Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 (có đáp án)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
Đề chính thức
NĂM HỌC: 2018 – 2019
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) 
Câu 1(5 điểm): Cho biểu thức A = với x ≥ 0 và x ≠ 4
Rút gọn A. 
Tính giá trị của A khi x = .
Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên. 
Câu 2 (4điểm): 
Giải các phương trình sau:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho 6 
Câu 3 (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình: 
(m+1)x + (m-2)y = 3 (d) (m là tham số)
Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) 
Tìm m để (d) cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng .
Câu 4 (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.
Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm.
Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng.
Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K. 
 Chứng minh diện tích = AK.KB
Câu 5 (1,5 điểm) Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy.
Chứng minh rằng: 
HẾT
Đề có 01 trang
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
NĂM HỌC: 2018 – 2019
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) 
Câu 
Hướng dẫn giải, đáp án
Điểm
1
(5 điểm)
a)
 A = 
0,5
0,5
1,0
b) Với x ≥ 0 và x ≠ 4 , tại x = ( t/m đk ) 
0,25
0,75
0,5
c)Với x ≥ 0 và x ≠ 4 
A nguyên có giá trị nguyên.
Mặt khác (vì > 0 )
Suy ra 0 ≤ A < 3 
Vì A nguyên nên A = 0 ; 1 ; 2
A = 0 giải ra ta được x = 0 ( T/m đk ) 
A= 1 giải ra ta được x = 1 ( T/m đk )
A = 2 giải ra ta được x = 16 ( T/m đk )
Vậy A nguyên thì x ∈{ 0 ;1 ;16}
0,25
0,25
0,25
0,75
Câu 2
(4,0 điểm)
1)	a)	
0,5
0,5
0,5
b)Đk 0≤ x ≤ 5
 (1)
Vế trái của (1) bé hơn bằng 4 ; vế phải lớn hơn hoặc bằng 4 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi (t/mđk)
Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = 1 
0,25
0,25
0,25
0,25
n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n 
vì n.(n+1)(n+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 nên n.(n+1)(n+2) chia hết cho 6 . 
2016n luôn chia hết cho 6 
Vậy n3 + 3n2 + 2018 n luôn chia hết cho 6 với mọi n € Z
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 3
(2,5 điểm)
Đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) nên ta có 
 x = - 1; y = -2 thay vào 
và giải ra ta được m = 0
0,5
0,5
Để d cắt 2 trục tọa độ thì m ≠ -1 ; 2
Giả sử (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B. ta tính được tọa độ A () B () 
Ta có tam giác OAB vuông tại O nên 
Giải ra ta có (t/mđk) 
Vậy thì 
0,25
0,25
0,25
0,25 
0,5
 Tam giác AMC vuông tại M 
có MH là đường cao 
MH = ( hệ thức lượng .. )
 = (cm) 
0,5
0,5
0,5
0,5
Vì AC song song với BD nên ta có ( Vì AC=CM; BD =MD) 
Suy ra MI// AC. Mà MH//AC ( vì cùng vuông góc AB) 
 Suy ra M, I, H thẳng hàng 
0,5
0,5
1,0
0,5
c)Đặt AB = a; AM = c; BM = b 
Ta có 
Vậy = AK.KB
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
(1,5 điểm)
Từ (x+1)(y+1) = 4xy 
Đặt a = ; b = 
Ta có (1+a)(1+b) = 4 
Từ đó ab
Áp dụng AM – GM cho 2 số thực dương ta có 
Tương tự ta có 
Cộng vế theo vế ta được 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
 x = y = 1
0,5
0,5
0,5