Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 cấp huyện - Năm học 2020-2021 - Phòng GD & ĐT Hồng Ngự (có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT HỒNG NGỰ 
 (ĐỀ THAM KHẢO) 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Ngày thi: 08/11/2020 
(Đề gồm có 01 trang) 
Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức: 
a) (4 15)( 5 3) 8 2 15  
b) 5 3 29 12 5 
Bài 2: (2 điểm) 
 Cho biểu thức 2 2 .
12 1
x x
P x x
xx x
 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên, tính các giá trị 
nguyên của P. 
Bài 3: (4 điểm) 
a) Giải phương trình: 
2 2( 3 2)( 7 12) 24x x x x 
b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 
3
3
( 1) 2021
( 1) 2020
x y x
x y y
Bài 4: (4 điểm) 
a) Cho ba số x ; y ; z bất kì. Chứng minh rằng: yzxzxyzyx 
222
 b) Cho 2 22020 2014 3x x . Tính 2 22020 2014x x . 
Bài 5: (4 điểm) 
 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm M thuộc nửa đường 
tròn, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với OM. Gọi E và F lần lượt là chân các 
đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M 
đến AB. Chứng minh rằng: 
 a) ME = MF. 
 b) AM là tia phân giác của góc BAE. 
 c) MH2 = AE.BF. 
Bài 6: (4 điểm) 
Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm. Gọi E và F lần lượt là điểm đối 
xứng của G qua AB và AC. 
 a) Tứ giác EAFG là hình gì? Vì sao? 
 b) Chứng minh bốn điểm E, B, C, F cùng thuộc đường tròn tâm G bán kính 
GB. 
 c) Tính diện tích tứ giác EBCF, biết AB = a. 
 HẾT 
PHÒNG GD & ĐT HỒNG NGỰ 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN 
(Gồm có 04 trang) 
 Nội dung Điểm 
Bài 1 2 điểm 
a) 
2(4 15)( 5 3) 8 2 15 (4 15)( 5 3) ( 5 3)   
0,25 
2(4 15)( 5 3) (4 15)(8 2 15) 0,25 
2(4 15)(4 15) 0,25 
2(16 15) 2.1 2 0,25 
b) 
25 3 29 12 5 5 3 (3 2 5) 
0,25 
5 3 3 2 5 5 6 2 5 
0,25 
25 ( 5 1) 5 ( 5 1) 
0,25 
1 1 0,25 
Bài 2 2 điểm 
a) 1 điểm 
 2 2 .
12 1
x x
P x x
xx x
. ĐK: 0x và 1x 
0,25 
 2
2 2
. 1
( 1) ( 1)( 1)
x x
x x
x x x
0,25 
2 2 ( 2)( 1) ( 2)( 1)
. .
1 11 1
x x x x x x
x x
x xx x
0,25 
( 2) 2) 2
.
1 1 1
x x x x x
x
x x x
0,25 
b) 1 điểm 
 2 2 2 2 2( 1) 2 2
2 ( 1)
1 1 1 1 1
x x x
P Z x
x x x x x
 là Ư(2) 
0,5 
 ( 1) 1; 2x 
1 1 2x x (nhận); 1 1 0x x (loại) 
1 2 3x x (nhận); 1 2 1x x (loại) 
0,25 
 Khi 2 4x P ; Khi 3 3x P 0,25 
Bài 3 4 điểm 
a) 2 điểm 
 2 2( 3 2)( 7 12) 24 ( 1)( 2)( 3)( 4) 24x x x x x x x x 0,25 
    2 2( 1)( 4) . ( 2)( 3) 24 ( 5 4)( 5 6) 24x x x x x x x x (*) 0,25 
Đặt 2 5 5t x x , khi đó phương trình (*) trở thành: 
2( 1)( 1) 24 1 24t t t 
0,25 
dH
F
E
O BA
M
2
5
25
5
t
t
t
0,25 
Với 5t thì 2 2
0
5 5 5 5 0
5
x
x x x x
x
0,5 
Với 5t thì 2 25 5 5 5 5 0x x x x (PT VN) 0,25 
Vậy tập nghiệm của phương trình: 0; 5S 0,25 
b) 2 điểm 
 3
3
( 1) 2020 (1)
( 1) 2019 (2)
x y x
x y y
Lấy (1) trừ cho (2) theo vế, ta được: 1x y 
1,0 
 Thay 1x y vào hệ phương trình: 
3
3
(1 1) 2021 8 2021 2021 8
8 2020 2020 8(1 1) 2020
x x x
y yy
0,5 
 2013
2012
x
y
0,5 
Bài 4 4 điểm 
a) 2 điểm 
 Với mọi x ; y ; z ta luôn có: 
 xyyxyx 20 222 
0,5 
 xzzxzx 20 222 0,5 
 yzzyzy 20 222 0,5 
Do đó: )(2)(2 222 yzxzxyzyx 0,25 
yzxzxyzyx 222 0,25 
b) 2 điểm 
 Đặt 2 2 22020 2020A x A x 0,25 
 2 2 22014 2014B x B x 0,25 
 Khi đó: 2 2 2 2(2020 ) (2014 ) 6A B x x 
( )( ) 6A B A B 
0,5 
0,25 
 3.( ) 6A B (Vì 3A B ) 0,25 
 Suy ra: 2A B . 0,25 
Vậy 
2 22020 2014 2x x 
0,25 
 Nội dung Điểm 
Bài 5 4 điểm 
a) 1 điểm 
 ABFE là hình thang. 0,25 
OA = OB, OM//AE//BF. 0,5 
Kết luận: ME = MF 0,25 
b) 1,25 điểm 
 Tam giác OAM cân tại O (do OA = OM = bán kính) nên : 
OMAOAM ˆˆ 
0,5 
AE//OM nên OMAMAE ˆˆ (so le trong) 0,25 
Suy ra OAMMAE ˆˆ 0,25 
Do đó AM là tia phân giác của góc OAE hay của góc BAE 0,25 
c) 1,75 điểm 
 AME = AMH (cạnh huyền - góc nhọn) 
Suy ra AE = AH 
0,5 
 BFM = BHM (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 
Suy ra BF = BH 
0,5 
 Tam giác ABM có đường trung tuyến MO ứng với cạnh AB bằng nửa 
cạnh AB nên ABM là tam giác vuông tại M 
0,25 
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM, ta có: 
MH2 = HA.HB 
0,25 
Suy ra MH2 = AE.BF 0,25 
Bài 6 
G
I
K
H
A
B
C
E F
4 điểm 
a) 1,5 điểm 
 Vì tam giác ABC đều nên các đường trung tuyến bằng nhau 
AH = BK = CI => AG = BG = CG 
0,5 
Mặt khác tứ giác AGBE là hình thoi (có 2 đường chéo vuông góc tại 
trung điểm mỗi đường). Do đó AE = AG = GB = BE 
0,5 
 Tương tự ta có AE = AF = FG = GE. 
Vậy tứ giác EAFG là hình thoi. 
0,5 
b) 1,5 điểm 
Ta có IE = IG = 
3
CI
=> GE = GC = 
2
3
CI
(1) 
0,5 
Tương tự GB = GF (2) 0,5 
Mà BG = CG (3) 0,25 
Từ (1), (2), (3) => GE = GC = GF = GB 0,25 
Vậy E, B, C, F cùng thuộc đường tròn (G; GB) 0,25 
c) 1 điểm 
Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng, hợp lôgic thì vẫn cho điểm tối đa theo hướng 
dẫn trên. Bài 5, 6 không chấm điểm phần bài làm nếu hình vẽ chưa chính xác. 
---Hết--- 
 Theo chứng minh trên (câu b) tứ giác EBCF là hình chữ nhật. 
Ta có BC = AB = a ; BE = AG = 
2
3
a
Do đó: S =
2
.
3
a
a = 
22
3
a
(đvdt) 
0,25 
0,25 
0,5