Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 cấp Thành phố - Năm học 2019-2020 - Sở GD & ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHÓA THI NGÀY 10.6.2020 
 Môn thi: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
 (không kể thời gian phát đề) 
Bài 1. (4 điểm) 
Cho các số thực , ,a b c thoả mãn điều kiện 
1 1 1
a b c
b c a
a) Cho 1a , hãy tìm , .b c 
b) Chứng minh rằng nếu , ,a b c đều dương thì a b c . 
Bài 2. (3 điểm) 
Cho ba số dương , ,x y z thỏa điều kiện 3.x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 1
P
xy xz
. 
Bài 3. (4 điểm) 
Cho tam giác đều ABC . Trên các cạnh ,BC AB lần lượt lấy các điểm ,M N sao cho 
1
;
3
BM BC 
1
.
3
AN AB 
a) Chứng minh MN vuông góc với .BC 
b) Gọi I là giao điểm của AM và .CN Tính góc BIC . 
Bài 4. (3 điểm) 
Giả sử , ,a b c là ba số đôi một khác nhau và 0c . Chứng minh rằng nếu phương trình 
2 0x ax bc và phương trình 2 0x bx ca có đúng một nghiệm chung thì các 
nghiệm khác của hai phương trình trên thỏa mãn phương trình 2 0.x cx ab 
Bài 5. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A ( )AB AC có đường cao AH . Đường tròn tâm H bán 
kính HA cắt cạnh AC tại .D Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt BC tại .E 
a) Chứng minh .BH HE 
b) Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường tròn ( )H tại , .K L Chứng minh 
,CK CL là các tiếp tuyến của ( )H . 
Bài 6. (2 điểm) 
Gọi S là tập hợp gồm 1011số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020. Chứng 
minh rằng trong S có hai số mà tổng của chúng bằng 2021. 
HẾT 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm 01 trang) 
ĐÁP ÁN 
Bài 1. (4 điểm) 
Cho các số thực , ,a b c thoả mãn điều kiện 
1 1 1
a b c
b c a
(*) 
a) Cho 1a , hãy tìm , .b c 
Thay 1a vào (*), ta có hệ: 
1 1 21
11 1 1
1 2 1 22
cc c cb b
b bb b b
b
b) Chứng minh rằng nếu , ,a b c đều dương thì a b c . 
• 
1 1 1 1
a b b c c a a a
b c c a
 (vô lý) 
• 
1 1 1 1
a b b c c a a a
b c c a
 (vô lý) 
• 
1 1
.a b b c a b c
b c
Bài 2. (3 điểm) 
Cho ba số dương , ,x y z thỏa điều kiện 3.x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 1
P
xy xz
. 
Giải. 
2 2
1 1 4 4 16
( ) 9
2 2
y z y z
P
xy xz xyz x y zy z x y z
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
3
2
3
3
4
y z x
x y z
y zx y z
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
16
9
. 
Bài 3. (4 điểm) 
Cho tam giác đều ABC . Trên các cạnh ,BC AB lần lượt lấy các điểm ,M N sao cho 
1
;
3
BM BC 
1
.
3
AN AB 
a) Chứng minh MN vuông góc với .BC 
b) Gọi I là giao điểm của AM và .CN Tính góc BIC . 
 a) Gọi 'M là hình chiếu của N trên .BC 
Ta có: 0' cos60BM BN 
1
2
BN AN BM 
Suy ra 'M trùng M đpcm. 
b) Ta có: ABM CAN (c – g – c) 
AMB ANC 
 BMIN nội tiếp. 
BIN BMN 
090BIN 
090BIC 
Bài 4. (3 điểm) 
Giả sử , ,a b c là ba số đôi một khác nhau và 0c . Chứng minh rằng nếu phương trình 
2 0x ax bc và phương trình 2 0x bx ca có đúng một nghiệm chung thì các 
nghiệm khác của hai phương trình trên thỏa mãn phương trình 2 0.x cx ab 
Giải. 
Gọi 
0
x là nghiệm chung của hai phương trình. 
Ta có 2
0 0
0x ax bc và 2
0 0
0x bx ca 
Suy ra 
0 0
( ) ( )a b x c a b x c (do a b ) 
2 0 0c ac bc a b c (do 0c ) a b c 
Suy ra ,a b là nghiệm của phương trình 2 0.x cx ab 
Bài 5. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A ( )AB AC có đường cao AH . Đường tròn tâm H bán 
kính HA cắt cạnh AC tại .D Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt BC tại .E 
a) Chứng minh .BH HE 
b) Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường tròn ( )H tại , .K L Chứng minh 
,CK CL là các tiếp tuyến của ( )H . 
I
N
A
B M CD
a/ Chứng minh .BH HE 
Kẻ HM vuông góc với AD MA MD . 
Ta có MH //AB //DE và MA MD .BH HE 
b/ Chứng minh ,CK CL là các tiếp tuyến của ( )H . 
Ta có 2 2 . .HK HA HBHC HE HC 
 HEK ∽ HKC 
 090HKC HEK 
 CK là tiếp tuyến của ( ).H 
Tương tự CL cũng là tiếp tuyến của ( ).H 
Bài 6. (2 điểm) 
Gọi S là tập hợp gồm 1011số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020. Chứng 
minh rằng trong S có hai số mà tổng của chúng bằng 2021. 
Giải. 
Xét tập hợp T gồm tất cả các số dạng 2021 s với .s S 
Do đó T cũng có 1011số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020. 
Từ đó tập S T có 2022 số nguyên dương có giá trị không quá 2020 . 
Nên tồn tại hai số ,x y S sao cho 2021x y hay 2021x y (x không thể bằng y do 
2021 là số lẻ). 
M
K
L
D
EH
B C
A