Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Kiên Giang (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (3 điểm)
 1) Cho biểu thức A n2 4n 5 ( n là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng A không chia 
 hết cho 8 .
 1
 2) Cho số x (x ¡ ; x 0) thỏa mãn điều kiện: x2 7 . Tính giá trị các biểu thức: 
 x2
 1
 B x5 . 
 x5
Câu 2: (3 điểm) 
 Rút gọn biểu thức: 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 X 1 1 1 ... 1 . 
 12 22 22 32 32 42 20172 20182
Câu 3: (4 điểm)
 1) Giải phương trình: 3x 2 27x3 8 9x2 6 .
 2) Tìm hai số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m 2 n đạt giá trị nhỏ nhất sao cho 
 hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 mx 2 0 ; x2 2nx 6 0 . 
Câu 4: (3 điểm)
 1) Cho phương trình: x2 2(m 3)x m 3 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có 
 một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2.
 x y z t
 2) Cho x, y, z, t là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 . 
 y z z t t x x y
Câu 5: (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21cm x 29,7cm) người 
 ta thực hiện như hình vẽ minh họa bên.
 Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh a 21 cm.
 Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD tại F .
 Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF .
 Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4 thông dụng 
 hiện nay.
 Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng
 AE , rồi xếp theo đường thẳng FM ( M là trung điểm BE ) 
 khi mở tờ giấy ra. An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM
 và AE vuông góc với nhau. Em hãy chứng minh giúp bạn 
 An vẽ điều đó.
Câu 6: (4 điểm)
 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , trên dây cung DC lấy điểm E sao 
 cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại M . Trên cung nhỏ CB lấy điểm N sao 
 cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC tại F . Chứng minh 
 rằng: F là trung điểm của BC . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018
 Câu 1:(3 điểm)
 1) Cho biểu thức A n2 4n 5 ( n là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng A không chia 
 hết cho 8 .
 1
 2) Cho số x (x ¡ ; x 0) thỏa mãn điều kiện: x2 7 . Tính giá trị các biểu thức: 
 x2
 1
 B x5 . 
 x5
 Lời giải
 1) Ta có: n2 4n 5 n2 1 4n 6 (n 1)(n 1) 2(2n 3) .
 Do n lẻ nên n 1 và n 1 là hai số chẵn liên tiếp (n 1)(n 1)  8 .
 Mà 2n 3 lẻ 2n 3không chia hết cho 4 2(2n 3) không chia hết cho 8 
 (n 1)(n 1) 2(2n 3) (n 1)(n 1) 2(2n 3) không chia hết cho 8.
 2
 2 1 1 1
 2) Ta có: x 2 7 x 9 x 3 (do x 0 ).
 x x x
 3
 1 3 1 1 3 1
 x 27 x 3 3 x 27 x 3 18 
 x x x x
 2 1 3 1 5 1 1 5 1
 x 2 x 3 18.7 126 x 5 x 126 x 5 123 .
 x x x x x
Câu 2: (3 điểm) 
 Rút gọn biểu thức: 
 1 1 1 1 1 1 1 1
X 1 1 1 ... 1 . 
 12 22 22 32 32 42 20172 20182
 Lời giải
 1 1 n2 (n 1)2 (n 1)2 n2
 Tổng quát: 1 
 n2 (n 1)2 n(n 1)2
 2 2
 n(n 1) 2n(n 1) 1 n(n 1) 1 n(n 1) 1 1
 1 .
 n(n 1)2 n(n 1)2 n(n 1) n(n 1)
 1 1 1 1 1 1 1 1
 Vậy X 1 1 1 ... 1 
 12 22 22 32 32 42 20172 20182
 1 1 1 1
 1 1 1 ... 1 
 1.2 2.3 3.4 2017.2018
 1 1 1 1 1 1 1 1 4072323
 2017 1 ... 2018 .
 2 2 3 3 4 2017 2018 2018 2018
Câu 3: (4 điểm)
 1) Giải phương trình: 3x 2 27x3 8 9x2 6 . 2) Tìm hai số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m 2 n đạt giá trị nhỏ nhất sao cho 
hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 mx 2 0 ; x2 2nx 6 0 . 
 Lời giải
 2
1) 3x 2 27x3 8 9x2 6 Điều kiện: x 
 3
Pt 3x 2 (3x 2)(9x2 6x 4) 9x2 6
 9x2 6x 4 2 (3x 2)(9x2 6x 4) 3x 2 0 
 2
 9x2 6x 4 3x 2 0 9x2 6x 4 3x 2
 2
 x 
 2 3 2 1
 9x 9x 2 0 ( thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm là x ;  . 
 1 3 3
 x 
 3
2) Do m, n cùng dấu nên:
- Nếu m 0; n 0 thì m 2 n m 2n .
- Nếu m 0; n 0 thì m 2 n m 2n (m 2n) .
 2
 x0 mx0 2 0
 Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình ta được: có nghiệm 
 0 2
 x0 2nx0 6 0
chung
 2 2
 2x0 (m 2n)x0 8 0 có nghiệm x0 . (m 2n) 4.2.8 0 
 2 m 2n 8
 (m 2n) 64 m 2 n 8 . 
 m 2n 8
 m 2n 8
Vậy m 2 n đạt GTNN là 8 khi .
 m 2n 8
 2 2
+ TH1: m 2n 8 , ta được 2x0 8x0 8 0 x0 4x0 4 0 x0 2 .
 2 m 3
 ( 2) m.( 2) 2 0 
Ta có 5 (thỏa mãn).
 ( 2)2 2n.( 2) 6 0 n 
 2
 2 2
+ TH2: m 2n 8 , ta được 2x0 8x0 8 0 2(x0 2) 0 x0 2 .
 2 m 3
 2 m.2 2 0 
Ta có 5 (thỏa mãn). 
 22 2n.2 6 0 n 
 2
 5
Vậy với m 3 và n thì hai phương trình có nghiệm chung x 2 . 
 2 0 5
 Vậy với m 3 và n thì hai phương trình có nghiệm chung x 2 . 
 2 0
Câu 4: (3 điểm)
 1) Cho phương trình: x2 2(m 3)x m 3 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có 
 một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2.
 2) Cho x, y, z, t là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 x y z t
 2 
 y z z t t x x y
 Lời giải
 2
 1) Xét phương trình: x 2(m 3)x m 3 0 . Giả sử x1 2 x2 
 x1x2 m 3
 Áp dụng Vi-et ta có: .
 x1 x2 2(m 3)
 Để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 thì:
 ' 0 (m 3)2 m 3 0
 (x1 2)(x2 2) 0 x1x2 2(x1 x2 ) 4 0
 m2 5m 12 0 11
 m (do m2 5m 12 luôn lớn hơn 0).
 3m 11 0 3
 11
 Vậy với m thì phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2.
 3
 x y z t x y z t
 2) Đặt A , M 
 y z z t t x x y x y y z z t t x
 y z t x
 N .
 x y y z z t t x
 x y z t y z t x
 M N 4 . 
 x y y z z t t x x y y z z t t x
 y t x z y t x z
 Ta có N A 
 x y y z z t t x
 1 1 1 1 4( y t) 4(x z)
 (y t) (x z) 4 .
 x y z t y z t x x y z t x y z t
 Chứng minh tương tự ta cũng có A M 4 
 A M A N 8 A 2 . Dấu “=” xảy ra khi x y z t 0 .
Câu 5: (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21cm x 29,7cm) người 
 ta thực hiện như hình vẽ minh họa bên. Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh a 21 cm.
 Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD tạiF
 .
 Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF .
 Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4 thông dụng 
 hiện nay.
 Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng
 AE , rồi xếp theo đường thẳng FM ( M là trung điểm BE ) 
 khi mở tờ giấy ra. An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM
 và AE vuông góc với nhau. Em hãy chứng minh giúp bạn 
 An vẽ điều đó.
 Lời giải
 Ta có: AC DB AB2 BC 2 21 2 (cm). Mà AC AF (C, F thuộc đường tròn 
 tâm A )
 AF AC 21 2 EB . Xét ABE vuông tại B ta có 
 AE AB2 BE 2 212 (21 2)2 21 3 .
 1 21 2
 Xét FME vuông tại E ta có: EM EB . Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: 
 2 2
 2
 2 2 2 21 2 21 6
 FM FE ME 21 .
 2 2
 21 6
 AE 21 3 FM
 Ta có: 3 ; 2 3 . Xét AEF và FME ta có:
 EF 21 ME 21 2
 A· FE F· EM 90
 · ·
 AE FM AEF ∽ FME (c.g.c) FEA FME 
 EF ME
 Mà F· EA H· EM 90 F· ME M· EH 90 FM  AE . 
Câu 6: (4 điểm)
 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , trên dây cung DC lấy điểm E sao 
 cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại M . Trên cung nhỏ CB lấy điểm N sao 
 cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC tại F . Chứng minh 
 rằng: F là trung điểm của BC .
 Lời giải EI ME
Gọi I là giao điểm của BM và CD . Ta có EI // AB .
 AB AM
Kẻ OX vuông góc với . Khi đó DM OXD ∽ ADE (g.g) 
 DX DE DE 1 1 2
 DX R DM R
 OD AE DE 2 AD2 10 10 10
 ME DE MD ME DE MD2 1
 Ta có DEM ∽ AEC . 
 CE AE AC AE CE AC 2 10
 ME 1 ME 1 1 1 1
 EI AB CD ID EI DE CD 
 AE 5 AM 6 6 6 2
 1
 CMI ∽ BNF (g.c.g) BF CI BC (đpcm).
 2
 ..HẾT