Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2015-2016
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN 
 Thời gian làm bài : 150 phút 
Bài 1. (1,5 điểm)
 3a 9a 3 a 1 a 2
 Cho biểu thức M với a 0;a 1 
 a a 2 a 2 1 a
 a) Rút gọn biểu thức M . 
 b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
Bài 2. (2,0 điểm)
 a) Giải phương trình x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 9 
 x2 xy xz 48
 2
 b) Giải hệ phương trình xy y yz 12 
 2
 xz yz z 84
Bài 3. (2,0 điểm)
 a 2. 2.... 2. 2
 a) Cho  và b 2. 2....... 2.2 . Chứng minh rằng a và có 
 2016 thõa sè 2 3016 thõa sè 2
 cùng chữ số hàng đơn vị.
 b) Cho hàm số y ax a 1 với a là tham số, a 0 và a 1 . Tìm tất cả các giá trị 
 của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn nhất
Bài 4. (3,5 điểm) Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O . Trên cung nhỏ BC 
 lấy điểm M tùy ý. Đường tròn M ;MB cắt đoạn thẳng AM tại D .
 a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều.
 b) Chứng minh rằng: MA MB MC . 
 c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm trên 
 một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn O .
Bài 5. (1,0 điểm) Cho x y z 0 và xyz 0 . Tính giá trị của biểu thức
 1 1 1
 P 
 x2 y2 z2 y2 z2 x2 z2 x2 y2
 --- HẾT---- ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 ĐÀ NẴNG 2015-2016
Bài 1. (1,5 điểm)
 3a 9a 3 a 1 a 2
 Cho biểu thức M với a 0;a 1 
 a a 2 a 2 1 a
 a) Rút gọn biểu thức M . 
 b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
 Lời giải
 3a 3 a 3 a 1 a 1 a 2 a 2 
 a) Ta có: M 
 a 1 a 2 a 1 a 2 1 a a 2 
 3a 3 a 3 (a 1) (a 4) a 3 a 2
 M 
 a 1 a 2 a 1 a 2 
 a 1 a 2 a 1 a 1 2 2
 M M 1 . 
 a 1 a 2 a 1 a 1 a 1
 2
 b) M nguyên nguyên a 1 là ước của 2 . 
 a 1
 a 1 1;1;2 a 0;4;9(do a 0) . 
Bài 2. (2,0 điểm)
 a) Giải phương trình x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 9 
 x2 xy xz 48
 2
 b) Giải hệ phương trình xy y yz 12 .
 2
 xz yz z 84
 Lời giải
 a) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 9
 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 9
 x 1 2 x 1 3 9
 x 1 2 x 5 .
 b) Cộng 3 phương trình của hệ ta được x y z 2 144 x y z 12 
 x(x y z) 48
 Mặt khác hệ y(x y z) 12 kết hợp với trên ta có hai trường hợp sau:
 z(x y z) 84
 Với x y z 12 hệ có nghiệm x; y; z 4; 1; 7 . 
 Với x y z 12 hệ có nghiệm x; y; z 4;1;7 . 
Bài 3. (2,0 điểm) a 2. 2.... 2. 2
 a) Cho  và b 2. 2....... 2.2 . Chứng minh rằng a và có 
 2016 thõa sè 2 3016 thõa sè 2
 cùng chữ số hàng đơn vị.
 b) Cho hàm số y ax a 1 với a là tham số, a 0 và a 1 . Tìm tất cả các giá trị 
 của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn nhất.
 Lời giải
 a) Nhận xét 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 16 ( 8 thừa số 2 ) 
 2016 chia hết cho 8 được 252 như vậy có thể phân số a thành 252 nhóm, mỗi nhóm 
 có giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6 ) nên tích của 252 nhóm này cũng có hàng đơn vị 
 là 6 .
 3016 chia hết cho 8 được 377 như vậy có thể phân số b thành 377 nhóm, mỗi nhóm 
 có giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6 ) nên tích của 377 nhóm này cũng có hàng đơn vị 
 là 6 .
 Suy ra điều phải chứng minh.
 b) Tam giác vuôngOAB tại O nên nếu gọi h là khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số 
 1 1 1 a2 1 a2 1
 thì 
 h2 OA2 OB2 a 1 2 a 1 2 a 1 2
 a2 2a 1 2a 2 a
 h2 1 1 2 
 1 a2 1 a2 1 a2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a 1. Vậy khi a 1 thì khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số là 
 lớn nhất.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O . Trên cung nhỏ BC 
 lấy điểm M tùy ý. Đường tròn M ;MB cắt đoạn thẳng AM tại D .
 a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều.
 b) Chứng minh rằng: MA MB MC . 
 c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm trên 
 một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn O .
 Lời giải
 A
 I D
 O
 B C
 M a) Ta có: MB MD (bán kính đường tròn M )
 B· MD B· CA 60 (cùng chắn »AB )
 Nên BMD đều.
 b) ABD CBM vì AB CB; BD BM 
 Và ·ABD 60 D· BC C· BM DA MC MA MD DA 
 Mà MD MB .
 vậy MA MB MC . 
 c) Gọi I là giao điểm của O với phân giác CO (trong tam giác đều ABC )
 I là điểm chính giữa của cung nhỏ »AB và I là điểm cố định thuộc O 
 Nên MI là phân giác B· MD (góc nội tiếp chắn »AB của đường tròn O )
 Nên MI là trung trực đoạn thẳng BD vì BDM là tam giác đều
 Suy ra ID IB . 
 Do đó D luôn thuộc đường tròn I; IB cố định có tâm thuộc O . 
Bài 5. (1,0 điểm) Cho x y z 0 và xyz 0 . Tính giá trị của biểu thức
 1 1 1
 P .
 x2 y2 z2 y2 z2 x2 z2 x2 y2
 Lời giải
 Ta có : x y z 0 x (y z); y (z x); z (x y) 
 x2 y z 2 ; y2 z x 2 ; z2 x y 2
 1 1 1
 P 
 x2 y2 x y 2 y2 z2 y z 2 z2 x2 x z 2
 1 1 1 x y z
 P P 0 .
 2xy 2yz 2xz 2xyz
 --- HẾT----