Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Quan Sơn (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – HUYỆN QUAN SƠN
 NĂM 2019 - 2020
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
Câu 1: (4 điểm) Cho P 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P 1 . 
 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: 
 1. x2 6x 8 x2 10x 18 12x 39 0
 2. x2 5x 2 3 x2 5x 2 2
Câu 3: (4 điểm) 
 1. Tìm các số nguyên x để biểu thức x4 x2 2x 2 là số chính phương.
 2. Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta luôn có: 
 1 1 1 3
 a 1 b b 1 c c 1 a 1 abc
Câu 4: (6 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
 Chứng minh rằng: 
 1. AF.AB AH.AD AE.AC .
 2.H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF .
 3. Gọi M , N, P, I, K,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng 
 BC, AC, AB, EF, ED, DF . Chứng minh rằng các đường thẳng MI, NQ, PK đồng quy.
 4. Gọi độ dài các đoạn thẳng AB, BC,CA lần lượt là a,b,c ; độ dài các đoạn thẳng 
 a b c 2
 AD, BE,CF là a ',b',c ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a '2 b'2 c '2
Câu 5: (2 điểm)
 Cho hai số dương a,b thỏa mãn: a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 1 1
 A 
 ab a2 b2
 .HẾT . LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – HUYỆN QUAN SƠN
 NĂM 2019 - 2020
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
Câu 1: (4 điểm) Cho P 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P 1 . 
 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất.
 Lời giải
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
 1. P 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 2 2
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 1
 2 2
 x 1 x 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 2 2
 x 1 x 1 
 x 1 x 1
 x 1 x 1
 2 2
 x 1 x 1 
 x 1 x 1 
 2x 2
 x 1
 2x 2 2x 2 4 4
 2. Ta có P 2 
 x 1 x 1 x 1
 4
 P có giá trị lớn nhất khi 2 có giá trị lớn nhất x 1 là số nguyên dương nhỏ nhất 
 x 1
 x 1 1 x 2
Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: 
 1. x2 6x 8 x2 10x 18 12x 39 0
 2. x2 5x 2 3 x2 5x 2 2
 Lời giải
 1. x2 6x 8 x2 10x 18 12x 39 0
 Đặt x2 6x 8 a ; x2 10x 18 b 
 Ta có a b x2 6x 8 x2 10x 18 4x 10
 12x 39 12x 30 9 3 4x 10 9 3 a b 9 Khi đó ta có phương trình ab 3 a b 9 0
 ab 3a 3b 9 0
 ab 3a 3b 9 0
 a b 3 3 b 3 0
 b 3 a 3 0
 x 3
 2 2 
 b 3 0 b 3 x 10x 18 3 x 10x 21 0 x 7
 2 2
 a 3 0 a 3 x 6x 8 3 x 6x 5 0 x 1
 x 5
 2. x2 5x 2 3 x2 5x 2 2
 x2 5x 2 2 3 x2 5x 2 0
 x2 5x 2 2 3 x2 5x 2 4 0
 Đặt 3 x2 5x 2 a x2 5x 2 a3
 Khi đó ta có phương trình a3 2a 4 0
 a 2 a2 2a 2 0
 a 2 0 ( Vì a2 2a 2 a 1 2 1 1 0 ) 
 a 2
 3 x2 5x 2 2
 x2 5x 2 8
 2 x 2
 x 5x 6 0 
 x 3
Câu 3: (4 điểm) 
 1. Tìm các số nguyên x để biểu thức x4 x2 2x 2 là số chính phương.
 2. Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta luôn có: 
 1 1 1 3
 a 1 b b 1 c c 1 a 1 abc
 Lời giải
 1. x4 x2 2x 2
 x4 2x3 x2 2x3 4x2 2x 2x2 4x 2 
 x2 x2 2x 1 2x x2 2x 1 2 x2 2x 1 
 x 1 2 x2 2x 2 
 Đặt x4 x2 2x 2 A a ¥ 
 Vì x 1 2 , A là số chính phương nên suy ra x2 2x 2 phải là số chính phương
 x2 2x 2 a2 a ¢ a2 x2 2x 1 1
 a2 x 1 2 1
 a x 1 a x 1 1
 a x 1 1 a x 0 a 1
 a x 1 1 a x 2 x 1
 Vì a, x ¢ x 1
 a x 1 1 a x 2 a 1
 a x 1 1 a x 0 x 1
 1 1 1 3
 2. 
 a 1 b b 1 c c 1 a 1 abc
 1 abc 1 abc 1 abc
 3
 a 1 b b 1 c c 1 a 
 1 abc a ab 1 abc b bc 1 abc ca c
 6
 a 1 b b 1 c c 1 a 
 1 a ab abc 1 c bc abc 1 a ca abc 
 6
 a 1 b b 1 c c 1 a 
 1 a ab 1 c 1 c bc 1 a 1 a ca 1 b 
 6
 a 1 b b 1 c c 1 a 
 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1 a 
 6 
 a 1 b 1 a b 1 c 1 b c 1 a 1 c
 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1 a 
 Mà 
 a 1 b 1 a b 1 c 1 b c 1 a 1 c
 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1 a 
 2 . 2 . 2 . 6 luôn đúng 
 a 1 b 1 a b 1 c 1 b c 1 a 1 c
 1 1 1 3
 Suy ra 
 a 1 b b 1 c c 1 a 1 abc
Câu 4: (6 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
 Chứng minh rằng: 
 1. AF.AB AH.AD AE.AC .
 2.H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF .
 3. Gọi M , N, P, I, K,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng 
 BC, AC, AB, EF, ED, DF . Chứng minh rằng các đường thẳng MI, NQ, PK đồng quy.
 4. Gọi độ dài các đoạn thẳng AB, BC,CA lần lượt là a,b,c ; độ dài các đoạn thẳng 
 a b c 2
 AD, BE,CF là a ',b',c ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a '2 b'2 c '2
 Lời giải A
 x
 I E
 F
 N
 P
 H O
 K
 Q
 D M
 B C
 A'
 AF AH
1. AFH ∽ ADB (g.g) AF.AB AH.AD
 AD AB
 AE AH
 AEH ∽ ADC (g.g) AE.AC AH.AD
 AD AC
Do đó AF.AB AH.AD AE.AC
 BF CB BF BD
2. Ta có CFB ∽ ADB (g.g) 
 BD AB CB AB
 BF BD
Xét BFD và BCA có : ; ·ABC chung 
 CB AB
 BFD ∽ BCA (c.g.c)
 B· FD B· CA (1)
chứng minh tương tự AFE ∽ ACB (c.g.c) 
 ·AFE B· CA (2)
Từ (1) và (2) ta có ·AFE B· FD
Mà ·AFE E· FC 90; C· FD D· FB 90 E· FC C· FD
Suy ra FC là phân giác của E· FD (3)
Chứng minh tương tự ta được EB là phân giác của D· EF , DA là phân giác của E· DF
 (4)
Mà H là giao điểm của ba đoạn thẳng AD, BE,CF (5)
Từ (3),(4),(5) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF .
 1 
3. Ta có FN DN AC mà FQ QD nên suy ra NQ là đường trung trực của FD
 2 
Chứng minh tương tự ta có : IM là đường trung trực của FE ; PK là đường trung trực của 
 ED
Suy ra MI, NQ, PK là ba đường trung trực của DFE
mà trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm nên các đường thẳng 
 MI, NQ, PK đồng quy.
4. Vẽ Cx  CF , gọi A’ là điểm đối xứng của A qua Cx
Tứ giác AFCO là hình chữ nhật ( Fµ Cµ Oµ 90 )
 B· AA' 90, AA' 2CF AA'có Cx là đường trung trực nên AC CA' 
 Với ba điểm B,C và A’ ta có BA' BC CA'
 Dấu “=” xảy ra khi BA' BC CA' , khi đó AC CB
 ABA' vuông tại A có AB 2 AA '2 BA '2 mà BA' BC CA' , AA' 2CF nên suy ra 
 AB2 4CF 2 BC CA' 2
 AB2 4CF 2 BC AC 2
 4CF 2 BC AC 2 AB2
 4c '2 a b 2 c2
 Chứng minh tương tự ta cũng có 4a '2 b c 2 a2 ; 4b'2 a c 2 b2
 Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta có 
 4 a '2 b'2 c '2 b c 2 a2 a c 2 b2 a b 2 c2
 4 a '2 b'2 c '2 a b c 2
 a b c 2
 4
 a '2 b'2 c '2 
 Dấu “=” xảy ra khi AC CB AB hay tam giác ABC đều.
Câu 5: (2 điểm)
 Cho hai số dương a,b thỏa mãn: a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 1 1
 A 
 ab a2 b2
 Lời giải
 1
 Ta có a b 1 2 ab 1 ab 
 4
 1 1 1 1 1 4 1 4 1
 A 4 2 6
 2 2 2 2 2 2 1
 ab a b a b 2ab 2ab a b 2ab 1 2.
 4
 1
 Dấu “=” xảy ra khi a b 
 2