Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT - Sở GD & ĐT tỉnh Quảng Ninh (có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2019
Môn thi: Toán (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long)
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi này có 01 trang)
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức (với ). 
a) Rút gọn biểu thức ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của .
Câu 2. (2,5 điểm)
	1. Giải phương trình: .
	2. Giải hệ phương trình: .
Câu 3. (1,0 điểm)
	Tìm các số nguyên không âm thỏa mãn: .
Câu 4. (3,5 điểm)
	Cho đường tròn , đường kính , điểm nằm trên đoạn ( khác và ). Từ kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại hai điểm và . Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của trên . Đường thẳng cắt tại điểm thứ hai .
	a) Chứng minh tứ giác nội tiếp;
	b) Tiếp tuyến tại của cắt đường thẳng tại . Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác (điểm là tâm đường tròn). Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của ;
	c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Biết , tính diện tích tam giác theo .	
Câu 5. (1,5 điểm)
1. Cho các số thực thỏa mãn: , , và .
Chứng minh: .
2. Cho trước p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ , lấy hai điểm và thuộc trục . Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp sao cho các điểm thuộc trục và đều có tung độ là các số nguyên dương.
--------------------HẾT--------------------
Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh..................... 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH 
LỚP 10 THPT NĂM 2019
Môn thi: Toán (chuyên)
(Hướng dẫn này có 02 trang)
Câu
Lời giải sơ lược
Điểm
1.a
(0,75 điểm)
0,5
.
0,25
1.b
(0,75 điểm)
. Với mọi ta có: nên 
0,5
Do đó. Giá trị lớn nhất của là đạt được khi .
0,25
2.1
(1,25 điểm)
 Điều kiện 
0,25
Đặt .
0,25
Pt trở thành: . Tính được (loại), (TM).
0,25
 biến đổi pt được
0,25
Tính được (tmđk). Vậy tập nghiệm của pt là .
0,25
2.2
(1,25 điểm
0,25
Thế từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được:
.
0,5
Thay vào phương trình ta được: .
0,25
Hệ phương trình có nghiệm là: ;.
0,25
3
(1,0 điểm)
Có: suy ra , hay .
0,25
Nếu thì (Loại). Do đó .
0,25
Với chỉ ra không tồn tại thỏa mãn đề bài.
0,25
Với chỉ ra hoặc thỏa mãn đề bài rồi kết luận.
0,25
4a
(1,25 điểm)
Chỉ ra suy ra ,
0,5
Mà nên ,
0,5
Suy ra tứ giác nội tiếp.
0,25
4b
(1,25 điểm)
Chỉ ra được là tiếp tuyến của suy ra . (1)
0,25
Do tứ giác nội tiếp nên suy ra . Mà nên . (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra nên tứ giác nội tiếp.
0,25
Do đó mà nên .
0,25
Từ đó chứng minh được là tiếp tuyến của .
0,25
4c
(1,0 điểm)
Sử dụng tính chất đường nối tâm vuông góc với dây chung ta có: và do suy ra .
0,25
Chỉ ra suy ra nên . Tam giác vuông cân tại .
0,25
Chỉ ra tứ giác là hình vuông cạnh và là trung điểm của .
0,25
Tính được .Vậy diện tích tam giác là .
0,25
5.1
(1,0 điểm)
Từ giả thiết ta có: và 
suy ra 
Rút gọn ta được: .
0,25
Mặt khác: 
.
0,25
Vì , , 
Nên: .
0,25
Dấu “=” xảy ra khi chẳng hạn .
0,25
5.2
(0,5 điểm)
Xét tứ giác thỏa mãn đề bài. Gọi thì .
Tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi suy ra . (1)
0,25
Do p nguyên tố và nguyên dương nên có 9 cặp với thỏa mãn (1) là: . 
Vậy có 9 tứ giác thỏa mãn đề bài.
0,25
Những chú ý khi chấm thi: 
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn.
...................................... Hết .............................................