Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên (dành cho chuyên Toán và chuyên Tin) - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc (có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 điểm). 
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm). 
a) Tìm số nguyên tố p để là lập phương của một số tự nhiên.
b) Trong bảng ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý (mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5.
Câu 3 (3,0 điểm). 
Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ gọi M là giao điểm của tia AO và cạnh BC; gọi tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh 
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh rằng 
Câu 4 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng:
Câu 5 (1,0 điểm).
Điểm của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0).
———— HẾT————
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh Số báo danh 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin 
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
3,0
a
Đk: 
0,25
Ta thấy không là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra .
Khi đó, phương trình đã cho tương đương: 
0,25
Đặt (1) trở thành 
. 
Kết hợp với điều kiện 
0,5
Với 
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm và .
0,5
b
Ta thấy không thỏa mãn hệ đã cho, suy ra .
Hệ đã cho tương đương: 
Đặt hê đã cho có dạng 
0,5
 do vô nghiệm
0,25
Với 
+) hệ đã cho có nghiệm 
0,25
+) hệ đã cho có nghiệm 
Vậy, hệ đã cho có nghiệm là: và .
0,5
2
2,0
a
Do là lập phương của một số tự nhiên, suy ra lẻ 
0,5
Khi đó, .
Vì p là nguyên tố nên k chỉ có thể là 1 .
Vậy, số nguyên tố p cần tìm là 13.
0,5
b
Ta xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 121, khi đó hiệu giữa hai số ghi ở hai ô này là 120.
0,25
Số ô vuông cách nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 121 nhiều nhất là 20 cặp ô vuông (10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột). Ví dụ trong bảng trên ô ghi số 1 và ô ghi số 121 cách nhau 4 cặp ô vuông .
1
121
0,25
Nếu hiệu của hai số trong hai ô kề nhau nào đó cũng chỉ là 5 thì qua 20 cặp ta có sự chênh lệch là . Như vậy . Do đó ắt có hai ô kề nhau nào đó sao cho hiệu hai số viết trong hai ô lớn hơn 5.
0,5
3
3,0
a
Ta có: và 
0,25
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC nên 
0,25
Lại có tứ giác AFHE và APMN nội tiếp 
Suy ra 
0,25
Từ (1) và (2) suy ra .
0,25
b
Do và kết hợp với (2)
Suy ra 
0,5
Lại có hay 
Do đó tứ giác EFPN nội tiếp.
0,5
c
Ta có: 
 và 
0,5
Suy ra 
0,25
Do , suy ra 
0,25
4
1,0
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,
ta có 	 và 
Suy ra 
0,25
Suy ra (1)
0,25
Tương tự, cũng có: 	 (2)
	 (3)
0,25
Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu được
 Điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
0,25
5
1,0
+ không thỏa mãn, vì ta có thể chọn bốn điểm nguyên là đỉnh của một hình vuông đơn vị, khi đó, mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm nguyên đang xét có diện tích bằng không phải là số nguyên.
0,25
+ Ta chứng minh là số nguyên bé nhất thỏa mãn. Ta chia các điểm nguyên của mặt phẳng thành 4 loại:
Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn.
Khi đó, trong 5 điểm nguyên đang xét, luôn có hai điểm cùng loại, ta gọi đó là hai điểm A, B. Ta sẽ chứng minh, với mọi điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC luôn là số nguyên.
0,25
Thật vậy:
+ Nếu A và B có cùng hoành độ a, thì do A, B cùng loại, nên độ dài AB là số chẵn. Gọi h là khoảng cách với khi đó là số nguyên.
Tương tự với A, B cùng tung độ, ta cũng có diện tích tam giác ABC là số nguyên.
0,25
+ Xét trường hợp thuộc cùng một loại, nhưng . Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn (Hình vẽ). Khi đó, theo lập luận ở trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích là số nguyên, suy ra là số nguyên.
Nhưng nên là số nguyên. Điều phải chứng minh. 
0,25
---------------------------Hết----------------------------