Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2018-2019
Cõu 1: (2,0 điểm)
 x 2 x 3 x 2 x 
 Cho biểu thức : A : 2 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 1/ Rỳt gọn biểu thức A .
 1 5
 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
 A 2
Cõu 2: (2,0 điểm)
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Parabol P : y ax2 a 0 và đường thẳng 
 d : y bx 1
 1/ Tỡm cỏc giỏ trị của a và b để P và d cựng đi qua điểm M 1;2 . 
 2/ Với a,b vừa tỡm được, chứng minh rằng P và d cũn cú một điểm chung N 
 khỏc M . Tớnh diện tớch tam giỏc MON (với O là gốc toạ độ).
Cõu 3: (2,0 điểm)
 1/ Cho phương trỡnh: x2 (2m 1)x m2 m 6 0 ( m là tham số). Tỡm m để 
 phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt.
 x 1 y 1 2
 2/ Giải hệ phương trỡnh: 1 1 .
 1
 x y
Cõu 4: (3,0 điểm)
 Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường trũn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới 
 đường trũn (P và Q là cỏc tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuụng gúc với OP 
 cắt đường thẳng OQ tại M.
 1/ Chứng minh rằng: MO MA .
 2/ Lấy điểm N trờn cung lớn PQ của đường trũn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại 
 N cắt cỏc tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
 a) AB AC BC khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm N.
 b) Nếu tứ giỏc BCQP nội tiếp được trong một đường trũn thỡ PQ//BC .
Cõu 5: (1,0 điểm)
 1 2
 Cho x, y là cỏc số thực dương thoả món : 2 . Chứng minh rằng:
 x y
 5x2 y 4xy y2 3.
 .HẾT . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2018-2019
Cõu 1: (2,0 điểm)
 x 2 x 3 x 2 x 
 Cho biểu thức : A : 2 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 1/ Rỳt gọn biểu thức A .
 1 5
 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
 A 2
 Lời giải
 1/ Rỳt gọn biểu thức A .
 x 2 x 3 x 2 x 
 A : 2 (ĐK: x 0, x 4, x 9 )
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 x 2 x 3 x 2 x 2 
 A : 
 x 2 x 3 2 x x 3 x 1 
 x 2 x 9 x 4 x 2 
 A : 
 x 2 x 3 x 1 
 x 3 x 1 x 1
 A = = 
 x 3 x 4 x 4
 1 5
 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để 
 A 2
 1 5 x 4 5
 2x 8 5 x 5
 A 2 x 1 2
 1 1
 2x 5 x 3 0 3 x 0 x 
 2 2
 1
 0 x 
 4
 1
 Kết hợp với ĐK 0 x .
 4
Cõu 2: (2,0 điểm)
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Parabol P : y ax2 a 0 và đường thẳng 
 d : y bx 1
 1/ Tỡm cỏc giỏ trị của a và b để P và d cựng đi qua điểm M 1;2 . 2/ Với a, b vừa tỡm được, chứng minh rằng P và d cũn cú một điểm chung N 
 khỏc M . Tớnh diện tớch tam giỏc MON (với O là gốc toạ độ).
 Lời giải
 1/ Tỡm cỏc giỏ trị của a và b để P và d cựng đi qua điểm M 1;2 .
 M P 2 a.12 a 2 y 2x2 
 M d 2 b.1 1 b 1 y x 1 
 2/ Với a, b vừa tỡm được, chứng minh rằng P và d cũn cú một điểm chung N 
 khỏc M . Tớnh diện tớch tam giỏc MON (với O là gốc toạ độ).
 Xột pt hoành độ gđ: 2x2 x 1 2x2 x 1 0 
 x 1 y 2
 1 1 
 1 1 M 1;2 ; N ; 
 x y 2 2 
 2 2 
 1 1 1 1 1 1 
 S MON Sthang S1 S2 . 2 . 1 . . 1.2 . 0,75
 2 2 2 2 2 2 
Cõu 3: (2,0 điểm)
 1/ Cho phương trỡnh: x2 (2m 1)x m2 m 6 0 ( m là tham số). Tỡm m để 
 phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt.
 x 1 y 1 2
 2/ Giải hệ phương trỡnh: 1 1 .
 1
 x y
 Lời giải
 1/ Cho phương trỡnh: x2 (2m 1)x m2 m 6 0 ( m là tham số). Tỡm m để 
 phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt.
 Phương trỡnh cú hai nghiệm dương phõn biệt
 m 3
 25 0 
 0 
 2 m 2
 a.c 0 m m 6 0 m 2 
 1
 b 2m 1 0 m 
 0 2
 a
 x 1 y 1 2
 2/ Giải hệ phương trỡnh: 1 1 . (ĐK: x 1; y 1)
 1
 x y
 (2) x y xy (3) Hai vế của (1) đều dương nờn bỡnh phương hai vế ta cú: 
 x y 2 2 x 1 y 1 4
 x y 2 2 xy x y 1 4
 x y 4
 Thay (3) vào ta cú: x y 4 kết hợp với (3) cú hệ: 
 xy 4
 Áp dụng hệ thức Viete ta cú x ; y là hai nghiệm của pt: x2 4x 4 0 
 x 2; y 2.
Cõu 4: (3,0 điểm)
 Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường trũn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới 
 đường trũn (P và Q là cỏc tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuụng gúc với OP 
 cắt đường thẳng OQ tại M.
 1/ Chứng minh rằng: MO MA .
 2/ Lấy điểm N trờn cung lớn PQ của đường trũn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại 
 N cắt cỏc tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
 a) AB AC BC khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm N.
 b) Nếu tứ giỏc BCQP nội tiếp được trong một đường trũn thỡ PQ//BC .
 Lời giải
 B
 P
 1
 N
 A 1
 2 1 O
 M 1
 Q
 1
 C
 à à à ả ả à
 A1 O1 và A1 A2 A2 O1 MAO cõn MO MA 
 2/ Lấy điểm N trờn cung lớn PQ của đường trũn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại 
 N cắt cỏc tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
 a) AB AC BC khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm N.
 Theo tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cú AP AQ , CQ CN , BP BN 
 AB AC BC AP BP AQ QC CN BN 2AP const b) Nếu tứ giỏc BCQP nội tiếp được trong một đường trũn thỡ PQ//BC .
 à à
 Nếu tứ giỏc BCQP nội tiếp được P1 C1 
 à à à à
 Mà P1 Q1 C1 Q1 PQ//BC . 
Cõu 5: (1,0 điểm)
 1 2
 Cho x, y là cỏc số thực dương thoả món : 2 . Chứng minh rằng:
 x y
 5x2 y 4xy y2 3.
 Lời giải
 * Ta cú:
 5x2 y 4xy y2 3
 4x2 4xy y2 x2 y 3 0 
 2x y 2 x2 y 3 0
 1 2 2 1 2 2x 1 2x
 * 2 2 y 
 x y y x y x 2x 1
 1 2x
 Vỡ: y 0; x 0 2x 1 0 x . Thay y vào x2 y 3 0 
 2 2x 1
 2x 2x3 x2 2x 6x 3
 Ta cú: x2 y 3 0 x2 3 0 0 
 2x 1 2x 1
 Vỡ 2x 1 0 1 2x3 x2 2x 6x 3 0 2x3 x2 4x 3 0 . Mà 
 2x3 x2 4x 3
 2x3 2x2 x2 x 3x 3
 x 1 2x2 x 3 
 x 1 2 2x 3 0 x 0
 Suy ra 2x y 2 x2 y 3 0 x 0; y 0 
 Vậy 5x2 y 4xy y2 3
 ..HẾT