Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa (có đáp án)

Môn: TOÁN - Ngày thi /3/2019
 Câu 1 (4đ) 1. Cho biểu thức với 
 Rút gọn biểu thức M Và tìm x để M=6 
 2. Gọi a là nghiệm dương của phương trình .x2 + x – 1 = 0. 
 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 
 Câu 2 (4điểm)
 a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình: 
 Câu 3 (4điểm) 
 1 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 , 
 2. Xác định tất cả các cặp số (a; b), với a, b là số nguyên dương, sao cho: 
 chia hết cho .
 Câu 4 (6điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K. 
 a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của của (O; R) 
 b) Chứng minh IK song song với AB
 c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? 
 Tìm giá trị lớn nhất đó. 
 Câu 5(2điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ...............................	Hết ...................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH THANH HÓA
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2018-2019
Môn: TOÁN - Ngày thi /3/2019
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1(2đ)
Cho biểu thức với 
+ Rút gọn biểu thức M 
- Ta có 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
+ Tìm x để M = 6 
Ta có: 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 2
 Câu 2 Giải phương trình, 
a) GPT: (2,0 điểm)
- Điều kiện (hoặc )
0.25đ
- Phương trình 
0.25đ
0.25đ
Do 
0. 5đ
Dấu bằng xẩy ra (tmđk)
0. 5đ
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = -1.
0.25đ
3a) GPT: , trong đó x, y là các số nguyên dương (2,0 điểm)
Viết lại pt dưới dạng: 
0.25đ
Coi (*) là pt bậc hai ẩn x. Pt (*) có nghiệm nên 
0.25đ
Do y là số nguyên dương nên 
0.25đ
+) TH1: 
Cặp số x = 3; y = 1 thỏa mãn pt ban đầu
0.25đ
+) TH2: 
0.25đ
- Vậy nghiệm của pt: 
0.25đ
2b) Giải hệ : (2,0 điểm)
- Điều kiện: 
Từ hệ phương trình suy ra 
0.25đ
- Hệ phương trình 
0. 5đ
Cộng vế theo vế của pt (a) và pt (b), ta được: 
0.25đ
Trừ vế theo vế của pt (a) cho pt (b), ta được: 
Nhân tương ứng hai vế của (1) và (2): 
0.25đ
+) TH1: Thay vào (a): 
0.25đ
+) TH2: loại do 
0.25đ
- Vậy nghiệm của hệ là: 
0,25đ
2/ (2điểm)
Xác định tất cả các cặp số (a; b), với a, b là số nguyên dương, sao cho chia hết cho .
 Do () ()
- ()
()(). Vì nên:
 TH1: = 0 : chọn , 
 TH2: < 0: do () nên 
 b = 1 hoặc b = 2
 + với b = 1: 
vì a > 0 nên a = 49, a = 11.
+ với b = 2: 
 : không thỏa mãn
Vậy (a, b) = , (11;1), (49;1), 
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0.5đ
Câu 4(6đ)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K. 
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của của (O; R) 1,5 điểm)
Tam giác OAC cân tại O, có OI là đường trung tuyến nên OI là đường trung trực
Mà 
0.5đ
Xét hai tam giác AMO và CMO có 
0.5đ
Vì , hay MC là tiếp tuyến của (O;R)
0.5đ
b) Chứng minh IK song song với AB (2,5 điểm)
Ta có 
0. 5đ
Do 
Xét hai tam giác BCH và OMA có 
0. 5đ
0.7 5
Từ (1) và (2) suy ra là trung điểm của CH
0.2 5
có: là đường trung bình của 
0.5đ
c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. (2,0 điểm)
Chu vi tam giác ABC là 
0.25đ
Mặt khác ta có 
0. 5đ
0.25đ
Suy ra 
Dấu “=” xảy ra C là điểm chính giữa cung AB
0.25đ
0.25đ
Vậy: C là điểm chính giữa cung AB
0. 5đ
Câu 5(2đ)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2,0 điểm)
Do 
0.25đ
Ta có 
0.25đ
Do 
0.25đ
Suy ra 
0.25đ
Khi đó 
0.25đ
0.25đ
Dấu bằng xẩy ra 
0.25đ
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 3 khi a = b = c = 1
0.25đ
câu 1
ý 2
(2,0đ)
Vì .a2 = 1 – a nên 0 < a < 1 và 
0,25 đ
Từ đó, ta có: 
0,25 đ
0,5 đ
0,75 đ
Vậy 
0,25 đ