Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Hà Giang (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG
 NĂM HỌC 2017 – 2018
Câu 1. 
 2017
a) Cho x 4 7 4 7 . Tính A x4 x3 x2 2x 1 .
b) Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
 1 1 1
Chứng minh rằng: A là bình phương của một số hữu tỉ. 
 a b 2 b c 2 c a 2
Câu 2. 
 2x 13x
a) Giải phương trình: 6 .
 2x2 5x 3 2x2 x 3
b) Cho P(x) x2 ax b với a,b N . Biết P 1 2017 . Tính P 3 P 1 . 
Câu 3. 
Tìm các số nguyên dương n sao cho n4 n3 1 là số chính phương. 
Câu 4. 
 b2 c2 c2 a2 a2 b2
Cho a;b;c 0 . Chúng minh rằng: 2 a b c .
 a b c
Câu 5.
Cho ABC vuông cân tại A . Gọi D là trung điểm BC . Lấy M bất kỳ trên cạnh AD , M A,D . 
Gọi N ,P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu của 
N xuống đường thẳng PD .
 a) Chứng mính AH  BH .
 b) Đường thẳng qua B , song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I .
Chứng minh ba điểm H , N ,I thẳng hàng.
 HẾT 
 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018
Câu 1. 
 2017
a) Cho x 4 7 4 7 . Tính A x4 x3 x2 2x 1 .
b) Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
 1 1 1
Chứng minh rằng: A là bình phương của một số hữu tỉ.
 a b 2 b c 2 c a 2
 Lời giải.
a. Ta có: x 2 8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 2 x 2 .
Vậy : A 1.
b. Ta có: 
 2
 1 1 1 
 a b b c c a 
 1 1 1 2 2 2
 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c b c c a c a a b 
 1 1 1 2 c a a b b c 
 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 
 1 1 1
 a b 2 b c 2 c a 2
Câu 2. 
 2x 13x
a) Giải phương trình: 6 .
 2x2 5x 3 2x2 x 3
b) Cho P(x) x2 ax b với a,b N . Biết P 1 2017 . Tính P 3 P 1 .
 Lời giải.
 3
a. ĐKXĐ: x 1; x 
 2
➢ Xét x 0 không là nghiệm.
 2 13
➢ Xét x 0 , phương trình đã cho tương đương với 6 .
 3 3
 2x 5 2x 1 
 x x
 1
 3 2 13 t 
Đặt : 2x 5 t ta được 6 2t2 7t 4 0 2t 1 t 4 0 2
 x t t 6 
 t 4
 3
 1 3 1 x 
 ✓ Với t 2x 5 4 .
 2 x 2 
 x 2 3
 ✓ Với t 4 2x 5 4 2x2 x 3 0 (vô nghiệm).
 x
 3 
Vậy phương trình có tập nghiệm là S ; 2 .
 4 
b. Vì P 1 2017 2017 1 a b a b 2016 . 
Do đó: P 3 P 1 9 3a b 1 a b 10 2 a b 4042 .
Câu 3. 
Tìm các số nguyên dương n sao cho n4 n3 1 là số chính phương.
 Lời giải.
Đặt : A n4 n3 1.
 Với n 1 thì A 3 không thỏa mãn.
 Với n 2 ta có 4A 4n4 4n3 4.
 2 2
 ➢ Xét: 4A 2n2 n 1 3n2 2n 3 0 4A 2n2 n 1 .
 2 2
 ➢ Xét: 4A 2n2 n 4 n2 0 4A 2n2 n .
 2
Vậy: 4A 2n2 n n 2 
Với n 2 thì A 25 thỏa mãn bài toán.
Câu 4. 
 b2 c2 c2 a2 a2 b2
Cho a;b;c 0 . Chúng minh rằng: 2 a b c .
 a b c
 Lời giải.
Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có : 
b2 c2 c2 a2 a2 b2 bc ca ab 
 2 
 a b c a b c 
 bc ca ca ab ab bc 
 2 a b c 
 a b b c c a Dấu bằng xảy ra khi a b c .
 C
Câu 5. 
Cho ABC vuông cân tại A . Gọi D là trung điểm BC . Lấy M bất kỳ 
 E
trên cạnh AD , M A,D . Gọi N ,P theo thứ tự là hình chiếu vuông D
 H
 M
góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu của N xuống P
đường thẳng PD .
 A
a) Chứng mính AH  BH . N B
b) Đường thẳng qua B , song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I .
Chứng minh ba điểm H , N ,I thẳng hàng.
 Lời giải. I
a. Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia PD tại E
Ta có : BE PC BN suy ra BEN vuông cân tại B .
Do: N· BE N· HE 900 nên B;H cùng thuộc đường tròn đường kính NE .
Suy ra : N· HB N· EB 450 (1)
Tương tự hai điểm A;H cùng thuộc đường tròn đường kính PN suy ra ·AHN ·APN 450 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A· HB 900 hay AH  BH .
b. Từ giả thiết suy ra A· IB 900 nên I là điểm chính giữa của cung A¼IB của đường tròn đường kính 
AB .
Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của A· HB và A· HB là góc nội tiếp chắn cung 
A¼IB của đường tròn đường kính AB . nên HN phải đi qua I Do đó ba điểm H , N ,I thẳng hàng.
 HẾT