Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS & THPT Lương Thế Vinh (Có đáp án)

 TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM 
 HỌC: 2019 - 2020
 MÔN: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 90 phút
 x 9 x 2 x 1 1 
 Bài 1 (4,0 điểm)Cho biểu thức A : với 
 x 2 x 3 x x 2 x 1 x 1 
 x 0; x 1 
 125 125 
 Tính giá trị biểu thức khi x 4 3 3 9 3 3 9 
 27 27 
 Bài 2 (4,0 điểm)
 a) Giải phương trình 2 5x2 10x 4x 4x2 6x 3 
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x y 3xy 9 
 Bài 3 (4,0 điểm) 
 x2 xy y2
 a) Cho x, y 0 . Tìm GTNN của P 
 xy(x y)
 b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà trong đó không có số nguyên tố nào? 
 Bài 4 (6,0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Gọi H và K lần lượt là 
 hình chiếu của A, B trên CD. 
 a) Khi OAC là tam giác đều, hãy giải tam giác ABC
 b) Chứng minh HC = KD
 c) Chứng minh SAHKB SABC SABD 
 Bài 5 (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1, 2, 3, , 150 lên bảng. Mỗi lần ta xóa đi hai 
 số nào đó và thay bằng tổng hoặc hiệu của chúng. Sau một số lần như vậy thì trên 
 bảng chỉ còn lại một số. Hỏi có khi nào số đó là 100 không? 
 ---Hết---
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 Họ và tên học sinh: ..Trường THCS: 
 ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)
Ta có: 
 x 9 x 2 x 1 1 
A : 
 x 2 x 3 x x 2 x 1 x 1 
 x 3 x 3 x x 2 2 x
 = : 
 x 1 x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 
 x 3 x x 1 x 1 3 x 1 x 1 3 x 1
 = . . .
 x 1 x 1 2 x x 1 2 x 2 x
Có:
 125 125 125 125 x
x 4 3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 9 
 27 27 27 27 4
 x3 5
 6 x x3 80x 384 0 x 4 x2 4x 96 0
 64 4
 x 4 0 x 4
 x 4(tm)
 2 2 
 x 4x 96 0 x 2 92 0(vn)
 3 4 1 9
Thay x 4 ( tmđk) vào A, ta được: A 
 2 4 4
Bài 2 (4,0 điểm)
 a) Giải phương trình 2 5x2 10x 4x 4x2 6x 3 
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x y 3xy 9 
 Giải
a) ĐK: 0 x 1 
 2
 a 5x 10x 0 2 2
Đặt: 4a 5b 60x . Khi đó Phương trình trở thành:
 2
 b 4x 4x 0
20a 10b 4a 2 5b2 30 4a 2 20a 25 5b2 10b 5 0
 5
 2 2 a 
 2a 5 5 b 1 0 2
 b 1
 5
 a 
Với 2 , ta có:
 b 1 5 2 2 25 2 9
 5x 10x 5x 10x x 2x 1 
 2 4 4
 2 2 2
 1 4x 4x 4x 4x 1 2x 1 0
 3
 2 9 x 1 (do0 x 1)
 x 1 2 1
 4 x (tm)
 1 2
 2x 1 0 x 
 2
 1
Vậy nghiệm của phương trình là x 
 2
b) Ta có: 
x y 3xy 9 3x 3y 9xy 27 3y 1 3x 1 3x 26 1 3x 3y 1 26
+) TH 1: 
 2
 3y 1 1 y ¢
 3 ( loại )
 1 3x 26
 1 3x 26
+) TH 2: 
 3y 1 26 y 9
 ( tm )
 1 3x 1 x 0
+) TH 3: 
 3y 1 1 y 0
 ( tm )
 1 3x 26 x 9
+) TH 4: 
 3y 1 26
 3y 1 26 
 2 ( loại )
 1 3x 1 x ¢
 3
+) TH 5: 
 3y 1 2 y 1
 ( tm )
 1 3x 13 x 4
+) TH 6: 
 3y 1 13
 3y 1 13 
 1 ( loại )
 1 3x 2 x ¢
 3
+) TH 7: 
 3y 1 13 y 4
 ( tm )
 1 3x 2 x 1
+) TH 8: 1
 3y 1 2 y ¢
 3 ( loại )
 1 3x 13
 1 3x 13
Vậy x; y 0;9 ; 9;0 ; 4;1 ; 1; 4  
Bài 3 (4,0 điểm) 
 x2 xy y2
a) Cho x, y 0 . Tìm GTNN của P 
 xy(x y)
b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà trong đó không có số nguyên tố nào?
 Giải
a) Ta có: 
 2
 x2 xy y2 x y 3xy x y 3 xy
 P 
 xy(x y) xy(x y) xy x y
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x, y, ta được:
 x y
 x y 2 xy xy . Dấu " " xảy ra khi x y . Khi đó:
 2
 x y
 2 xy 3 1
 P 3 2 2 . Dấu " " xảy ra khi x y .
 xy x y 2 2
 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi x y .
 2
b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5...2019.2020 . Khi đó: 
A chia hết cho các số: 2; 3; 4; 5; ; 2019; 2020
Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5;...;A 2019;A 2020 .
Do A2 nên A 22 mà A 2 2 A 2là hợp số
Tương tự: Do A3 nên A 33mà A 3 3 A 3 là hợp số
 Do A4 nên A 44 mà A 4 4 A 4là hợp số
 ..
 Do A2019 nên A 20192019 mà A 2019 2019 A 2019là hợp số
 Do A2020 nên A 20202020 mà A 2020 2020 A 2020là hợp số
Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5;...;A 2019;A 2020 , trong đó 
không có số nguyên tố nào.
Bài 4 D K
 E I
 C F
 H
 A N M O P B
 1
a) Khi AOC đều thì AC OA OC R AB . BC AB2 AC 2 4R2 R2 R 3 
 2
 AC R 1
 sin B Bµ 300 Cµ 600 
 AB 2R 2
b) Kẻ OI  CD I là trung điểm của CD và OI / / AH / /BK . 
Lại có O là trung điểm của AB I là trung điểm của HK IH IK;CI ID CH DK .
c) Kẻ EF đi qua I và song song với AB(E AH, F BK)
 EHI FKI(ch gn) SAHKB SAEFB IM.AB
 1
Lại có: S S AB.(CN DP) AB.IM
 ACB ADB 2
 SAHKB SACB SADB
Bài 5: 
 (1 150).150
Gọi tổng của 150 số ban đầu là S 1 2 3 ... 150 11325 S a b 
 2 1
Giả sử xóa đi hai số bất kì a, b và thay bằng a b hoặc a b thì ta có tổng mới là: 
S1 a b hoặc S1 a b 
Ta có: (S1 a b) (S a b) 2S 2a 2b và (S1 a b) (S a b) 2S 2a đều chẵn nên 
tổng lúc đầu và tổng lúc sau luôn cùng tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu là số lẻ nên tổng 
lúc sau không thể bằng 100.