Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 cấp huyện - Năm học 2020-202 (có đáp án)

UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD& ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề có 03 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2020 - 2021
Môn: Toán
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào tờ giấy thi.
Câu 1: Biểu thức . Giá trị a2 + b2 là :
A. 1	 B. 3	C. 5	 D. 7
Câu 2. Rút gọn biểu thức (với x, y > 0, ) được kết quả là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của là 
A. .	B. 10.	C. 8 .	D. 4.
Câu 4: Tập nghiệm của phương trình là: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5. Cho (với ). Giá trị của biểu thức là
A. 1.	B. .	C. 2.	D. .
Câu 6. Cho Biết thì giá trị của là:
A. 1
B. 0
C. 3
D. -1
Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Câu 8. Biểu thức có nghĩa khi nào? 
A. . B. C. hoặc D. . 
Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Ta có	
A. 
B. 
C. 
C. 
Câu 10. Cho hình thang , có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết . Diện tích của hình thang là
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD , có AB = 10cm, AC = 15cm. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Độ dài đoạn CE là
A. 10cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 9cm
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Giả sử . Khi đó cạnh BC bằng: 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 13. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HF vuông góc với AC tại F. Khi đó hệ thức đúng là: 
A. 	 B. 	 C. D. 
Câu 14: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, đường phân giác AD. Gọi O chia trong AD theo tỉ số AO:OD = 2:1. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tỉ số AK:KC là	
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
Câu 15. Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Độ dài đường cao của hình thang là: 
A. 5cm B. cm C. 2cm D. 3cm
Câu 16. Nam chôn một cây cọc xuống đất để đo chiều cao của một cái cây trước nhà, cọc cao 2m và đặt cách cây một khoảng 15m. Từ chỗ cái cọc Nam lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây nằm trên một đường thẳng. Biết khoảng cách từ chân đến mắt của Nam là 1,6m. Chiều cao của cái cây đó là
A. 10,85 m B. 10,25 m C. 9,5 m D. 9,25 m
II. PHẦN TỰ LUẬN. (12,0 điểm)
Bài 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì 
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 2. (4,0 điểm)
	a) Cho ba số thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức: .
b) Giải phương trình .
Bài 3. (4,0 điểm) 
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên AB, AC.
a) Chứng minh: AD.AB = AE.AC.
b) Chứng minh: DE3 = BC.BD.CE.
2. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB và 
MFAD (E AB, F AD).
a) Chứng minh DECF và ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 4. (1,0 điểm) Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
---------------------HẾT--------------------
Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:......................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./.
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
 (Hướng dẫn chấm có 04 trang)
Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm. Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai không tính điểm.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
A
B
D
D
D
Câu
9
10
11
12
13
14
15
16
C
C
D
A
B
D
C
C
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).
Bài 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì 
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Nội dung cần đạt
Điểm
Ta có: 
0,5
0,5
0,5
b) 
Lập bảng:
Ta có nghiệm 
0,5
0,5
0,5
Bài 2. (4,0 điểm)
	a) Cho ba số thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức: .
b) Giải phương trình .
Nội dung cần đạt
Điểm
a) Từ suy ra 
Tương tự có , .
=
Khai triển và làm gọn biểu thức trên tử ta được kết quả là 0.
Vậy .
0,5
0,5
0,5
0,5
b) ĐK: . Ta có: 
	.
(Do với ).
Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất .
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 3. (4,0 điểm) 
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên AB, AC.
a) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Chứng minh: DE3 = BC.BD.CE
2. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, 
MFAD.
a) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Nội dung cần đạt
Điểm
1. Hình vẽ :
a) Ta có: AD.AB = AE.AC (=AH2)
1,0
b) BH2 = BD.AB, CH2 = CE.AC
AH4 = BH2.CH2 = AB.AC.BD.CE = AH.BC.BD.CE
AH3 = BC.BD.CE
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật DE = AH
 DE3 = BC.BD.CE
0,25
0,25
0,25
0,25
2. Hình vẽ
a) Chứng minh AE = AF
Chứng minh 
DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
0,5
0,5
b) Đặt a = AB
 không đổi
 (không đổi)
 lớn nhất (tứ giác AEMF là hình vuông) 
 là trung điểm của BD.
0,5
0,5
Bài 4. (1,0 điểm) Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Nội dung cần đạt
Điểm
Từ (*) Dấu “=” 
Chỉ ra : 
Suy ra : ( Áp dụng (*))
 (1)
Tương tự : (2); (3)
Từ (1), (2) và (3) 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
1,0
--------------------------HẾT----------------------