Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Tỉnh Nghệ An (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011
Cõu 1: (5,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ n2 n 2 khụng chia hết cho 3 .
 b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho n2 17 là một số chớnh phương.
Cõu 2: (5,0 điểm)
 a) Giải phương trỡnh: x2 4x 5 2 2x 3 .
 2x y x2
 b) Giải hệ phương trỡnh: 
 2
 y x y
Cõu 3: (3,0 điểm)
 4x 3
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A .
 x2 1
Cõu 4: (4,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn O . Cỏc đường cao BE,CF của 
 tam giỏc ABC cắt nhau tại H .
 a) Chứng minh rằng BH.BE CH.CF BC 2 
 b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC . Chứng minh rằng K O .
Cõu 5: (2,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O , một điểm I chuyển động trờn cung BC 
 khụng chứa điểm A ( I khụng trựng với B và C ). Đường thẳng vuụng gúc với IB tại I 
 cắt đường thẳng AC tại E , đường thẳng vuụng gúc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại 
 F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luụn đi qua một điểm cố định.
 .HẾT .
 Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh: . .Số bỏo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011
Cõu 1: (5,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ n2 n 2 khụng chia hết cho 3 .
 b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho n2 17 là một số chớnh phương.
 Lời giải
 a) *) Nếu n3 n2 n3 nờn n2 n 2 3 (1)
 *) Nếu n 3 n2 23 n2 n 2 3 (2)
 Từ (1) và (2) n Z thỡ n2 n 2 3
 b) Đặt m2 n2 17 (m N)
 m2 n2 17 (m n)(m n) 17 1.17 =17.1
 m n 17 m 9
 Do m n m n 
 m n 1 n 8
 Vậy với n 8 ta cú n2 17 64 17 81 92 .
Cõu 2: (5,0 điểm)
 a) Giải phương trỡnh: x2 4x 5 2 2x 3 .
 2x y x2
 b) Giải hệ phương trỡnh: 
 2
 y x y
 Lời giải
 a) Giải phương trỡnh x2 4x 5 2 2x 3 (1).
 3
 Điều kiện: 2x+3 0 x -
 2
 (1) x2 4x+5-2 2x+3 0 x2 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0
 (x 1)2 ( 2x+3 1)2 0
 x 1 0 x 1
 2x+3 1 0 2x+3=1
 x 1 thỏa món điều kiện 
 2
 2x y x 1 
 b) Giải hệ phương trỡnh: 
 2
 2y+ x y 2 
 Trừ từng vế 2 phương trỡnh ta cú: x2 y2 x y
 (x y)(x y 1) 0 x y x y
 x y 1 0 x 1 y
 Ta cú:
 x y x y
 *) hoặc x 3 
 x(x 3) 0 x 0
 Vậy x; y 0;0 ; 3;3 
 x 1 y x 1 y x 1 y
 *) 2 2 2 (*)
 2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0
 Vỡ phương trỡnh y2 y 1 0 vụ nghiệm nờn hệ (*) vụ nghiệm .
 Vậy hệ đó cho cú 2 nghiệm x; y 0;0 ; 3;3 . 
Cõu 3: (3,0 điểm)
 4x 3
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x2 1
 Lời giải :
 4x 3 x2 4x 4
 Ta cú: A 1 
 x2 1 x2 1
 (x 2)2
 A 1 1
 x2 1
 Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2
 Vậy Amin 1 khi x 2 
Cõu 4: (4,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn O . Cỏc đường cao BE,CF của 
 tam giỏc ABC cắt nhau tại H .
 a) Chứng minh rằng BH.BE CH.CF BC 2 
 b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC . Chứng minh rằng K O .
 Lời giải A
 E
 F
 H O
 C
 B I
 K
 a) Chứng minh rằng BH.BE CH.CF BC 2 
 Gọi I là giao điểm của AH và BC AI  BC 
 BH BI
 Ta cú: BHI # BCE g, g BH.BE BC.BI (1)
 BC BE
 CH CI
 Ta cú: CHI # CBF g, g CH.CF BC.CI (2)
 CB CF
 Từ (1) và (2) suy ra BH.BE CH.CF BC BI CI BC 2
 b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC . Chứng minh rằng K O .
 Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra Hã CB Kã CB
 Mà Fã AI Hã CI (do tứ giỏc AFIC nội tiếp)
 Fã AI Bã CK hay Bã AK Bã CK
 tứ giỏc BACK nội tiếp đường trũn O ( K O .
Cõu 5: (2,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O , một điểm I chuyển động trờn cung BC 
 khụng chứa điểm A ( I khụng trựng với B và C ). Đường thẳng vuụng gúc với IB tại I 
 cắt đường thẳng AC tại E , đường thẳng vuụng gúc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại 
 F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luụn đi qua một điểm cố định.
 Lời giải
 + Khi Bã AC 90 Bã IC 90.
 F trựng với B, E trựng với C lỳc đú EF là đường kớnh. EF đi qua điểm O cố định.
 B
 F
 O
 I
 K
 C
 E
 A
+ Khi Bã AC 90 Bã IC 90.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF . 
 Eã IF Eã AF (cựng bự Bã IC )
 Eã KF Eã IF (Do I và K đối xứng qua EF )
 Eã KF Eã AF
 AKFE nội tiếp
 Kã AB Kã EF (cung chắn KằF ) (1) 
 IảEF Kã EF (Do I và K đối xứng qua EF ) (2)
 IảEF Bã IK (cựng phụ Kã IE ) (3)
Từ (1), (2), (3) Kã AB Bã IK
 AKBI là tứ giỏc nội tiếp
 K (O)
Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng.
+ Khi Bã AC 90 Bã IC 90 chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng EF luụn đi qua điểm O cố định.
 ..HẾT