Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD&ĐT Hải Lăng (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẢI LĂNG NĂM HỌC 2008-2009
 VÒNG II
Bài 1. (2 điểm) 
 Cho a,b,c Q; a, b, c đôi một khác nhau.
 1 1 1
 Chứng minh rằng bằng bình phương của một số hữu tỷ.
 a b 2 b c 2 c a 2
Bài 2. (2 điểm) 
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x 2.5y 5z 4500 với x y z .
Bài 3. (2 điểm) 
 x2 4x 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A 
 x2
Bài 4. (2 điểm) 
 Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các chữ 
 số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một 
 số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
Bài 5. (2 điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A , có B· AC 200 . Trên AC lấy điểm E sao cho E· BC 200 . 
 Cho AB AC b, BC a
 a) Tính CE .
 b)Chứng minh rằng a3 b3 3ab2 .
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẢI LĂNG NĂM HỌC 2008-2009
 VÒNG II
Bài 1. (2 điểm) 
 Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau.
 1 1 1
 Chứng minh rằng bằng bình phương của một số hữu tỷ.
 a b 2 b c 2 c a 2
 Lời giải
 1 1 1
 Ta có: 
 a b 2 b c 2 c a 2
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 2 . . . 
 a b b c c a a b b c b c c a c a a b 
 2
 1 1 1 c a b c a b
 2 
 a b b c c a (a b)(b c)(c a)
 2
 1 1 1 
 a b b c c a 
Bài 2. (2 điểm) 
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x 2.5y 5z 4500 với x y z .
 Lời giải
 Ta có: 5x 2.5y 5z 4500 (*)
 5x ( 1 2.5y x 5z x ) 4500 22. 33. 53
 5x 53; 1 2.5y x 5z x 36 1 35
 x 3; 5y x ( 2 5z y ) 5 . 7
 x 3; y – 3 1 ; 2 5z y 7 2 5
 x 3; y 4 ; z – y 1
 x 3; y 4 ; z 5 thoả (*)
 x2 4x 1
Bài 3. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A 
 x2
 Lời giải
 x2 4x 1 4 1
 Ta có: A 1 
 x2 x x2
 2
 4 1 1 
 3 4 2 3 2 3
 x x x 1 1
 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 2 0 x 
 x 2
Bài 4. (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa 
 các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được 
 một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
 Lời giải
 _ ___ __
 Gọi số cần tìm là ab . Ta có: ab3 và a0b 2a 9ab
 (a b)3 (a b)3
 100a b 2a 9(10a b) 3a 2b
 Từ 3a 2b 2b3 mà (2,3) 1 b3 do (a b)3 a3 mà 3a2 a2
 __
 Ta có a3,a2,(2,3) 1 a6,1 a 9 a 6 b 9 Vậy ab 69
Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A , có B· AC 200 . Trên AC lấy điểm E sao cho 
 E· BC 200 . Cho AB AC b, BC a
 c) Tính CE .
 d)Chứng minh rằng a3 b3 3ab2 .
 Lời giải
 a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng 200 và 
 CE BC
 góc đáy bằng 800 ) nên 
 BC AB
 A
 a 2
 Và BE BC a , suy ra CE 
 b
 1 1
 b) Dựng AD  BE , suy ra BD AB b 
 2 2
 Ta có: AE2 ED2 AD2 , AB2 BD2 AD2
 do đó: AB2 BD2 EA2 DE2
 2 2 2 2
 2 b a b 
 Thay vào ta được: b b a D
 4 b 2 E
 b2 a4 b2
 b2 2a2 a2 ab B
 4 b2 4 C
 b4 b4 a4 3a2b2 ab3
 a3 b3 3ab2
 .HẾT .