Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Tỉnh Đồng Nai (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2013-2014
 4 3 2
Cõu 1: (4,0 điểm) Tỡm cỏc số thực x thỏa x 2x x 2x 1 0 .
 x3 2y 1
Cõu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh .
 3
 y 2x 1
 2
 m 2 n
Cõu 3: (4,0 điểm) Cho m và n là hai số nguyờn dương lẻ thỏa .
 2
 n 2 m
 1) Hóy tỡm một cặp gồm hai số nguyờn dương lẻ m;n thỏa cỏc điều kiện đó cho với 
 m 1 và n 1. 
 2) Chứng minh m2 n2 2 4mn .
Cõu 4: (4,0 điểm)
 1) Tớnh số cỏc ước dương của số 1000 .
 2) Tớnh số cỏc ước dương chẵn của số 1000.
Cõu 5: (4,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc Cã AB, ãABC, Bã CA đều là gúc nhọn. Gọi O là 
 đường trũn tõm O nội tiếp tam giỏc ABC và tiếp xỳc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại D, 
 E. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng OB và DE , gọi N là giao điểm của hai đường 
 thẳng OC và DE . Chứng minh bốn điểm B,C, M , N cựng thuộc một đường trũn.
 .HẾT .
 Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
 Họ và tờn thớ sinh: . .Số bỏo 
 danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2013-2014
 4 3 2
Cõu 1: (4,0 điểm) Tỡm cỏc số thực x thỏa x 2x x 2x 1 0 .
 Lời giải
 Ta thấy x 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh nờn chia cả hai vế của phương trỡnh cho 
 x2 0 ta được:
 4 3 2 2 1 1 
 x 2x x 2x 1 0 x 2 2 x 1 0 
 x x 
 2
 1 1 
 x 2 x 1 0
 x x 
 1
 2 x 1 2 (1)
 1 x
 x 1 2 
 x 1
 x 1 2 (2)
 x
 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1
 Giải (1) ta được x hoặc x .
 2 2
 Giải (2) vụ nghiệm.
 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1
 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm là x hoặc x 
 2 2
 . 
 x3 2y 1
Cõu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh .
 3
 y 2x 1
 Lời giải
 x3 2y 1
 x3 y3 2x 2y 0 x y x2 y2 xy 2 0
 3 
 y 2x 1
 y x
 x y 0
 2
 2
 2 2 y 3y
 x y xy 2 0 x 2 0 (vo õnghieọm)
 2 4
 Thay y x vào x3 2y 1 ta được x3 2x 1 0 x 1 x2 x 1 0
 x 1
 x 1 0 1 5
 x .
 x2 x 1 0 2
 1 5
 x 
 2
 Với x 1 y 1. 
 1 5 1 5
 Với x y .
 2 2
 1 5 1 5
 Với x y .
 2 2 1 5 1 5 
 x, y 1;1
 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là , ; , 
 2 2 
 1 5 1 5 
 ; .
 2 2 
 2
 m 2 n
Cõu 3: (4,0 điểm) Cho m và n là hai số nguyờn dương lẻ thỏa .
 2
 n 2 m
 1) Hóy tỡm một cặp gồm hai số nguyờn dương lẻ m;n thỏa cỏc điều kiện đó cho với 
 m 1 và n 1. 
 2) Chứng minh m2 n2 2 4mn 
 Lời giải
 1) Với m 11 và n 41 thỏa cỏc điều kiện của bài toỏn
 Vỡ khi đú m2 2 12341 và n2 2 168311. 
 2) Vỡ m2 2 n mà n2 n nờn m2 n2 2 n (1)
 Tương tự m2 n2 2 m (2)
 Gọi d là ước chung lớn nhất của m và n m2 n2 d 
 Theo chứng minh trờn m2 n2 2 m m2 n2 2 d 2d
 d 1 (3) ; nếu d 1 thỡ d 2 mõu thuẫn với m và n lẻ
 Từ (1), (2) , (3) suy ra m2 n2 2 mn
 Cuối cựng vỡ m lẻ nờn m 2k 1 (với k Ơ ) m2 4k k 1 1 
 Tương tự n2 4l l 1 1(với l Ơ )
 Suy ra m2 n2 2 4 . 
 Mà 4,mn 1 nờn suy ra m2 n2 2 4mn .
Cõu 4: (4,0 điểm)
 1) Tớnh số cỏc ước dương của số 1000.
 2) Tớnh số cỏc ước dương chẵn của số 1000.
 Lời giải
 1) Ta cú 1000 23.53 
 Gọi k là một ước dương của 1000. Suy ra k 2n.5m với n,m Ơ thỏa n 3 và m 3 
 Vậy số ước dương của 1000 là 4.4 16 
 2) Gọi k là một ước dương chẵn của 1000. Suy ra k 2n.5m với n,m Ơ thỏa 1 n 3 
 và m 3 
 Vậy số ước dương chẵn của 1000 là 3.4 12 .
Cõu 5: (4,0 điểm)Cho tam giỏc ABC cú ba gúc Cã AB, ãABC, Bã CA đều là gúc nhọn. Gọi O là 
 đường trũn tõm O nội tiếp tam giỏc ABC và tiếp xỳc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại D, 
 E. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng OB và DE , gọi N là giao điểm của hai đường 
 thẳng OC và DE . Chứng minh bốn điểm B,C, M , N cựng thuộc một đường trũn.
 Lời giải A
 E M
 N
 D
 B
 O C
 1
Theo giả thiết AD AE suy ra ADE cõn tại A Cã EM ãAED 90 Bã AC 
 2
 1
Mà Cã OM Oã BC Oã CB 90 Bã AC . 
 2
Vậy Cã EM Cã OM suy ra tứ giỏc COEM là tứ giỏc nội tiếp.
Theo giả thiết OE  AC . Từ đú BM  CM 
Tương tự CN  BN suy ra tứ giỏc BCMN là tứ giỏc nội tiếp đường trũn đường kớnh 
 BC .