Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc (có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm). 
Cho hệ phương trình: (với x, y là ẩn; m là tham số). 
a) Giải hệ phương trình đã cho với .
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện .
Câu 2 (2,0 điểm). 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình (m là tham số). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để:
a) Đường thẳng đi qua điểm .
b) Đường thẳng cắt các trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 9.
Câu 3 (2,0 điểm). 
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.
Câu 4 (3,0 điểm). 
Cho là một dây cung (không phải là đường kính) của đường tròn tâm O, bán kính . Điểm di động trên cung lớn BC sao cho luôn nằm trong tam giác . Các đường cao AD, BE, CF của tam giác đồng qui tại (D, E, F là các chân đường cao). 
a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
b) Gọi là trung điểm , là trung điểm , K là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành và .
c) Xác định vị trí của A để đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm). 
Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu (tích của n số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho hai số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều là ước số của n!
———— HẾT————
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh Số báo danh 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh 
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
2,0
a
Thay vào hệ ta có: 
0,25
0,75
Vậy, hệ có nghiệm là và .
0,5
b
Thay vào hệ có: 
0,25
Vậy, hoặc .
0,25
2
2,0
a
Đường thẳng đi qua điểm 
0,5
. Vậy, thì đi qua điểm .
1,0
b
 cắt các trục toạ độ tại các điểm và 
0,25
0,25
3
2,0
a
Điều kiện: 
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
b
0,25
Đối chiếu ĐK có: . Vậy, 
0,25
4
3,0
a
Do suy ra tứ giác BFEC nội tiếp
0,5
 (cùng bù với góc ) và 
 Từ đó suy ra (đpcm).
0,5
b
Ta có 
Lại có 
tứ giác AHCK là hình bình hành
0,5
Ta có:, trong đó: AA’ là trung tuyến , AA1 là trung tuyến 
Do 
0,25
Từ (1) và (2) suy ra: .
0,25
c
Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB 
Ta có: lần lượt là đường cao của các tam giác OBC, OCA, OAB.
0,25
 (3)
0,25
Theo phần b suy ra: , mà là tỷ số giữa 2 trung tuyến của 2 tam giác đồng dạng AEF và ABC nên . 
Tương tự có: , 
thay vào (3) ta được: 
0,25
Do , dấu bằng xảy ra khi A là điểm chính giữa cung lớn BC
Mà R không đổi, nên lớn nhất lớn nhất lớn nhất là điểm chính giữa của cung lớn BC.
0,25
5
1,0
Với 
Ta có: khẳng định đúng với .
0,25
Giả sử khẳng định đúng với . 
Ta đi chứng minh khẳng định đúng với .
Thật vật:
Giả sử a là số nguyên dương tuỳ ý và , chia a cho với số dư r và thương d. Khi đó: .
Theo giả thiết, do trong đó là các số tự nhiên khác nhau từng đôi một, và là ước của n!.
0,25
Đồng thời . Khi đó: và tổng này có không quá số khác nhau từng đôi một và đều là ước của (đpcm).
0,5
---------------------------Hết----------------------------