Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Tỉnh Thanh Hóa (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017
Bài 1: (5,0 điểm) 
 x 2 x 1 x 1
 Cho biểu thức: P : . 
 x x 1 x x 1 1 x 2
 Với x 0, x 1.
 a) Rút gọn biểu thức P .
 2
 b) Tìm x để P .
 7
 c) So sánh: P2 và 2P .
Bài 2: (4,0 điểm) 
 2 2 2
 a) Tìm x, y ¢ thỏa mãn: 2y x x y 1 x 2y xy
 b) Cho a;b;c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 
 2
 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 
 a b c a b c
 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm)
 a) Giải phương trình sau: 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20
 b) Cho x; y là 2 số thực thoả mãn: x2 2y2 2xy 7x 7y 10 0 .
 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A x y 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB
 . Gọi E là giao điểm của CN và DA . Vẽ tia Cx vuông góc với CE và 
 cắt AB tại F . Lấy M là trung điểm của EF .
 a) Chứng minh: CM vuông góc với EF . 
 b) Chứng minh: NB.DE a2 và B; D;M thẳng hàng.
 c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 
 lần diện tích của hình vuông ABCD .
Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c a b c
 a b b c c a b c c a a b
 -------------- Hết------------
 Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài 1: (4,0 điểm) 
 Điều kiện: x 0, x 1.
 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
 A : :
 3 
 x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 x x 1 1 x 2
 x 2 x x 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 2
 : .
 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 x 1
 2
 x 1 2 2
 . 
 x 1 x x 1 x 1 x x 1
 b)Với x 0, x 1. Ta có:
 2 2 2
 P x x 1 7 x x 6 0
 7 x x 1 7
 x 2 x 3 0
 Vì x 3 0 nên x 2 0 x 4 (t/m)
 2
 Vậy P = khi x = 4
 7
 c)Vì x 0 x x 1 1
 2
 0 2 0 P 2 P(P 2) 0 P2 2P 0 P2 2P
 x x 1
 Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
 2
 Vậy P 2P
Bài 2: (4,0 điểm) 
 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy 0
 x 1 2y2 y x 1
 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1
 +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 
 1
 y = 1 (t/m)hoặc y = Z (loại).
 2
 +) Nếu x – 1 = -1 x = 0 .
 1
 Khi đó 2y2 y 1 y 1 (t/m)hoặc y Z (loại)
 2 x 2 x 0
 Vậy ; 
 y 1 y 1
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 b)Từ giả thiết 2 2 2 2 0
 a b c a b c ab bc ca 
 Vì a,b,c 0 nên a b c 0 .
 a b c a b 3 c 3 a3 b3 3ab a b c3
 a3 b3 c3 3abc
 Vậy a3 b3 c3 3 với a,b,c Z .
 Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức.
 x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx 
 mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
Bài 3: (4,0 điểm)
 a)Đkxđ: x R .
 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20
 Vì 4x2 20x 25 x2 6x 9 0 với x 10x 20 0 x 2
 Ta có: 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20
 2x 5 x 3 10x 20 2x 5 x 3 10x 20
 7x 28 x 4(t / m)
 Vậy phương trình có nghiệm là x 4 .
 b) x2 2y2 2xy 7x 7y 10 0.
 x y 2 7 x y 10 y2 x y 2 x y 5 y2 0
 4 x y 1 1
 ➢ x y 1 4 khi x 5; y 0 .
 ➢ x y 1 1 khi x 2; y 0 .
 Vậy Amin 4 khi x 5; y 0
 Amax 1 khi x 2; y 0.
Bài 4: (6,0 điểm) E
 M
 A N B F
Ta có: D C E· CD B· CF (cùng phụ với 
E· CB ).
Chứng minh được EDC FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) .
 CE CF ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM  EF .
* Vì EDC FBC ED FB .
 NCF vuông tại C . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
BC 2 NB.BF a2 NB.DE (đpcm).
 EF
* CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM 
 2
 EF
 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM 
 2
 CM AM M thuộc đường trung trực của AC .
Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC .
 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).
Đặt DE x (x 0) BF x .
 1 1
S S S AF AE CB AB BF . AE AD 
 ACFE ACF AEF 2 2
 1 1
 a x .DE a x x
 2 2
 1
 S 3.S a x x 3a2 6a2 ax x2 0
 ACFE ABCD 2
 2a x 3a x 0
Do x 0 ; a 0 ; 3a x 0 2a x 0 x 2a .
 A là trung điểm của DE AE a . AN AE
 Vì AE / /BC nên 1.
 NB BC
 N là trung điểm của AB .
 Vậy với N là trung điểm của AB thì S ACFE 3.S ABCD .
Bài 5: (1 điểm)
 a a a c
 * Vì a,b,c 0 nên 1 .
 a b a b a b c
 b b a c c b
 Tương tự: ; . 
 b c a b c c a a b c
 a b c
 2 (1)
 a b b c c a
 a a
 * Ta có: 
 b c a(b c)
 Vì a,b,c 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
 a b c 2 1
 a b c 0 
 2 a b c a b c 
 2a a 2a a
 a b c a b c a b c b c
 2b b 2c c
Tương tự: ; 
 a b c a c a b c b a
 a b c
 2 .
 b c a c a b
Dấu " " xảy ra khi a b c ; b c a ; c a b .
 tức là a b c (vô lý).
 a b c
 2 (2) .
 b c a c a b
 Từ (1); (2) ta có đpcm.