Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Vĩnh Phúc (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018
 a 2018 a 2018 a 1
Câu 1: Rút gọn biểu thức P . 
 a 2 a 1 a 1 2 a
 2
Câu 2: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x y x y z , x y z và 
 2
 x x z x z
y z . Chứng minh đẳng thức 2 . 
 y y z y z
Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321.
 (m 1)x y 2
Câu 4: Cho hệ phương trình ( m là tham số và x, y là ẩn số).
 x 2 y 2
 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y là 
 các số nguyên.
Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3 .
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A . AB 12cm , AC 16cm . Gọi I là giao điểm các đường 
phân giác trong của tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng 
BI vuông góc với đường thẳng MI . 
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc B· AD 50 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là 
chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB . Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm 
M không trùng với điểm B ), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song 
song với đường thẳng AN .
 a) Chứng minh rằng MB.DN BH.AD .
 b) Tính số đo góc M· ON . 
Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B , C cố định thuộc đường tròn (O) . 
Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C ), M là 
trung điểm của đoạn thẳng AC . Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB , 
đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H . Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường 
tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.
 1 1 1
Câu 9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 . Chứng minh rằng: 
 a b c
 1 1 1 2
 .
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3
Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 1
 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .
 3
 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. 
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: .
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018
 a 2018 a 2018 a 1
Câu 1: Rút gọn biểu thức P . 
 a 2 a 1 a 1 2 a
 Lời giải
 a 0
 Điều kiện: . Khi đó:
 a 1
 a 2018 a 2018 a 1
 P 
 2 
 ( a 1) ( a 1)( a 1) 2 a
 ( a 2018)( a 1) ( a 2018)( a 1) a 1
 . 
 ( a 1)2 ( a 1) 2 a
 2.2017 a a 1 2017
 . .
 ( a 1)2 ( a 1) 2 a a 1
 2
Câu 2: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x y x y z , x y z và 
y z . 
 2
 x x z x z
 Chứng minh đẳng thức 2 . 
 y y z y z
 Lời giải
 2 2 2
 x x z x y z y x z 
 Ta có: 2 2 2 
 y y z x y z x y z 
 2
 x 2 y z x z x z x z 2 x 2 y 2 z x z
 2 
 2 x y z y z y z y z 2 x 2 y 2 z y z
 .
Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321.
 Lời giải
 Ta có: abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321 (1)
 Vì a, b, c, d ¥ và 1 a 9 , 0 b, c, d 9 nên 3214 1111a 4321 a 3. 
 Thay vào (1) ta được 111b 11c d 988 (2). Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 b 8 . Thay vào (2) ta được 11c d 100 . Mà 
 91 11c 100 c 9 và d 1. 
 (m 1)x y 2
Câu 4: Cho hệ phương trình ( m là tham số và x, y là ẩn số).
 x 2 y 2
 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y là 
 các số nguyên.
 Lời giải
 Từ phương trình x 2 y 2 x 2 2 y thế vào phương trình thứ nhất ta được 
 (m 1)(2 2 y) y 2 (2m 3) y 2m 4 (3).
 Hệ có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y là các số nguyên (3) có nghiệm y là số 
 nguyên.
 2m 4 1
 Với m ¢ 2m 3 0 (3) có nghiệm y 1 .
 2m 3 2m 3
 2m 3 1 m 2
 y ¢ . Vậy có hai giá trị m thỏa mãn là 1; 2 . 
 2m 3 1 m 1
Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3 .
 Lời giải
 1 x 0
 Điều kiện xác định: 4 x 1 (*).
 4 x 0
 Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với 5 2 1 x. 4 x 9 
 2 x 0
 (1 x)(4 x) 2 (1 x)(4 x) 4 x 3x 0 x(x 3) 0 .
 x 3
 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được x 0; x 3 .
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A . AB 12cm , AC 16cm . Gọi I là giao điểm các đường 
 phân giác trong của tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng 
 đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI . 
 Lời giải
 A
 E
 I
 C
 B M
 Ta có BC AB2 AC 2 20cm . Gọi E là giao điểm của BI với AC .
 AE EC AE EC 1 BC
 Theo tính chất đường phân giác ta có: EC 10cm .
 AB BC AB BC 2 2 Ta có ICE ICM (c g c) do EC MC 10 ; I·CE I·CM ; IC chung
 I·EC I·MC I·EA I·MB . Mặt khác I·BM I·BA IBM ∽ ABE .
 B· IM B· AE 90 BI  MI . 
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc B· AD 50 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là 
chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB . Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm 
M không trùng với điểm B ), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song 
song với đường thẳng AN .
 a) Chứng minh rằng MB.DN BH.AD .
 b) Tính số đo góc M· ON . 
 Lời giải
 M
 B
 H
 A C
 O
 D
 N
 Ta có M· BH A· DN , M· HB A· ND MBH ∽ ADN 
 MB BH
 MB.DN BH.AD (1).
 AD DN
 BH OB
 Ta có OHB ∽ AOD DO.OB BH.AD (2).
 DO AD
 MB OB
 Từ (1) và (2) ta có MB.DN DO.OB .
 DO DN
 Ta lại có M· BO 180 C· BD 180 C· DB O· DN 
 MBO ∽ ODN O· MB N· OD .
 M· ON 180 M· OB N· OD 180 M· OB O· MB 180 O· BC 115. 
Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B , C cố định thuộc đường tròn (O) . 
Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C ), M là 
trung điểm của đoạn thẳng AC . Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB , 
đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H . Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường 
tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.
 Lời giải Gọi D là trung điểm của đoạn BC , vì tam giác BOC , AOC là các tam giác cân tại 
 O nên OD  BC, OM  AC .
 Ta có: O· DC O· MC 90 Bốn điểm O, D,C, M cùng nằm trên đường tròn (I ) có 
 tâm I cố định, đường kính OC cố định.
 Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I , khi đó E cố định và DE là đường kính 
 của đường tròn (I ) .
 Nếu H E, H B : 
 - Với M  E B· HE 90 
 - Với M E , do DM // BH D· MH 90 . Khi đó D· ME D· MH 90 H, M , E 
 thẳng hàng. Suy ra B· HE 90 .
 Vậy ta luôn có: B· HE 90 hoặc H  E hoặc H  B , do đó H thuộc đường tròn đường 
 kính BE cố định.
 1 1 1
Câu 9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 . Chứng minh rằng: 
 a b c
 1 1 1 2
 .
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3
 Lời giải
 1 1 1 1
 Với x, y, z 0 ta có: x y z 33 xyz , 33 
 x y z xyz
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 x y z 9 . Đẳng thức xảy ra khi x y z .
 x y z x y z 9 x y z 
 Ta có 5a2 2ab 2b2 (2a b)2 (a b)2 (2a b)2 
 1 1 1 1 1 1 
 . Đẳng thức xảy ra khi a b .
 5a2 2ab 2b2 2a b 9 a a b 
 1 1 1 1 1 1 
 Tương tự . Đẳng thức xảy ra khi b c .
 5b2 2bc 2c2 2b c 9 b b c 
 1 1 1 1 1 1 
 . Đẳng thức xảy ra khi c a . 
 5c2 2ca 2a2 2c a 9 c c a 1 1 1
 Do đó 
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2
 1 3 3 3 1 1 1 1 2 3
 . Đẳng thức xảy ra khi a b c . 
 9 a b c 3 a b c 3 2
Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
 1
 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .
 3
 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng 
 quy.
 Lời giải
Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a (a 0) . Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của 
AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 
đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn 
thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho SCDSK 3SABKS . 
 Từ SCDSK 3SABKS ta suy ra được: DS CK 3(AS BK) 
 1
 a AS a BK 3(AS BK) AS BK a
 2
 1
 EM a , suy ra E cố định và d đi qua E .
 4
 a
 Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho FN GP HQ .
 4
 Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài 
 phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H .
 Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có 
 2018 
ít nhất 1 505 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, H cố định, nghĩa là 
 4 
505 đường thẳng đó đồng quy.