Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Tỉnh Nam Định (Có đáp án)

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Tỉnh Nam Định (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm) 5 3 5 3 1. Tính giá trị biểu thức 11 6 2 . 5 22 2. Cho các số thực x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện x y z 2 , x2 y2 z2 18 và xyz 1. 1 1 1 Tính giá trị của S . xy z 1 yz x 1 zx y 1 Câu 2: (5,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5x 11 0 . 2 y y x 1 1 x 1 0 2. Giải hệ phương trình 2 2 x y 7x 3 0. Câu 3: (3,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2 y2 xy x y 1. 2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4... n 1 n 3 . Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn I . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ·ABD ·ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P. 1. Chứng minh tam giác QBI cân. 2. Chứng minh BP.BI BE.BQ . 3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK //JB . Câu 5: (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh. .HẾT . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm) 5 3 5 3 1. Tính giá trị biểu thức 11 6 2 . 5 22 2. Cho các số thực x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện x y z 2 , x2 y2 z2 18 và xyz 1. 1 1 1 Tính giá trị của S . xy z 1 yz x 1 zx y 1 Lời giải 5 3 5 3 10 2 22 1. Đặt M . Ta có M 2 2 M 2 . 5 22 5 22 2 Ta lại có 11 6 2 3 2 3 2 . 5 3 5 3 Do đó: 11 6 2 2 3 2 3. 5 22 2. Ta có xy z 1 xy x y 1 x 1 y 1 . Tương tự yz x 1 y 1 z 1 và zx y 1 z 1 x 1 . 1 1 1 x y z 3 Suy ra S x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 1 1 . xyz xy yz zx x y z 1 xy yz zx Ta có x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx xy yz zx 7 . 1 Do đó S . 7 Câu 2: (5,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5x 11 0 . 2 y y x 1 1 x 1 0 1 2. Giải hệ phương trình 2 2 x y 7x 3 0. 2 Lời giải 1 1. Điều kiện: x . 2 2 2x 1 x 3 5x 11 0 2 2x 1 x 3 5x 11 9x 1 4 2x2 5x 3 5x 11 2x2 5x 3 3 x x 3 x 3 x 1 2 2 2 2x 5x 3 9 6x x x 11x 12 0 x 12. Kết hợp điều kiện ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. 2. Điều kiện x 1, y ¡ . y2 y x 1 1 x 1 0 y2 y x 1 y 1 0 y 1 y 1 y x 1 0 . y x 1 TH1: Với y 1, thay vào (2) ta được x2 1 7x2 3 0 x2 1 7x2 3 x4 2x2 1 7x2 3 2 4 2 x 1 x 1 x 5x 4 0 (thỏa mãn điều kiện của x). 2 x 4 x 2 TH2: Với y x 1 , thay vào (2) ta được: x2 x 1 7x2 3 0 x2 4 x 1 1 7x2 3 5 0 x 2 7 x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 1 1 7x2 3 5 x 2 1 7 x 2 x 2 0. x 1 1 7x2 3 5 *) x 2 suy ra y 1. 1 7 x 2 *) x 2 0 x 1 1 7x2 3 5 7x2 3 2 1 x 2 0 . 7x2 3 5 x 1 1 7x2 3 2 Với x 1 thì 7x2 3 2 0 x 2 0 . 7x2 3 5 7x2 3 2 1 Suy ra x 2 0 . 7x2 3 5 x 1 1 Vậy hệ phương trình có các nghiệm 1;1 , 2;1 . Câu 3: (3,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2 y2 xy x y 1. 2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4... n 1 n 3 . Lời giải 1. Ta có x2 y2 xy x y 1 x y 2 x 1 2 y 1 2 4 . Ta có bảng giá trị tương ứng (học sinh có thể xét từng trường hợp). x y x 1 y 1 Nghiệm x; y 2 0 0 1;1 2 0 0 Loại 0 2 0 Loại 0 2 0 1;1 0 0 2 Loại 0 0 2 1; 1 Vậy các số x; y cần tìm là 1;1 , 1;1 , 1; 1 . 2. Với mỗi số nguyên dương k ta có k k 2 1 k 2 1 1 k 1 k 1 . Sử dụng đẳng thức trên liên tiếp với k 3,4,...,n ta được: 3 1 2.4 1 2 1 3.5 1 2 1 3 1 4.6 1 2 1 3 1 1 n 1 n 1 1 2 1 3 1 1 n 1 n 1 2 2 3 4... n 1 n (đpcm). Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn I . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ·ABD ·ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P. 1. Chứng minh tam giác QBI cân. 2. Chứng minh BP.BI BE.BQ . 3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK //JB . Lời giải P A D J I O K B C H E Q 1. Ta có AI là phân giác của B· AC nên Q là điểm chính giữa của cung BC của (O). Suy ra B· AQ Q· AC Q· BC . Khi đó I·BQ I·BC Q· BC I·BA B· AQ B· IQ QBI cân tại Q. AB AD 2. ABD ∽ ACB (g.g) hay AB2 AD.AC . (1) AC AB ADI ∽ AEC (g.g) (có góc A chung và ·AID ·ACE ) AD AI hay AI.AE AD.AC . (2) AE AC Từ (1) và (2) suy ra AI.AE AB2 ABI ∽ AEB (c.g.c) A· BC A· EB A· BI . 2 B· AC Mà ·AEP B· AE (hai góc so le trong), 2 ·ABC B· AC suy ra B· EP . 2 B· AC ·ABC Theo ý 1 ta có B· IQ suy ra B· IQ B· EP . 2 Ta có B· PE ·ABD ·ACB B· QI BP BE Suy ra PBE ∽ QBI (g.g) BP.BI BE.BQ (đpcm). BQ BI B· AC ·ABC 3. BQI ∽ BPE và BQI cân tại Q nên PBE cân tại P, suy ra P· BE và 2 PH BE với H là trung điểm của BE. Vì HK là đường trung bình của EBJ nên HK//BJ. ·ACB B· AC ·ABC Ta có J· BD và D· BE , suy ra J· BE 90 hay JB BE . 2 2 Suy ra PH // JB . Do đó P, H, K thẳng hàng hay PK // JB . Câu 5: (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh. Lời giải Giả sử tất cả các câu lạc bộ đều có không quá 8 học sinh. Gọi N là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh. Nếu N 4 , từ 5 trong số các câu lạc bộ này, chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh, khi đó 10 học sinh này không thỏa mãn điều kiện bài toán. Nếu N 4 , khi đó số học sinh tham gia các câu lạc bộ này không quá 3.8 24 , nghĩa là còn ít nhất 35 24 11 học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh. Chọn 10 học sinh trong số này, không thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy N 4 . Số học sinh tham gia 4 câu lạc bộ này không quá 4.8 32 , nghĩa là còn ít nhất 3 học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh. Chọn 2 trong số học sinh này và mỗi câu lạc bộ trên chọn 2 học sinh, khi đó 10 học sinh không thỏa mãn điều kiện. Vậy điều giả sử sai, nghĩa là tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh tham gia. ..HẾT
Tài liệu đính kèm:
de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2015_2016_t.docx