Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Mỹ Đức (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
 HUYỆN MỸ ĐỨC NĂM HỌC: 2019 - 2020
 MÔN: TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 03/10/2019
 Thời gian làm bài: 150 phút
 x 2 x 1 x 1
 x 0; x 1
Bài I (5,0 điểm). Cho biểu thức P : với 
 x x 1 x x 1 1 x 2
 a) Rút gọn P 
 2
 b) Tìm các giá trị của x để P 
 7
 c) So sánh 2P và P2 
Bài II (4,0 điểm).
 1) Giải các phương trình: 4x2 20x 25 x2 6x 9 7 
 2) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x 2019 2 y4 6y3 11y2 6y 
Bài III (4,0 điểm).
 x y z
 1) Cho các số x, y, z thỏa mãn 0 với x y; y z; z x 
 y z z x x y
 x y z
 Tính giá trị biểu thức: A 
 y z 2 z x 2 x y 2
 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . 
 x2 y2 z2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x 2y 3z y 2z 3x z 2x 3y
Bài IV (6,0 điểm).
 Cho ABC có ba góc nhọn, µA 60o . Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . 
Gọi K là trung điểm của AH 
 AE AB 1
 a) Chứng minh: và EF BC .
 AF AC 2
 b) Chứng minh: E· KF 120o và tính AH , biết BC 12 cm.
 HD HE HF
 c) Chứng minh: 1 .
 AD BE CF
 AB2 AC 2 BC 2
 d) Chứng minh: AD.DH BE.EH CF.FH .
 4
Bài V (1,0 điểm) 
 x y 2019
 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y; z thỏa mãn là số hữu tỉ, 
 y z 2019
đồng thời x2 y2 z2 là số nguyên tố.
 ---Hết---
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh: ..Trường THCS: 
 HƯỚNG DẪN GIẢI x 2 x 1 x 1
 x 0; x 1
Bài I (5,0 điểm). Cho biểu thức P : với 
 x x 1 x x 1 1 x 2
a) Rút gọn P 
 2
b) Tìm các giá trị của x để P 
 7
c) So sánh 2P và P2 
 HD: 
 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
 P : :
 3 
 x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 x x 1 x 1 2
 x 2 x( x 1) (x x 1) x 1
 :
 x 1 x x 1 2
 x 2 x 1 2
 .
 x 1 x x 1 x 1
 2
 x x 1
 b) Với x 0, x 1. Ta có:
 2 2 2
 P x x 1 7
 7 x x 1 7
 x x 6 0 ( x 2)( x 3) 0
 Vì x 3 0 nên x 2 0 x 4(t/m) 
 2
 Vậy P = khi x = 4 
 7
c) Vì x 0 x x 1 1
 2
 0 2
 x x 1
 0 P 2
 P(P 2) 0
 P 2 2P 0
 P 2 2P
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0 2
Vậy P 2P
Bài II (4,0 điểm).
1) Giải các phương trình: 
 4x2 20x 25 x2 6x 9 7
 2x 5 x 3 7 (*)
2) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 
 x 2019 2 y4 6y3 11y2 6y
 x 2019 2 y4 6y3 9y2 2y2 6y
 x 2019 2 y2 y 3 2 2y y 3 1 1
 2 2
 x 2019 y y 3 1 1
 2 2
 x 2019 y y 3 1 1
 x 2019 a 1 x 2019 a 1 1 (Voi y y 3 a)
 x 2019 a 1 1 x 2019
 x 2019 a 1 1 a 2
 x 2019 a 1 1 x 2019
 x 2019 a 1 1 a 0
 x; y 2019;0 , 2019;1 , 2019;2 , 2019;3 
Bài III (4,0 điểm).
 x y z
1) Cho các số x, y, z thỏa mãn 0 với x y; y z; z x 
 y z z x x y
 x y z
 Tính giá trị biểu thức: A 
 y z 2 z x 2 x y 2
2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . 
 x2 y2 z2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x 2y 3z y 2z 3x z 2x 3y
 2
 a2 b2 c2 a b c 
Áp dụng bất đẳng thức (*)
 x y z x y z
 2
 x2 y2 z2 x y z 
Ta có: A 1
 x 2y 3z y 2z 3x z 2x 3y 6 x y z 
Bài V (1,0 điểm) 
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn x y 2019 là số hữu tỉ và 
 y z 2019
x2 y2 z2 là số nguyên tố.
HD: Ta có:
 x y 2019 m
 Q (m,n Z,n 0) nx ny 2019 my mz 2019
 y z 2019 n
 nx my 2019 mz ny 
Vì x, y, z, m, n là các số nguyên nên nx my Z và mz ny Z
 m y x
Khi đó: nx my 0 và mz ny 0 . Suy ra: y2 xz .
 n z y
Theo đề bài x2 y2 z2 là số nguyên tố hay 
 x2 2y2 z2 y2 x2 2xz z2 y2 x z 2 y2 x y z x y z là số nguyên tố.
Khi đó: x y z 1 hay x z 1 y . Suy ra: 
 x z 2 1 y 2 x2 z2 2y2 y2 2y 1 (y 1)2 x2 z2 2 0
Vì x, y, z là số nguyên dương nên x y z 1