Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1: (4,0 điểm)
 2 x 9 x 3 2 x 1
 a) Rút gọn biểu thức A 
 x 5 x 6 x 2 3 x
 b) Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx 1.
 (1 y2 )(1 z2 ) (1 z2 )(1 x2 ) (1 x2 )(1 y2 )
 Hãy tính giá trị biểu thức A x y z 
 (1 x2 ) (1 y2 ) (1 z2 )
Bài 2: (3,0 điểm)
 2012
 a) Cho hàm số: f x x3 12x 31 
 Tính f a tại a 3 16 8 5 3 16 8 5
 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 17 là số chính phương?
Bài 3: (4,0 điểm)
 Giải các phương trình sau:
 a) 1 x 4 x 3 
 b) x2 4x 5 2 2x 3 
Bài 4: (3,0 điểm)
 a) Tìm x; y thỏa mãn: 2 x y 4 y x 4 xy
 b) Cho a;b;c là các số thuộc đoạn  1;2 thỏa mãn: a2 b2 c2 6 . 
 Hãy chứng minh rằng: a b c 0 
Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD;CE cắt nhau tại H .
 KC AC 2 CB2 BA2
 a) Chứng minh: 
 KB CB2 BA2 AC 2
 1
 b) Giả sử: HK AK . Chứng minh rằng: tan B.tan C 3 .
 3
 2 ·
 c) Giả sử S ABC 120 cm và BAC 60 . Hãy tính diện tích tam giác ADE ?
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1: (4,0 điểm)
 2 x 9 x 3 2 x 1
 a) Rút gọn biểu thức A 
 x 5 x 6 x 2 3 x
 b) Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx 1.
 (1 y2 )(1 z2 ) (1 z2 )(1 x2 ) (1 x2 )(1 y2 )
 Hãy tính giá trị biểu thức A x y z 
 (1 x2 ) (1 y2 ) (1 z2 )
 Lời giải
 2 x 9 x 3 2 x 1
 a) Rút gọn biểu thức A 
 x 5 x 6 x 2 3 x
 ĐKXĐ: x 4; x 9 
 A 
 2 x 9 x 3 2 x 1 2 x 9 x 9 2x 3 x 2 x x 2
 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 
 x 1 x 2 x 1
 = 
 x 2 x 3 x 3
 b) Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx 1.
 (1 y2 )(1 z2 ) (1 z2 )(1 x2 ) (1 x2 )(1 y2 )
 Hãy tính giá trị biểu thức A x y z 
 (1 x2 ) (1 y2 ) (1 z2 )
 Ta có: xy yz zx 1 1 x2 xy yz zx x2 y x z x x z x z x y 
 Tương tự: 1 y2 y z y x , 1 z2 z x z y 
 Thay các kết quả trên vào biểu thức A để tính.
Bài 2: (3,0 điểm)
 2012
 a) Cho hàm số: f x x3 12x 31 
 Tính f a tại a 3 16 8 5 3 16 8 5
 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 17 là số chính phương?
 Lời giải 2012
 a) Cho hàm số: f x x3 12x 31 
 Tính f a tại a 3 16 8 5 3 16 8 5
 Từ a 3 16 8 5 3 16 8 5
 a3 32 33 16 8 5 16 8 5 3 16 8 5 3 16 8 5 32 12a nên 
 a3 12a 32 .
 Vậy f a 1.
 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 17 là số chính phương?
 2 2 k n 1
 Giả sử: n 17 k ( k N ) và k n k n k n 17 n 8 
 k n 17
 Vậy với n 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3: (4,0 điểm)
 Giải các phương trình sau:
 a) 1 x 4 x 3 
 b) x2 4x 5 2 2x 3 
 Lời giải
 a) ĐK: 4 x 1
 Bình phương 2 vế: 1 x 4 x 2 (1 x)(4 x) 9 (1 x)(4 x) 2
 x 0
 4 3x x2 4 x(x 3) 0 (thỏa mãn)
 x 3
 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 0; x 3.
 b) x2 4x 5 2 2x 3 
 3
 ĐKXĐ: x 
 2
 x2 4x 5 2 2x 3 x2 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0
 2 2 x 1 0
 x 1 2x 3 1 0 x 1 (thỏa mãn ĐK)
 2x 3 1
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1. Bài 4: (3,0 điểm)
 a) Tìm x; y thỏa mãn: 2 x y 4 y x 4 xy
 b) Cho a;b;c là các số thuộc đoạn  1;2 thỏa mãn: a2 b2 c2 6 . 
 Hãy chứng minh rằng: a b c 0 
 Lời giải
 a) Tìm x; y thỏa mãn: 2 x y 4 y x 4 xy
 ĐK: x 4; y 4 . Ta có:
 2 x y 4 y x 4 xy x.2. y 4 y.2. x 4 xy
 Xét VP x.2. y 4 y.2. x 4
 4 y 4 y 4 x 4 x
 Theo BĐT Côsi: 2 y 4 ;2 x 4 
 2 2 2 2
 Vậy VP xy VT
 x 4 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 8 khi (thỏa mãn ĐK) 
 y 4 2
 b) Cho a;b;c là các số thuộc đoạn  1;2 thỏa mãn: a2 b2 c2 6 . 
 Hãy chứng minh rằng: a b c 0 
 Do a;b;c là các số thuộc đoạn  1;2 nên a 1 0;a 2 0 nên a 1 a 2 0 
 Hay a2 a 2 0 a2 a 2 
 Tương tự b2 b 2; c2 c 2.
 Do đó a2 b2 c2 a b c 6 . Mà theo đề bài a2 b2 c2 6 nên a b c 0
 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD;CE cắt nhau tại H .
 KC AC 2 CB2 BA2
 a) Chứng minh: 
 KB CB2 BA2 AC 2
 1
 b) Giả sử: HK AK . Chứng minh rằng: tan B.tan C 3 .
 3
 2 ·
 c) Giả sử S ABC 120 cm và BAC 60 . Hãy tính diện tích tam giác ADE ?
 Lời giải a) Sử dụng định lý Pytago: A
 AC 2 CB2 BA2 AK 2 KC 2 (BK CK)2 AB2
 CB2 BA2 AC 2 (BK CK)2 BA2 (AK KC)2
 D
 2CK 2 2BK.CK 2CK(CK BK) CK
= E
 2BK 2 2BK.CK 2BK(BK CK) BK H
 AK AK
b) Ta có tan B ;tan C 
 BK CK B K
 C
 AK 2
nên tan B tan C 1 
 BK.CK
 KC
Mặt khác ta có Bµ H· KC mà tan HKC 
 KH
 KC
Nên tan B 
 KH
 KB KB.KC
Tương tự tan C . Do đó tanB.tan C 2 
 KH KH 2
 2
 2 AK 
Từ 1 và 2 tan B.tan C 
 KH 
 1
Theo giả thiết HK AK nên tan B.tan C 3
 3
 2
 SABC AB 
c) Ta chứng minh được: ABC và ADE đồng dạng vậy: (3)
 SADE AD 
Mà B· AC 60 nên ·ABD 30 AB 2AD 4 
 SABC 2
Từ (3) và (4) ta có: 4 SADE 30 (cm )
 SADE
 .HẾT .