Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Nga Sơn (Có đáp án)

 Phòng giáo dục & đào tạo đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp huyện
 Huyện nga sơn Năm học: 2012 - 2013
 Đề chính thức Môn thi: Toán
 Thời gian làm bài: 150 phút
 (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi: 18/ 01/ 2013
 Cõu 1: (5 điểm) Cho biểu thức:
 4 x 8x x 1 2 
 P = : 
 2 x 4 x x 2 x x 
 a. Rỳt gọn P.
 b. Tớnh giỏ trị của x để P = -1.
 c. Tỡm m để với mọi giỏ trị x > 9 ta cú m ( x 3 )P > x + 1.
Cõu 2: (3 điểm) Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 
 1 1
 0
 2 3 
 (x 3) 2y 6 x 1 y
 a. b. 
 3(x 3)2 5y3 7 2 1
 3
 x 1 y
Cõu 3: (3 điểm) Cho ba đường thẳng: y (m 2)x 2 (d); y x 1 (d’) và y 2x (d”).
 a. Tỡm giỏ trị của m để ba đường thẳng trờn đồng quy tại một điểm.
 b.Chứng minh rằng đường thẳng (d) luụn đi qua một điểm cố định với mọi giỏ trị 
 của m.
Cõu 4: (3 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn x để: 199 x2 2x 2 là một số chớnh phương chẵn.
Cõu 5: (5 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A, I là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc, gọi 
 O là tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BIC.
 a. Chứng minh rằng ba điểm A, I, O thẳng hàng.
 b. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường trũn (O).
 c. Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kớnh của đường trũn (O).
 AI HI
 Chứng minh rằng 
 AK HK
Cõu 6: (1 điểm) Cho 3 số a, b, c đều lớn hơn 6,25. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a b c
 B .
 2 b 5 2 c 5 2 a 5
 ----------------------------Hết-------------------------------
Họ và tờn thớ sinh: .........Số bỏo danh: ........... phòng gd&ĐT nga sơn hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện 
 môn Toán 9
 năm học 2012- 2013
 Câu ý Định hướng giải Điểm
 a ĐK: x > 0 ; x 4 và x 9 0.5
 4 x(2 x) 8x ( x 1) 2( x 2)
 2.0đ P = : 0.5
 (2 x)(2 x) x( x 2)
 8 x 4x 3 x
 = : 0.5
 (2 x)(2 x) x( x 2)
 8 x 4x x( x 2) 4x
 = . = 0.5 
 (2 x)(2 x) 3 x x 3
 b P = -1 4x + x - 3 = 0 0.5
1 1.5đ ( x + 1) (4 x - 3)= 0 0.5 
5đ
 3 9
 x = x = 0.5
 4 16
 c Viết phương trỡnh về dạng : 4mx > x + 1 (4m - 1) x > 1 0.5
 Nếu 4m - 1 0 thỡ tập nghiệm khụng thể chứa mọi giỏ trị x > 9; 0.25
 1 1
 Nếu 4m - 1 > 0 m > (*) thỡ nghiệm bất phương trỡnh là x > . 
 1.5đ 4 4m 1 0.25
 1
 Do đú bất phương trỡnh thoả món với mọi x > 9 9 . Kết hợp 
 4m 1 0.5
 5
 với (*) m 
 18
 a. Đặt (x+3)2 = u; y3 = v ta có hệ phương trình: 0.25
 u 2v 6 u 4
 1.5đ 0.5
 3u 5v 7 v 1
 (x 3)2 4 x 3 2
 Suy ra: 0.5
 3 
 y 1 y 1
 Nghiệm của hệ phương trình đã cho: (x;y) = (-1;-1), (-5;-1). 0.25
2
 b x 1 0 x 1 0.25
 Điều kiện: 
 1.5đ y 0 y 0
 1 1
 Đặt: X ;Y . Hệ trở thành:
 x y
 X Y 0 X 1 0.5
 2X Y 3 Y 1 1
 1
 x 1 x 2
 Thay vào: (thỏa mãn) 0.5
 1 y 1
 1 
 y
 Nghiệm của hệ phương trình đã cho: (x;y) = (2;-1) 0.25
3 a. Ta cú tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
 0.75
3đ y x 1 (d’) và y 2x (d”). là M(1; 2).
 1.5đ
 Để ba đường thẳng trờn đồng quy tại một điểm thỡ M(1; 2) thuộc 0.75
 đường thẳng (d) nờn: 2 = (m-2).1 + 2 m = 2.
 b. Giả sử tọa độ điểm cố định là M(x0; y0) khi đú ta cú: 0.25
 1.5đ y0 = (m-2)x0+2 mx0 – 2x0 - y0 + 2 = 0 m 0.5
 x0 0 x0 0
 0.5
 2x0 y0 2 0 y0 2
 0.25
 Vậy điểm cố định là M(0; 2)
4 Đặt
 0.25
 199 x2 2x 2 (2y)2 (y N)
 0.25
 2 2
 200 (x 1) 2 4y 0.25
 2 2
 4y 2 200 4y 16 0.5
 y2 4 y 2(y N)
2.0đ 0.5
 + Với y = 0 (không thoả mãn)
 0.5
 + Với y = 1 ta được x1 = 13; x2 = -15
 0.5
 + Với y = 2 ta được x3 = 1; x4 = -3
 Vậy x 15; 3;1;13 0.25
5 a
 A
 I
 2.0đ H
 B C
 O
6đ
 K Ta cú AB=AC ( ABC cõn tại A) 0.25
 A thuộc trung trực của BC. (1) 0.25
 IB=IC (I là giao điểm của ba đường phõn giỏc) 0.25
 I thuộc trung trực của BC. (2) 0.5
 OC=OB O thuộc trung trực của BC. (3) 0.5
 Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm A, I, O thẳng hàng. 0.25
 b. Do A, I, O thẳng hàng nờn AO  BC . Ta cú 0.25
 Oã CI OẳIC, IãCA IãCB nờn 0.5
 0.5
 ã ã ã ã 0
 1.5đ OCI ICA OIC ICB 90 0.25
 suy ra AC là tiếp tuyến của đường trũn (O).
 c. Xột CAH , CI là đường phõn giỏc trong, CK là đường phõn giỏc 0.5
 ngoài.
 IA KA CA
 Theo tớnh chất đường phõn giỏc (cựng bằng )
 1.5đ IH KH CH 0.75
 IA HI 0.25
 Suy ra 
 AK KH
6 Cho 3 số a, b, c đều lớn hơn 6,25. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a b c 0.25
 B .
 2 b 5 2 c 5 2 a 5
1.0đ 25
 Do a, b, c > (*) nờn suy ra: 2 a 5 0, 2 b 5 0, 2 c 5 0
 4
 Áp dụng bất đẳng thức Cụ si cho 2 số dương, ta cú:
 a
 2 b 5 2 a (1)
 2 b 5
 b 0.25
 2 c 5 2 b (2)
 2 c 5
 c
 2 a 5 2 c (3) 0.25
 2 a 5
 0.25
 Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta cú: B 5.3 15. 
 Dấu “=” xảy ra a b c 25 (thỏa món điều kiện (*))
 Vậy Min B = 15 a b c 25