Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT (chuyên) - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Đak Lak (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 ĐẮK LẮK
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN – CHUYÊN
Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho phương trình (*), với m là tham số. 
a) Giải phương trình (*) khi m = 0.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình .
	b) Giải phương trình .
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình .
	b) Tìm số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số biết nó chia cho 7 được số dư là 2 và bình phương của nó chia cho 11 được số dư là 3. 
Câu 4 (3,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm I. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hai đường thẳng BH, CH cắt đường tròn (I) lần lượt tại hai điểm P và Q (P khác B và Q khác C).
	1) Chứng minh IA vuông góc PQ.
2) Trên hai đoạn HB và HC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM vuông góc MC; AN vuông góc NB. Chứng minh tam giác AMN cân.
	b) Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng .
Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
.
 Hết 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: 
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: ...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 ĐẮK LẮK
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
	NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN – CHUYÊN
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM 
(Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm gồm tất cả 05 trang)
A. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Giải phương trình khi m = 0
Với m = 0, ta được phương trình 
0,25
Đặt . Phương trình trên trở thành phương trình
0,25
0,25
Với , ta được 
Với , ta được 
 Vậy với m = 0, phương trình đã cho có 4 nghiệm là
0,25
b) (1,0 điểm) (*)
Đặt . Phương trình (*) trở thành phương trình
 (1)
0,25
(*) có 4 nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm dương phân biệt
0,25
Gọi là hai nghiệm dương phân biệt của (1). Ta được
0,25
Khi đó, 
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Giải hệ 
Điều kiện . Khi đó,
0,25
0,25
0,25
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm (x;y) là
(1;1), , 
0,25
b) (1,0 điểm) Giải phương trình 
Điều kiện . 
Nhận thấy x = – 1 không là nghiệm của phương trình đã cho nên
0,25
 (**)
0,25
Đặt , phương trình (**) trở thành phương trình 
0,25
Với , ta được 
So với điều kiện ban đầu, nghiệm của phương trình đã cho là 
0,25
Câu 3
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Phương trình 
0,25
0,25
Vì 617 là số nguyên tố nên 
0,25
0,25
b) (1,0 điểm) Tìm có 4 chữ số bé nhất thỏa n chia 7 dư 2; chia 11 dư 3
Vì chia 11 dư 3 nên – 3 chia hết cho 11. Suy ra
0,25
Suy ra n chia 11 dư 6 hoặc n chia 11 dư 5.
0,25
Nếu n chia 11 dư 6 thì n chia 77 dư 6, 17, 28, 39, 50, 61 hoặc 72. Vì n chia 7 dư 2 nên n chia 77 dư 72.
Trong trường hợp này số cần tìm là 1073.
0,25
Nếu n chia 11 dư 5 thì n chia 77 dư 5, 16, 27, 38, 49, 60 hoặc 71. Mà n chia 7 dư 2 nên n chia 77 dư 16.
Trong trường hợp này số cần tìm là 1017.
 Vậy 1017 là số cần tìm.
0,25
Câu 4
(3,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
1) (1,0 điểm) PQ vuông góc với AI
Trong tam giác ABC, gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B và C. Khi đó, vuông tại E và vuông tại F. Từ đó suy ra
0,25
0,25
sđ = sđ
 A là điểm chính giữa cung PQ
0,25
 AI vuông góc với PQ (đpcm)
0,25
2) (1,0 điểm) tam giác AMN cân
Theo giả thiết,
 Tam giác AMC vuông tại M có ME là đường cao nên
(i)
 Tam giác ANB vuông tại N có NF là đường cao nên
 (ii)
0,25
Tam giác AEB và tam giác AFC có nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó,
0,25
(iii)
0,25
Từ (i), (ii), (iii) ta được . Hay tam giác AMN cân tại A
0,25
b) (1,0 điểm) Chứng minh 
Đặt suy ra , và . Gọi D là giao điểm của AB với đường trung trực cạnh BC.
0,25
Khi đó, cân tại D suy ra . Suy ra CA là phân giác trong của . Do đó, (a)
0,25
Mặt khác, cân tại C vì . Do đó,
(b)
0,25
Từ (a), (b) ta được (đpcm)
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
Đặt . Phân tích P như sau
0,25
Ta luôn có
Theo giả thiết x + y + z = 1 suy ra (i). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
0,25
Mặt khác, . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được
(ii)
Từ (i), (ii) suy ra (đpcm).
0,25
 Hệ vô nghiệm nên đẳng thức không xảy ra.
0,25
B. HƯỚNG DẪN CHẤM
1. Điểm bài thi đánh giá theo thang điểm từ 0 đến 10. Điểm của bài thi là tổng của các điểm thành phần và không làm tròn. 
2. Học sinh giải theo cách khác nếu đúng và hợp lí vẫn cho điểm tối đa phần đó.
 Hết