Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD&ĐT Cam Lộ (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - NĂM HỌC 2008-2009
Câu 1: (1,0 điểm)
 4 2
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 2009x 2008x 2009 . 
Câu 2: (2,0 điểm)
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 Giải phương trình sau: . 
 13 15 37 9
Câu 3: (1,0 điểm)
 a4 b4
 a) Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2.
 2
 1 1
 b) Cho hai số dương a,b và a 5 b . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P . 
 a b
Câu 4: (2,0 điểm)
 a) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện : 
 2006 2006 2007 2007 2008 2008 2009 2009
 a b a b a b . Hãy tính tổng: S a b .
 2 3 5 13 48
 b) Chứng minh rằng : A là số nguyên. 
 6 2
Câu 5: (1,0 điểm) 
 Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau: xy 2x 3y 1 0 .
Câu 6: (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC AB , đường cao AH (H BC) . Trên tia HC
 lấy điểm D sao cho HD HA .Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E .
 a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.
 b) Chứng minh tam giác ABE cân.
 c) Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G . Chứng minh rằng: 
 GB HD
 BC AH HC
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008-2009
Câu 1: (1,0 điểm)
 4 2
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 2009x 2008x 2009 . 
 Lời giải
 x4 2009x2 2008x 2009 x4 x2 1 2008 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 1 2008 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 2009 .
Câu 2: (2,0 điểm)
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 Giải phương trình sau: . 
 13 15 37 9
 Lời giải
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 13 15 37 9
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69 
 1 1 1 1 
 13 15 37 9 
 x 15 2(x 15) 3(x 15) 4(x 15)
 13 15 37 9
 1 2 3 4 
 x 15 0 
 13 15 37 9 
 x 15 
Câu 3: (2,0 điểm)
 a4 b4
 a) Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2.
 2
 1 1
 b) Cho hai số dương a,b và a 5 b . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P . 
 a b
 Lời giải
 a)(1,0 điểm) 
 a4 b4
 ab3 a3b a2b2 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2
 2
 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 0 
 (a4 2a3b a2b2 ) (b4 2ab3 a2b2 ) 
 (a2 ab)2 (b2 ab)2 0 
 b)(1,0 điểm)
 1 1 a b 5 20 20 4
 P P 
 a b ab ab 4ab (a b)2 5
 4 5
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a b . 
 5 2 Câu 4: (3,0 điểm)
 a) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện : 
 2006 2006 2007 2007 2008 2008 2009 2009
 a b a b a b . Hãy tính tổng: S a b .
 2 3 5 13 48
 b) Chứng minh rằng : A là số nguyên. 
 6 2
 Lời giải
 a) (1,0 điểm)
 Ta có: a2008 b2008 a2007 b2007 a b ab a2006 b2006 
 1 a b ab (1 a)(1 b) 0 a 1,b 1 
 Vậy S 1 1 2 
 b) (1,0 điểm)
 2 3 5 13 48 2 3 5 (2 3 1)2 2 3 ( 3 1)2
 A 
 6 2 6 2 6 2
 2 2 3 ( 6 2)2
 A = 1 ¢ . 
 6 2 6 2
Câu 5: (3,0 điểm)
 Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau: xy 2x 3y 1 0 .
 Lời giải
 xy 2x 3y 1 0 xy 3y 2x 1 y x 3 2x 1 
 5
 Ta thấy x 3 không thỏa mãn, với x 3thì y 2 ;
 x 3
 Để y nguyên thì x 3 phải là ước của 5 ; 
 Suy ra: x, y = 4,7 ; 8,3 . 
Câu 6: (3,0 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC AB , đường cao AH (H BC) . Trên tia HC
 lấy điểm D sao cho HD HA .Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E .
 a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.
 b) Chứng minh tam giác ABE cân.
 c) Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G . Chứng minh rằng: 
 GB HD
 BC AH HC
 Lời giải
 a) (1 điểm) 
 Xét ADC và BEC có: CD CA
 ( vì CDE  CAB ) 
 CE CB
Cµ chung 
Suy ra: ADC  BEC (c-g-c).
b)(1 điểm) 
Theo câu ta suy ra: B· EC ·ADC
Ta có: ·ADC E· DC ·ADE 135 B· EC 135 
Suy ra: ·AEB 45 
Do đó: ABE cân (tam giác vuông có một góc bằng 45).
c) (1 điểm)
 ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của B· AC
 GB AB AB ED
Suy ra: , mà (do ABC  DEC ) 
 GC AC AC DC
 ED AH AH HD
Mà (do ED//AH ); Mặt khác : 
 DC HC HC HC
 GB HD GB HD GB HD
Do đó: 
 GC HC GB GC HD HC BC AH HC
 ..HẾT