Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2015-2016
 MÔN THI: TOÁN 
 Ngày thi: 12/10/2015
 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
 2 x 9 2 x 1 x 3
Bài 1: (4,0 điểm) Cho A (x 0, x 4, x 9)
 x 5 x 6 x 3 2 x
 a) Rút gọn biểu thức A.
 1
 b) Tìm giá trị của x để A = . 
 2
Bài 2: (4,5 điểm) 
 a) Tính 8 2 15 8 2 15
 x6 3x5 3x4 x3 2015
 b) Cho x2 – x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức: P .
 x6 x3 3x2 3x 2015
 3x
 c) Giải phương trình: x 6 2 .
 x2 9
Bài 3: (4,0 điểm) 
 a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125.
 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 
 không thể là số chính phương.
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, 
CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
 1
 a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 2
 AD
 b) tanB.tanC = . 
 HD
 c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.
 HB.HC HC.HA HA.HB
 d) 1.
 AB.AC BC.BA CA.CB
Bài 5: (1,5 điểm) 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2 y2 y2 z2 z2 x2 2015 .
 x2 y2 z2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T . 
 y z z x x y
 Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Số báo danh:................. 
 Giám thị không giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9
 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2015-2016
 MÔN : TOÁN
 Hướng dẫn chấm này có 03 trang
 I. Yêu cầu chung: 
 1. Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
 2. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho 
 điểm.
 II. Yêu cầu cụ thể: 
 Bài Nội dung cần đạt Điểm
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a(2,0đ) A 
 ( x 3)( x 2) x 3 x 2
 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
 0,5
 ( x 3)( x 2)
 2 x 9 2x 4 x x 2 x 9 x x 2
 0,5
 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2)
 ( x 2)( x 1) x 1 0,5
 ( x 3)( x 2) x 3
 1
 x 1
 Vậy A với (x 0, x 4, x 9) . 0,5
 x 3
 b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta có: 
 1 x 1 1
 A 2 x 2 x 3
 2 2 0,5
 x 3 
 1
 3 x 1 x (t / m)
 9 1,0
 1 1
 Vậy A = x = .
 2 9 0,5
 a(1,5đ) Ta có 8 2 15 8 2 15
 2 2
 5 2 15 3 5 2 15 3 ( 5 3) ( 5 3) 1,0
 5 3 5 3 2 3 0,5
 b(1,5đ) Ta có: x2 – x – 1 = 0 x2 – x = 1 (x2 – x)3 = 1 0,5
 2
 x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1.
 Mặt khác: x2 – x – 1 = 0 x2 = x + 1 0,5
 x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
 1 2015 2016
 P 1.
 1 2015 2016 0,5
 2 x 3 0,25
 c(1,5đ) ĐK: x – 9 > 0 
 x 3
 + Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được: 
 2 2 4 2 0,25
 2 9x 6x x x
 x 2 72 2 6. 72 0 
 x 9 x2 9 x 9 x2 9
 x2
 Đặt t (t 0) , được phương trình: t2 6t 72 0 t 6 . 0,25
 x2 9 x2
 Khi đó: 6 x4 – 36x2 + 324 = 0 x2 = 18. 
 x2 9 0,25
 Trong trường hợp này tìm được: x 3 2 
 3x
 + Nếu x < –3: Khi đó: x 0 6 2 : PT vô nghiệm. 
 x2 9 0,25
 0,25
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x 3 2 . 
 a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6). 1,0
 Thử với n = 1; 2; 3 thì F đều không chia hết cho 125. 0,5
 Thử với n = 4 thì F = 0 chia hết cho 125. 0,25
 Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n = 4. 0,25
 b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 
 = n4(n2-1) + 2n2(n+1) 0,5
3 = n2(n+1)(n3-n2 +2) 
 = n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] 0,5
 = n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] 0,5
 Ta có: (n-1)2 1)
 (n-1)2 +1 không thể là số chính phương 0,5
 Vậy A không thể là số chính phương
 a(2,0đ) 
 A
 E
 F
 H
 B D C
 1
 * Ta có: SABC = .BC.AD.
 2
4 1
 ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = BC.AB.sinA.
 2 1,0
 ABE vuông ở E có AE = AB.cosA 
 BFC vuông ở F có BF = BC.cosB 
 ACD vuông ở D có CD = AC.cosC 
 1,0
 Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 AD AD
 b(1,5đ) Xét ABD có tanB = ; ACD có tanC = 
 BD CD
 AD2
 suy ra tanB.tanC = (1) 0,5
 BD.CD
 Do H· BD C· AD (cùng phụ với A· CB) nên BDH  ADC (g.g) 
 DH BD
 BD.DC = DH.DA 
 DC AD 0,5 AD2 AD
 Kết hợp với (1) được tanB.tanC = .
 DH.AD DH 0,5
 c(1,5đ) Chứng minh được AEF  ABC (g.g) A· EF A· BC.
 0,5
 Tương tự được C· ED C· BA nên A· EF C· EDmà BE  AC 
 A· EB C· EB = 900. Từ đó suy ra F· EB D· EB EH là phân trong 
 của DEF. 0,5
 Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DEF nên H là giao ba 
 đường phân giác trong của DEF. 0,5
 d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC.
 CH CE 0,25
 Dễ thấy CHE  CAF(g.g) 
 CA CF
 HB.HC HB.CE 2.S S
 BHC BHC 0,25
 AB.AC AB.CF 2.SABC SABC
 HC.HA S HA.HB S
 Tương tự có CHA ; HAB . 0,25
 BC.BA SCBA CA.CB SCAB
 HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA SAHB
 Do đó: 1 0,25
 AB.AC BC.BA CA.CB SBAC SCBA SACB
 Đặt a x2 y2 ;b y2 z2 ;c z2 x2 a;b;c 0 và a b c 2015 .
 Ta có: a 2 b2 c2 2(x2 y2 z2 ) 
 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2
 x2 ; y2 ;z2 . 0,25
 2 2 2
 x 2 a 2 b2 c2
 Do đó: (y z)2 2(y2 z2 ) 2b2 y z 2b . 0,25
 y z 2b 2
 y 2 a 2 b2 c2 z 2 a 2 b2 c2
 Tương tự: , . 0,25
 z x 2c 2 x y 2a 2
 a 2 b2 c2 b a 2 b2 c2 c a 2 b2 c2 a
 T 
 2b 2 2 2c 2 2 2a 2 2
5 1 2 2 2 1 1 1 a b c
 (a b c ) 
 2 2 a b c 2
 1 2 1 1 1 2015
 (a b c) 
 6 2 a b c 2
 1 1 1 1 2015
 (a b c)(a b c) 
 6 2 a b c 2
 1 2015 2015 0,5
 2015.9 .
 6 2 2 2 2
 2015
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c .
 3
 2015 2015
 Vậy min T khi x y z . 0,25
 2 2 3 2
 Người làm đáp án: Người thẩm định:
 1. ................................................... ........................................
 2. ................................................... Người duyệt: