Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Tỉnh Thanh Hóa (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011
Bài 1. (5,0 điểm). 
 1) Cho phương trình: x2 2m x 2m 1 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 
 2x1x2 3
 x1, x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 2 khi m thay 
 x1 x2 2(1 x1x2 )
 đổi.
 1 1 1
 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng A a2 b2 c2
 a b c
 là số hữu tỉ.
 (b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 B là số hữu tỉ.
 (x y)2 (y z)2 (z x)2
Bài 2. (5,0 điểm).
 2 2
 x x 10
 a) Giải phương trình: . 
 x 1 x 1 9
 2 1 1 
 x x 1 4
 y y 
 b) Giải hệ phương trình: 
 x x2 1
 x3 4.
 2 3
 y y y
Bài 3. (2,0 điểm). 
 Cho tam giác đều ABC , các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE
 cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính B· PE.
Bài 4. (4,0 điểm). 
 Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB ). P là điểm di động trên đoạn 
 thẳng AB ( P A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc 
 với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại 
 B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P ).
 a) Chứng minh rằng ·ANP B· NP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
 a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Bài 5. (4,0 điểm). 
 a) Cho a1,a2 ,....,a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 .... a45 130. Đặt 
 d j a j 1 a j , ( j 1,2,...,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít 
 nhất 10 lần. b) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2011.
 a2 b2 c2 1 2011
 Chứng minh rằng: .
 b c c a a b 2 2
 ............................................................. HẾT ........................................................
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011
 Bài 1. (5,0 điểm). 
 1) Cho phương trình: x2 2m x 2m 1 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 
 2x1x2 3
 x1, x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 2 khi m thay 
 x1 x2 2(1 x1x2 )
 đổi.
 1 1 1
 2.a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng A a2 b2 c2 là 
 a b c
 số hữu tỉ.
 b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 B là số hữu tỉ.
 (x y)2 (y z)2 (z x)2
 Lời giải
 1) Ta có ' (m 1)2 0,m nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
 4m 1
 Theo định lí viet, ta có x x 2m, x x 2m 1 x x 2m 1, suy ra P 
 1 2 1 2 1 2 4m2 2
 (2m 1)2 1
 1 1. Max P 1, khi m .
 4m2 2 2
 2.a) Từ giả thiết suy ra 2ab 2bc 2ca 0
 Suy ra A (a b c)2 a b c là số hữu tỉ
 1 1 1 1 1 1
 2.b) Đặt a , b ,c suy ra .
 x y y z x z a b c
 1 1 1
 Áp dụng câu 2a) suy ra B là số hữu tỉ.
 (x y)2 (y z)2 (z x)2
Bài 2. (5,0 điểm). 2 2
 x x 10
 a) Giải phương trình: . 
 x 1 x 1 9
 2 1 1 
 x x 1 4
 y y 
 b) Giải hệ phương trình: 
 x x2 1
 x3 4.
 2 3
 y y y
 Lời giải
 a) Đk: x 1. Phương trình tương đương với 
 2 2
 x x x2 10 2x2 2x2 10
 2 2 2 2 0.
 x 1 x 1 x 1 9 x 1 x 1 9
 2x2 10 5 2
 Đặt t , ta được phương trình t 2 t 0 t hoặct 
 x2 1 9 3 3
 5 2x2 5
 Với t , ta được (vô nghiệm)
 3 x2 1 3
 2 2x2 2 1
 Với t , ta được suy ra x .
 3 x2 1 3 2
 1 1
 x2 x 4
 2
 y y
 b) Đk: y 0. Hệ tương đương với 
 3 1 x 1 
 x 3 x 4.
 y y y 
 1
 u x 
 2 2
 y u u 2v 4 u 4u 4 0 u 2
 Đặt ta được hệ 
 x u3 2uv 4 u2 u 4 2v v 1.
 v , 
 y
 1
 x 2
 u 2 y x 1
 Với ta được (thoả mãn điều kiện)
 v 1, x y 1.
 1 
 y
Bài 3. (2,0 điểm). 
 Cho tam giác đều ABC , các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE
 cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính B· PE.
 Lời giải Kẻ EF  AC tại F, DG  BC tại G.
 Theo giả thiết S( ADPE) S(BPC)
 S( ACE) S(BCD).
 Mà AC BC EF DG và µA Cµ
 Suy ra AEF CDG AE CG.
 Do đó AEC CDB(c g c) D· BC E· CA
 B· PE P· BC P· CB P· CD P· CB 600
Bài 4. (4,0 điểm). 
 Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB ). P là điểm di động trên đoạn 
 thẳng AB ( P A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc 
 với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P 
 tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) 
 cắt nhau tại N ( N P ).
 a) Chứng minh rằng ·ANP B· NP và bốn điểm O, D, C, N
 cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi 
 qua điểm cố định khi P di động.
 Lời giải
 a) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 
 chung của (O) với (C), (D) tại A, B tương ứng.
 Suy ra ·ANP Q· AP Q· BP B· NP.
 Ta có ·ANB ·ANP B· NP Q· AP Q· BP
 1800 ·AQB , suy ra NAQB nội tiếp (1).
 Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
 Từ (1) và (2) 
 suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
 cùng nằm trên một đường tròn.
 Ta có O· CN 2O· AN 2O· BN O· DN ,
 suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường 
 tròn đi qua các điểm N, O, D, C . 
 Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định.
Bài 5. (4,0 điểm). a) Cho a1,a2 ,....,a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 .... a45 130. Đặt 
d j a j 1 a j , ( j 1,2,...,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít 
nhất 10 lần.
b) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2011.
 a2 b2 c2 1 2011
 Chứng minh rằng: .
 b c c a a b 2 2
 Lời giải
a) d1 d2 ... d44 (a2 a1) (a3 a2 ) ... (a45 a44 ) a45 a1 130 1 129. (1)
Nếu mỗi hiệu d j ( j 1,2,....,44) xuất hiện không quá 10 lần thì 
d1 d2 ... d44 9(1 2 3 4) 8.5 130 mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có ít nhất một hiêụ d j ( j 1,...,44) xuất hiện không ít hơn 10 lần
b) Ta có 2(a2 b2 ) (a b)2
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
Suy ra 
 b c c a a b 2 b2 c2 2 c2 a2 2 c2 a2 
Đặt x b2 c2 , y c2 a2 , z a2 b2 , suy ra 
 y2 z2 x2 z2 x2 y2 x2 y2 z2
VT 
 2 2x 2 2y 2 2z
 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 
 x y z 
 2 2 2x 2y 2z 
 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 
 2x 3x 2y 3y 2z 3z 
 2 2 2x 2y 2z 
 1
 2(y z) 3x 2(z x) 3y 2(x y 3z 
 2 2
 1 1 2011
Suy ra VT (x y z) 
 2 2 2 2
 ..HẾT