Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Bắc Hồng (có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS BẮC HỒNG	Năm học 2020-2021
 ****************** MÔN :Toán – Lớp 9( Thời gian 120 phút)
PHẦN I: Thí sinh chỉ ghi kết quả vào bài làm:
Câu 1: Giá trị biểu thức: là:
Câu 2: Tính giá trị biểu thức 
 Với 
Câu 3: : Cho a b, là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tích a b. chia cho 5 dư bao nhiêu ?
Câu 4: Tìm số nguyên dương n để n +1 và 4n+29 là số chính phương.
Câu 5: Cho tam giác ABC có AB=1; A =1050 ; B=600.Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=1. Vẽ ED//AB(D∈AC). 
Tính giá trị biểu thức: 1AC2+1AD2
Câu 6: Tính diện tích của một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa dduongf trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.
PHẦN II: Thí sinh trình bày bài làm vào tờ giấy thi
Câu 7: Giải phương trình = 4
Câu 8: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 
 a) Tính AH, BH biết BC = 50 cm và 
 b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng:
 AH3 = BC.BD.CE
 c) Giả sử BC = 2a là độ dài cố định. Tính giá trị nhỏ nhất của: BD2 + CE2
Câu 10: Cho ba số thực ,, dương thỏa mãn . Chứng minh:
 Hết.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN 
CÂU
HƯỚNG DẪN
Điêm
1
1
0.5
2
= - (+ 1) = -1
với x = -1 ta có N = -1 + 3 + 2 = 4
0.5
3
a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho a m = + 5 3 (1) b chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho b n = + 5 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a b m n . 5 3 5 2 ... 5 5 2 3 1 1 = + + == + + ++ ( )( ) ( mn m n ) Suy ra a b. chia cho 5 dư 1.
0.5
4
 n = 35.
0.5
5
43
0.5
6
144cm2
0.5
7
Điều kiện x – 3 + 0 
Phương trình tương đương
 - - 4- 4x + 12 = 0 (*)
Xét x < -Thì (*)- 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
2x = -28
x = - 14 (Thỏa mãn đk)
Xét -≤ x < 1 Thì (*)
- 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
 x = (Thỏa mãn đk)
Xét 1 ≤ x < Thì (*)
- 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
 x = (loại)
Xét x ≥ Thì (*)3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x = - (Loại)
Vậy phương trình có nghiệm x
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
8
Ta có x2 + xy + y2 = x2y2
 (x + y)2 = xy(xy + 1)
+ Nếu x + y = 0 xy(xy + 1) = 0
Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0 x = y = 0
Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0 hoặc 
+ Nếu x + y0 (x + y)2 là số chính phương
xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố cùng nhau. Do đó không thể cùng là số chính phương
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1)
0,25
0,25
0,25
0,25
9a
 AB = 3k, AC = 4k
 (3k)2 + (4k)2 = 502 k2 = 100 k = 10
 AB = 30 cm, AC = 40 cm
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có
AB.AC = AH.BC 30.40 = AH.50 AH = 24cm
AB2 = BH.BC 302 = BH. 50 BH = 18 cm
1
9b
 Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có
AH2 = BH.CH
 AH4 = BH2.CH2 = BD.AB.CE.AC=(BD.CE)(AB.AC)
 = (BD.CE).(AH.BC)
 AH3 = BC.BD.CE
1
9c
Áp dụng định lí Pytago ta có: 
BD2 + CE2 = BH2 – HD2 + HC2 – HE2 = BH2 + HC2 – ( HD2 +HE2 )
= (AB2 – AH2 )+ (AC2 – AH2 ) – AH2 = (AB2 + AC2 ) – 3AH2 
= BC2 – 3AH2 = 4a2 – 3AH2
Gọi O là trung điểm của BC ta có. AH AO = a nên
BD2 + CE2 4a2 – 3a2 = a2.
 Dấu = xẩy ra khi H trùng O ABC vuông cân tại A
Vậy GTNN của BD2 + CE2 bằng a2 khi ABC vuông cân tại A
1
10
Xét 
0,25
Ta có .
Đặt , từ giả thiết có: 
0,25
Thay vào giả thiết được: hay 
Do đó 
0,25
Mặt khác:
Cộng vế và có: 
Kết hợp và ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi 
0,25
0.25
0.25
0.25
0.25
Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa