ Sấ - NĂM HỌC 2019 – 2020
Cõu 1:(6,0 điểm)
 a) Rỳt gọn biểu thức: M = 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 .
 x2 - x + 1 1
 b) Giải phương trỡnh: 6ì - (x + 1) ì = 5 .
 x + 1 x 3 + 1
 Lời giải
 a) M = 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 = 4 + 5 3 + 5 48 - 10(2 + 3)
 = 4 + 5 3 + 5 28 - 10 3 = 4 + 5 3 + 5(5 - 3)
 = 4 + 25 = 9 = 3.
 b) Điều kiện: x > - 1.
 x2 - x + 1 1 x2 - x + 1 x + 1
 6ì - (x + 1) ì = 5 Û 6ì - = 5.
 x + 1 x 3 + 1 x + 1 x2 - x + 1
 x2 - x + 1 1
 Đặt t = (t > 0). Phương trỡnh trở thành: 6t - = 5.
 x + 1 t
 ộ
 ờt = 1 (n)
 ị 6t 2 - 5t - 1 = 0 Û ờ .
 ờ - 1
 ờt = (l)
 ở 6
 x2 - x + 1 x2 - x + 1 ộx = 0 (n)
 Với t = 1 ị = 1 Û = 1 ị x2 - 2x = 0 Û ờ .
 x + 1 x + 1 ờx = 2 n
 ởờ ( )
 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 0;x = 2.
Cõu 2:(3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh 
 (m - 4)x + (m - 3)y = 1 (m là tham số). Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến 
 đường thẳng (d) là lớn nhất.
 Lời giải
 ▪ Với mọi giỏ trị của m thỡ đường thẳng (d) khụng đi qua gốc tọa độ.
 ▪ Với m = 4 , ta cú đường thẳng (d): y = 1. Do đú khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường 
 thẳng (d) bằng 1. (1)
 ▪ Với m = 3 , ta cú đường thẳng x = - 1. Do đú khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường 
 thẳng (d) bằng 1. (2) ổ ử
 ỗ 1 ữ
 ▪ Với m ạ 4;m ạ 3 thỡ đường thẳng (d) cắt trục Oy;Ox lần lượt tại Aỗ0; ữ và 
 ốỗ m - 3ứữ
 ổ ử
 ỗ 1 ữ 1 1
 ỗ ;0ữ, suy ra OA = ;OB = . Kẻ đường cao 
 ốỗm - 4 ứữ m - 4 m - 3
 OH ^ AB (H ẻ AB).
 1 1 1 2 2
 Ta cú = + = (m - 3) + (m - 4) = 2m2 - 14m + 25
 OH 2 OA2 OB 2
 ổ ử
 ỗ 2 7 49ữ 1 1
 = 2ỗm - 2.m. + ữ+ ³ .
 ốỗ 2 4 ứữ 2 2
 ị OH 2 Ê 2 Û OH Ê 2 . (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn nhất bằng 
 7
 2 khi m = .
 2
Cõu 3:(3,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm P nằm trong tam giỏc ABC sao cho 
 BãPC = 135° . Chứng minh rằng: 2PB 2 + PC 2 = PA2 .
 Lời giải
 Trờn nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng AB khụng chứa 
 P'
 điểm P , vẽ điểm P ' sao cho DPBP ' vuụng cõn tại B . 
 Khi đú A B
 Xột DAP 'B và DCPB cú
 ▪ AB = BC (giả thiết);
 ã ã ã
 ▪ ABP ' = CBP (cựng phụ với ABP ; P
 ▪ BP ' = BP (theo cỏch vẽ).
 Suy ra DAP 'B = DCPB (cạnh – gúc – cạnh).
 ã ã
 ị AP 'B = CPB .
 ã ã ã ã
 Mà CPB + BPP ' = 180° ị AP 'B + BPP ' = 180° D C
 ã ã ã ã
 Û AP 'P + BP 'P + BPP ' = 180° Û AP 'P = 90° .
 Do đú DAP 'P vuụng tại P ' . Theo định lý Py-ta-go, ta cú
 AP 2 = AP '2+ P 'P 2 = PC 2 + (BP '2+ BP 2) = PC 2 + 2BP 2 (do VAP ÂB = VCPB )
 Vậy AP 2 = PC 2 + 2BP 2 .
Cõu 4:(5,0 điểm) Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R . M là điểm di động trờn 
 đoạn thẳng AB , kẻ CM ^ AB tại M (C thuộc nửa đường trũn tõm O ). Gọi D và E 
 là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn CA và CB . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của 
 AM và MB . Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch của tứ giỏc DEQP đạt giỏ trị lớn 
 nhất. Lời giải
 Tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn đường kớnh C
 AB nờn vuụng tại C . Từ đú tứ giỏc MDCE là E
 hỡnh chữ nhật DE = CM . Do đú 
 1
 S = S . (1) D
 DDME 2 MDCE
 Tam giỏc ADM cú DP là trung tuyến nờn A P M O Q B
 1
 S = S . (2)
 DDPM 2 DADM
 1
 Tương tự, EQ là trung tuyến của DMEB nờn S = S . (3)
 DMEQ 2 DMEB
 Từ (1), (2) và (3) ta cú
 1 1
 S = S + S + S = (S + S + S ) = S .
 PDEQ DDPM DDME DMEQ 2 MDCE DADM DMEB 2 DABC
 1 1 1
 Mà S = CM ìAB Ê CO ìAB = ìR ì2R = R2 (khổng đổi).
 DABC 2 2 2
 1
 Suy ra S Ê R2 .
 PDEQ 2
 Dấu “ = ” xảy ra khi M º O .
 1
 Vậy S lớn nhất bằng R2 khi M º O .
 PDEQ 2
Cõu 5:(3,0 điểm)
 a) Giả sử x,y,z là cỏc số thực thỏa món điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng 
 minh rằng: x2 + y2 + z2 ³ 3.
 b) Chứng minh trong 8 số tự nhiờn cú 3 chữ số bao giờ cũng chọn hai số mà khi viết liền 
 nhau ta được một số cú 6 chữ số chia hết cho 7.
 Lời giải
 a) Ta cú x2 + 1 ³ 2x; y2 + 1 ³ 2y; z2 + 1 ³ 2z và 2(x2 + y2 + z2) ³ 2(xy + yz + zx).
 Cộng vế theo vế 4 bất đẳng thức trờn, ta được
 3(x2 + y2 + z2)+ 3 ³ 2(x + y + z + xy + yz + zx).
 Theo đề bài, ta cú x + y + z + xy + yz + zx = 6 nờn
 3(x2 + y2 + z2)+ 3 ³ 2.6 Û x2 + y2 + z2 ³ 3. (điều phải chứng minh)
 b) Lấy 8 số chia cho 7, ta nhận được 8 số dư nhận được 7 trong 7 số sau: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 
 6. Theo nguyờn lý Di-rich-le thỡ cú ớt nhất 2 số cú cựng số dư.
 Giả sử hai số abc và def là hai số khi chia cho 7 cú cựng số dư là r . Suy ra
 abc = 7k + r và def = 7m + r .
 Khi đú 
 abcdef = 1000abc + def = 1000(7k + r )+ 7m + r = 7(1000k + m)+ 1001r M7 .
 Vậy ta cú điều phải chứng minh.