Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Quảng Trị (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUÃNG TRỊ - NĂM 2019 – 2020
Câu 1: (5,0 điểm)
 a a2 9 3a 1 1 
 1. Rút gọn biểu thức P 2 : 2 
 3 a 9 a a 3a a 
 3 2 2 3 2 2
 2. Tính giá trị của P biết a 1 4 4 
 3 2 2 3 2 2
Câu 2: (2,0 điểm) 
 Cho a,b là các số thực thỏa mãn a b 5,ab 1. Tính giá trị của a5 b5 
Câu 3: (3,0 điểm)
 Cho các số nguyên m,n . Chứng minh mn mn 1 2 m n 2 mn chia hết cho 36.
Câu 4: (4,0 điểm)
 1. Cho số thực x thỏa mãn 0 x 1. Chứng minh x2 x .
 2. Cho a,b,c là ba số thực không âm và thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 thức A 5a 4 5b 4 5c 4 .
Câu 5: (6,0 điểm)
 1. Cho hình vuông ABCD có E nằm trên đường chéo AC sao cho AE 3EC , F trung điểm 
 AD . Chứng minh tam giác BEF vuông cân.
 2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC và E, F 
 lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC .
 BE AB5
 a) Chứng minh: .
 CF AC5
 b) Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABC và diện tích hình chữ nhật AHEF . Tìm 
 S
 đặc điểm của tam giác ABC để 2 đạt giá trị lớn nhất.
 S1 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUÃNG TRỊ - NĂM 2019 – 2020
Câu 1:
 a a2 9 3a 1 1 
 1. Rút gọn biểu thức P 2 : 2 
 3 a 9 a a 3a a 
 Lời giải
 a a2 9 3a 1 1 
P 2 : 2 
 3 a 9 a a 3a a 
 a 3 a a2 9 3a 1 a 3
 :
 9 a2 a2 3a
 3a 9 a2 3a
 .
 9 a2 2a 2
 3 a 3 a a 3 3a
 . 
 3 a 3 a 2a 2 2a 2
 3 2 2 3 2 2
 2. Tính giá trị của P biết a 1 4 4
 3 2 2 3 2 2
 Lời giải
 3 2 2 3 2 2
a 1 4 4
 3 2 2 3 2 2
 3 2 2 3 2 2
 2
 4 9 2 2 
 2 2
 2 1 2 1 
 1
 2 1 2 1
 2 1 2 1 2
 a 1 
 3.1 3
 P 
 2.1 2 4
Câu 2: Cho a,b là các số thực thỏa mãn a b 5,ab 1. Tính giá trị của a5 b5
 Lời giải
a5 b5 a b a4 a3b a2b2 ab3 b4 
 5 a4 a2 1 b2 b4 2
 5 a2 b2 2a2b2 1 a2 b2 
 2 2 2 2 
 5 a b a b 1 1 
 2 2
 5 a b 2ab a b 2ab 1 5 
 5 25 2 25 2 1 5 2525 
Câu 3: Cho các số nguyên m,n . Chứng minh mn mn 1 2 m n 2 mn chia hết cho 36.
 Lời giải
Ta có:
A mn mn 1 2 m n 2 mn
 mn mn 1 2 m n 2 
 mn mn 1 m n mn 1 m n 
 mn m n 1 n 1 m n 1 n 1 
 mn m 1 n 1 n 1 m 1 
Ta có: m 1,m,m 1 là 3 số nguyên liên tiếp m 1 m m 1 6 (1) 
Ta có: n 1,n,n 1 là 3 số nguyên liên tiếp n 1 n n 1 6 (2)
Từ (1), (2) A36 
Câu 4:
 1. Cho số thực x thỏa mãn 0 x 1. Chứng minh x2 x .
 Lời giải
 1 x 0
0 x 1 x 1 x 0 (1) 
 x 0
Giả sử: x2 x 
 x x2 0 
 x 1 x 0 (mẫu thuẫn (1))
 Giả sử sai
Vậy x2 x 
 2. Cho a,b,c là ba số thực không âm và thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 thức A 5a 4 5b 4 5c 4 .
 Lời giải
Ta có a,b,c 0 mà a b c 1 0 a,b,c 1 
Ta chứng minh bất đẳng thức 5a 4 a 2 Với a 0;1 ta có:
 5a 4 a 2
 5a 4 a2 4a 4
 a2 a 0
 a a 1 0 (đúng)
Cmtt, ta có: 5b 4 b 2, 5c 4 c 2 
Suy ra: 5a 4 5b 4 5c 4 a 2 b 2 c 2 7 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1,b c 0 và các hoán vị
Vậy giá trị nhỏ nhất của 5a 4 5b 4 5c 4 bằng 7.
Câu 5: 
 1. Cho hình vuông ABCD có E nằm trên đường chéo AC sao cho AE 3EC , F trung điểm 
 AD . Chứng minh tam giác BEF vuông cân.
 2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC và E, F 
 lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC .
 BE AB5
 a) Chứng minh: .
 CF AC5
 b) Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABC và diện tích hình chữ nhật AHEF . Tìm 
 S
 đặc điểm của tam giác ABC để 2 đạt giá trị lớn nhất.
 S1
 Lời giải
 1. Chứng minh tam giác BEF vuông cân.
 Vẽ FP  BC P BC , BE  DC M , FE  BC N 
 Đặt độ dài cạnh của hình vuông ABCD là a 
 Ta có: F là trung điểm AD mà FP  BC FP AB a AF AE AF a a
AD // BC 3 NC mà PC 
 NC EC 3 6 2
 1 a2 10 10
 NP a FN FP2 PN 2 FN a2 a EF a (1)
 3 9 3 4
 AB AE a a2 10 10
AB // CD 3 MC MB a2 a BE a (2)
 MC EC 3 9 3 4
 10 
Từ (1), (2) BE EF a BEF cân tại E (3)
 4 
 2 2
 2 2 2 2 a 5a
 FB AB AF a 
 4 4
Ta có: 2 
 10 5a2
 BE 2 EF 2 2. 
 4 4
 BEF vuông tại E (Py – ta – go đảo) (4)
Từ (3), (4) BEF vuông cân.
2. 
 BE AB5
a) Chứng minh: .
 CF AC5
Ta có: CF
 HC 2 CF AC.HC 2
 AC
 BE
 BH 2 BE AB.BH 2
 AB 
 AB4
 BE AB BH 2 AB 2 AB5
 . . BC 
 CF AC HC 2 AC AC 4 AC5
 BC 2
 S
b) Tìm đặc điểm của tam giác ABC để 2 đạt giá trị lớn nhất.
 S1
Ta có: 
 AH 2 AH 2
 . 4 2
S2 AE.AF AB AC AH AH BH CH 1 BH CH 1
 2. 2. 2 2 2. 2 2. . 
 S 1 AB.AC AB .AC BC BC BC 2 BC BC 2
 1 AB.AC 
 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BH CH H là trung điểm BC mà AH  BC 
 ABC vuông cân
 S
Vậy 2 đạt giá trị lớn nhất khi ABC vuông cân.
 S1