Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Tỉnh Quảng Ngãi (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 - 2017
Câu 1: (4,0 điểm)
 5 3 3 5
 1) Rút gọn biểu thức: A .
 2 3 5 2 3 5
 x2 x x2 x
 2) Cho A .
 x x 1 x x 1
 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A . 
 b) Đặt B A x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B .
Câu 2: (4,0 điểm)
 Giải phương trình 
 x 3
 1) Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 
 2
 2) Giải phương trình: 2x2 5x 12 2x2 3x 2 x 5 .
Câu 3: (3,0 điểm)
 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k 3không phải là lập phương của một 
 số nguyên.
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 25 y(y 6) .
Câu 4: (7,0 điểm)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn 
 (O) (C khác A , C khác B ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB , D là điểm 
 đối xứng với A qua C , I là trung điểm của CH , J là trung điểm của DH .
 a) Chứng minh C· IJ = C·BH .
 b) Chứng minh DCJH đồng dạng với DHIB .
 c) Gọi E là giao điểm của HD và BI . Chứng minh HE.HD HC 2 .
 d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn O để AH CH đạt giá trị lớn 
 nhất.
Câu 5: (2,0 điểm)
 a b c
 Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2 .
 b c c a a b
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (4,0 điểm)
 5 3 3 5
 1) Rút gọn biểu thức: A .
 2 3 5 2 3 5
 x2 x x2 x
 2) Cho A .
 x x 1 x x 1
 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A . 
 b) Đặt B A x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B .
 Lời giải
 5 3 3 5
 1) Ta có A .
 2 3 5 2 3 5
 5 3 3 5 2 5 3 2 3 5 
 A = = 
 2 3 5 2 3 5 2 6 2 5 2 6 2 5
 2 5 3 2 3 5 2 5 3 2 3 5 
 = 
 2 2 5 3 3 5
 2 5 1 2 5 1 
 = 2 2 .
 x2 x x2 x
 2. A 
 x x 1 x x 1
 a) ĐKXĐ: x 0
 3 3
 x2 x x2 x x x 1 x x 1 
 A 
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 
 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x x x 2 x .
 2
 b) B A x – 1 = 2 x x 1 x 2 x 1 x 1 2 2 .
 Dấu “=” xảy ra x 1 0 x 1 ( thỏa mãn ).
Câu 2: (4,0 điểm)
 Giải phương trình x 3
1) Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 
 2
2) Giải phương trình: 2x2 5x 12 2x2 3x 2 x 5 .
 Lời giải
 x 3
1) Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 .
 2
ĐKXĐ : x 1.
 x 3
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 2
 x 3
 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 
 2
 2 2 x 3
 x 1 1 x 1 1 
 2
 x 3
 x 1 1 x 1 1 (*)
 2
+) Nếu x 2 phương trình (*) 
 x 3 x 3
 x 1 1 x 1 1 2 x 1 4 x 1 x 3
 2 2
 16(x 1) x2 6x 9 x2 10x 25 0 (x 5)2 0 x 5 (thỏa mãn).
+) Nếu 1 x 2 phương trình (*) 
 x 3 x 3
 x 1 1 1 x 1 2 4 x 3 x 1 ( thỏa mãn).
 2 2
Vậy phương trình có nghiệm x 1 và x 5.
2) Giải phương trình: 2x2 5x 12 2x2 3x 2 x 5 .
Đặt u 2x2 5x 12,v 2x2 3x 2 (u 0,v 0)
 u2 2x2 5x 12,v2 2x2 3x 2 u2 v2 2x 10 2(x 5) .
Từ (1) 2(u v) (u2 v2 ) (u v)(u v 2) 0 (2)
Vì u 0,v 0 , từ (2) suy ra: u v 2 0. Vì vậy 2x2 5x 12 2x2 3x 2 2 (3)
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 
 2 2x2 3x 2 x 3
 x 3 0 x 3 x 3
 2 2 2
 2 2x 3x 2 x 3 7x 6x 1 0 (7x 7) (6x 6) 0
 x 3
 (x 1)(7x 1) 0 x 3
 1
 1 x 1, x tm 
 x 1, x 7
 7
 1
 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1, x .
 7
Câu 3: (3,0 điểm)
 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k 3không phải là lập phương của một 
 số nguyên.
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 25 y(y 6) .
 Lời giải
 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k 3 không phải là lập phương của một 
 số nguyên.
 Giả sử 2016k 3 a3 với k và a là số nguyên. 
 Suy ra: 2016k a3 3 .
 Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7.
 Thật vậy: Ta biểu diễn a 7m r , với r 0;1; 1;2; 2;3; 3 .
 Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7
 Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 2016k . Ta suy ra điều phải chứng minh.
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 25 y(y 6) .
 Từ x2 25 y(y 6) y 3 x y 3 x 16
 Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải 
 với x là số tự nhiên.
 Khi đó: y 3 x y 3 x .
 Ta có y 3 x y 3 x 2 y 3 là số chẵn 
 Suy ra 2 số y 3 x và y 3 x cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số 
 chẵn , vậy 2 số y 3 x và y 3 x là 2 số chẵn.
 Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
 16 8. 2 4. 4 2. 8 trong đó thừa số đầu bằng giá trị y 3 x .
 Khi y 3 x = 8 , y 3 x = -2 ta có x 5, y 0 .
 Khi y 3 x = 4 , y 3 x = -4 ta có x 4, y 3. Khi y 3 x = 2 , y 3 x = -8 ta có x 5, y 6. 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
 x, y x; y 5,0 ; 5, 6 ; 4, 3  .
Câu 4: (7,0 điểm)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn 
 (O) (C khác A , C khác B ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB , D là điểm 
 đối xứng với A qua C , I là trung điểm của CH , J là trung điểm của DH .
 a) Chứng minh C· IJ = C·BH .
 b) Chứng minh DCJH đồng dạng với DHIB .
 c) Gọi E là giao điểm của HD và BI . Chứng minh HE.HD HC 2 .
 d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn O để AH CH đạt giá trị lớn 
 nhất.
 Lời giải
 D
 a)+ Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB 
 nên AC  BC
 Suy ra BC  CD (1)
 + Lập luận để chỉ ra IJ PCD (2)
 + Từ (1) và (2) suy ra IJ ^ BC C
 J
 + Suy ra C· IJ = C·BH (cùng phụ với H· CB ) (3) 
 CH
 b)+) Trong vuông CBH ta có: tan C·BH = I E
 BH
 (4)
 + Lập luận chứng minh được CJ P AB A H O B
 + Mà CH  AB (gt)
 + Suy ra CJ  CH 
 CJ CJ
 +) Trong tam giác vuông CIJ ta có tan C· IJ = = (CI = HI) (5)
 CI HI
 CH CJ
 + Từ (3), (4), (5) 
 HB HI
 CH CJ
 + Xét CJH và HIB có H· CJ B· HI 900 và (cmt)
 HB HI
 + Nên CJH đồng dạng với HIB
 c)+ Lập luận để chứng minh được H· EI 900
 + Chứng minh được HEI đồng dạng với HCJ
 HE HI
 + Suy ra 
 HC HJ
 + Suy ra HE.HJ HI.HC 
 1 1
 + Mà HJ HD; HI HC
 2 2
 + Suy ra HE.HD HC 2 d) 
 C
 M
 450
 A H O K B N
 + Lấy điểm M trên nửa đường tròn O sao cho B·OM = 450
 + Tiếp tuyến của nửa đường tròn O tại M cắt AB tại N . Ta có M và N cố định
 + Kẻ MK  AB tại K .
 + Chứng minh được DMON vuông cân tại M và KM KN suy ra ·ANC 45 .
 Xét C  M
 Ta có C  M nên H  K 
 Do đó AH CH AH HN AN AH CH AK KM AK KN AN (không 
 đổi)
 + Xét C khác M .
 Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM
 Do đó ·ANC < ·ANM = 450
 + DHNC có N·HC = 900
 nên H·NC + H·CN = 900
 Mà H·NC 450
 Suy ra H·NC < H·CN
 Suy ra HC HN 
 + Do đó AH CH AH HN AN
 + Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn O sao cho B·OC = 450 thì AH CH
 đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5: (2,0 điểm)
 a b c
 Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2 .
 b c c a a b
 Lời giải a 2a
Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b c 2 a b c .
 b c a b c
 b 2b c 2c
Chứng minh tương tự ta được ; 
 c a a b c a b a b c
 a b c 2 a b c 
Suy ra 2 .
 b c c a a b a b c
 a b c
Dấu bằng xảy ra b c a a b c 0 (trái với giả thiết).
 c a b
 a b c
Vậy dấu “ = “ không xảy ra, nên 2 .
 b c c a a b
 -------------------HẾT--------------------