Đề thi môn Toán Lớp 9 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Dương Hải (có đáp án)

 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 1 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TP BUÔN MA THUỘT 
--------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS 
CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020-2021 
MÔN: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) 
Ngày thi: 15/01/2021 
Bài 1. (3,0 điểm) 
Cho biểu thức 3 2 2 1: 1
2 3 5 6 1
x x xP
x x x x x
. 
a) Rút gọn P . Tìm x nguyên để 0P 
b) Tìm x để 1Q
P
 nhỏ nhất. 
Bài 2. (5,0 điểm) 
a) Giải phương trình sau: 
 2 2 2 217 113 6 10 5 13 17 48 36 36 8 21
2 2
x x x x x x x x 
b) Phân tích thành nhân tử 3 3 3 3x y z x y z . 
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 2 1 7 8y x x x x . 
d) Cho , , , 1a b c d thỏa mãn 4abcd . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 
1 1 1 1
1 1 1 1
P
a b c d
. 
Bài 3. (3,0 điểm) 
Cho đường thẳng 1 : 2d y x và đường thẳng 2 22 : 2d y m m x m m 
a) Tìm điều kiện của m để 1 2//d d 
b) Gọi A là điểm thuộc 1d có hoành 2x . Viết phương trình đường thẳng 3d đi qua A và 
vuông góc với 1d 
c) Khi 1 2//d d . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 2,d d . 
d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng 1d và diện tích tam giác OMN với M, N lần 
lượt là giao điểm của 1d với các trục tọa độ. 
Bài 4. (4,0 điểm) 
a) Cho tam giác nhọn ABC. M là điểm nằm trong tam giác. Xác định vị trí điểm M để 
MA BC MB CA MC AB   đạt giá trị nhỏ nhất. 
b) Cho tam giác ABC và hình bình hành AMPN sao cho các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, 
AC. Điểm P nằm trong tam giác ABC. Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Xác định vị trí điểm P để 
AM AN PQ
AB AC AQ
 
 
 đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 5. (5,0 điểm) 
Cho hai đường đường tròn ;O R có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và 3AC R . Gọi H là 
hình chiếu của A trên BC ; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. 
a) Chứng tỏ 2 2 24AB AC R . Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC. 
b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho 
 3 1
2
R
AJ
 . Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J. Chứng tỏ 
QS = AC. 
c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC 
d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K. 
Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO. 
---------------- Hết ---------------- 
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 2 
BÀI GIẢI SƠ LƯỢC 
Bài 1: (3,0 điểm) 
Cho biểu thức 3 2 2 1: 1
2 3 5 6 1
x x xP
x x x x x
. 
a) Rút gọn P . Tìm x nguyên để 0P 
b) Tìm x để 1Q
P
 nhỏ nhất. 
a) (ĐK: 0; 4; 9x x x ) 
3 2 2 1 3 2 2 1 1: 1 :
2 3 5 6 1 2 3 12 3
x x x x x x xP
x x x x x x x xx x
3 3 2 2 2 9 4 2 1:
12 3 2 3
x x x x x x x x x x
x xx x x x
 
3 1 1
2 3 2
x x x
xx x x x
  
Vì 0x nên 1 0x
x
 . Do đó 0 2 0 0 4 1; 2; 3P x x x (vì x Z ) 
b) Vì 0x nên 0P , do đó 1
P
 luôn xác định. 
Khi đó 
 2 2 1 3 4 11 2 31 4 2 3 4
1 1 1 1
x x x x xx xQ x
P x x x x
Dấu “=” xảy ra 231 1 3 3 1 4 2 3
1
x x x
x
 (TMĐK) 
Vậy 2 3 4MinQ khi 4 2 3x 
Bài 2: (5,0 điểm) 
a) Giải phương trình sau: 
 2 2 2 217 113 6 10 5 13 17 48 36 36 8 21
2 2
x x x x x x x x 
b) Phân tích thành nhân tử 3 3 3 3x y z x y z . 
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 2 1 7 8y x x x x . 
d) Cho , , , 1a b c d thỏa mãn 4abcd . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 
1 1 1 1
1 1 1 1
P
a b c d
. 
a) 2 2 2 217 113 6 10 5 13 17 48 36 36 8 21
2 2
x x x x x x x x 
Ta có: 
2 2
2 2 225 3 53 1 2 3 2 4 6 3 1 2
2 2 2
VT x x x x x x x x x 
5 3 33 1 2 6 6
2 2 2
x x x x x . Dấu “=” xảy ra khi 3
2
x 
 221 3 312 3 2 4 12 9 6 2 3 6
2 2 2
VP x x x x x x . Dấu “=” xảy ra khi 
3
2
x 
Vậy nghiệm của phương trình là 3
2
x 
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 3 
b) 3 23 3 3 2 2 2x y z x y z y z x y z x y z x x y z y yz z 
 2 2 2 2 2 2 22y z x y z xy yz zx x xy zx x y yz z 
 2 23 3 3 3y z x xy yz zx y z x xy yz zx x y y z z x 
c) 2 2 2 21 7 8 4 2 16 2 16 14y x x x x y x x x x 
 2 22 2 2 2 2 24 2 16 7 49 2 16 7 4 49 2 16 7 2 2 16 7 2 49y x x x x y x x y x x y 
Vì ,x y nguyên dương, nên 2 22 16 7 2 ; 2 16 7 2x x y x x y nguyên dương 
và 2 22 16 7 2 2 16 7 2x x y x x y . Do đó ta có trường hợp sau: 
2
2 22
124 48 122 16 7 2 1
1 9 02 16 7 2 1 2 16 18 02 16 7 2 49
yy yx x y
x xx x y x xx x y
1
0
12
x
do x
y
. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là ; 1;12x y 
d) Với , 1a b . Ta chứng minh 1 1 2 *
1 1 1a b ab
1 1 1 1* 0 0
1 11 1 1 1 1 1
ab a ab b
a bab ab a ab b ab
1 1 1 1
0 0
1 1 1 1 1 1
ab a b ab b a a a b b b a b a
a b ab a b ab
0 0
1 1 1 1 1 1
a b ab a b a ba b a b a b a b
a b ab a b ab
2
1
0
1 1 1
a b ab
a b ab
; luôn đúng với , 1a b 
Do đó 
2 2 2 2 42 2 4 4 2
1 1 1 21 1 4
P
ab cd abcd
   
Dấu “=” xảy ra 2
4
a b c d
a b c d
abcd
Bài 3: (4,0 điểm) 
Cho đường thẳng 1 : 2d y x và đường thẳng 2 22 : 2d y m m x m m 
a) Tìm điều kiện của m để 1 2//d d 
b) Gọi A là điểm thuộc 1d có hoành 2x . Viết phương trình đường thẳng 3d đi qua A và 
vuông góc với 1d 
c) Khi 1 2//d d . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 2,d d . 
d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng 1d và diện tích tam giác OMN với M, N lần 
lượt là giao điểm của 1d với các trục tọa độ. 
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 4 
a) 
2
1 2 2
1 2 1 02 1
//
1 2 02
m mm m
d d
m mm m
1
11
22
1; 2
m
mm
m m
b) Tung độ điểm A là 2 2 4y , nên 2; 4A . 
Phương trình đường thẳng 3d có dạng y ax b . Vì 3d đi qua A và vuông góc 1d , nên có: 
2 4 6
1 1
a b b
a a
. Vậy phương trình đường thẳng 3 : 6d y x 
c) Phương trình đường thẳng 2
1:
4
d y x 
+) 1 : 2d y x cắt trục hoành tại 2; 0 và cắt trục tung tại 0; 2 
+) 2
1:
4
d y x cắt trục hoành tại 1 ; 0
4
 và cắt trục tung tại 
10;
4
Gọi 1 2,h h lần lượt là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến 1 2,d d , ta có : 
 12 221
1 1 1 1 2
22 2
h
h
 ; 22 22
2
1 1 1 1 232
32 81 1
4 4
h
h
Vậy khoảng cách giữa 1 2,d d là : 1 2
2 9 22
8 8
h h h (đvđd) 
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến 1d là 1 2h (đvđd) 
Ta có 2; 0 , 0; 2M N . Vậy 1 1 2 2 2
2 2OMN
S OM ON   (đvdt) 
Bài 4: (2,0 điểm) 
a) Cho tam giác nhọn ABC. M là điểm nằm trong tam giác. Xác định vị trí điểm M để 
MA BC MB CA MC AB   đạt giá trị nhỏ nhất. 
Gọi I là giao điểm của AM và BC ; 
Kẻ BH  AI, CK  AI (H, K AI) ,BH BI CK CI 
Ta có 1 1
2 2AMB
S MA BH MA BI   ; 1 1
2 2AMC
S MA CK MA CI   
 1 1 1 1
2 2 2 2AMB AMC
S S MA BI MA CI MA BI CI MA BC    
 2 AMB AMCMA BC S S  
Chứng minh tương tự 2 ; 2AMB BMC AMC BMCMB CA S S MC AB S S  
Do đó 2 4AMB AMC AMB BMC AMC BMC ABCMA BC MB CA MC AB S S S S S S S   
Đẳng thức xảy ra 
AM BC
BM AC M
CM AB
 
  
  
 là trực tâm ABC 
b) Cho tam giác ABC và hình bình hành AMPN sao cho các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, 
AC. Điểm P nằm trong tam giác ABC. Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Xác định vị trí điểm P để 
AM AN PQ
AB AC AQ
 
 
 đạt giá trị lớn nhất. 
K
H
I
A
B C
M
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 5 
Gọi E là giao điểm của MP và BC; F là giao điểm của NP và BC 
 : // AM CEABC ME AC a
AB BC
 ; : // AN BFABC NF AB b
AC BC
 : // PQ FQABQ PF AB c
AQ BQ
 ; : // PQ EQACQ PE AC d
AQ CQ
Từ , PQ FQ EQ FQ EQ FEc d e
AQ BQ CQ BQ CQ BC
Từ , ,a b e 
3
3 3
1
3
AM AN PQ CE BF FE CE BF FE CE BF FE
AB AC AQ BC BC BC BC BC
           
3
3
1 1
27 27
BC
BC
  
Đẳng thức xảy ra 
2
1
3
BCBQ CQ
CE BF FE PPQ
AQ
 là trọng tâm ABC 
Bài 5: (6,0 điểm) 
Cho hai đường đường tròn ;O R có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và 3AC R . Gọi H 
là hình chiếu của A trên BC ; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. 
a) Chứng tỏ 2 2 24AB AC R . Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC. 
b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho 
 3 1
2
R
AJ
 . Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J. Chứng 
tỏ QS = AC. 
c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC 
d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K. 
Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO. 
O
P
K
NM
S
Q
F
E
J
H
A
B CD
a) Chứng tỏ 2 2 24AB AC R . Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC. 
 0, 90ABC BAC AB AC  , nội tiếp đường tròn (O) BC là đường kính của O, nên 2BC R 
QF E
N
M
A
B C
P
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 6 
Do đó 22 2 2 22 4AB AC BC R R 
Kẻ OM  AB, ON  AC (M AB, N AC); Vì 3
2 2
AC RON AC AN CN 
2 2
0 2 2 2 3, 90
2 4 2
R R ROAN ONA ON AC ON OA AN R
  
Tứ giác AMON có 090AMN MAN ANO gt , nên tứ giác AMON là hình chữ nhật 
3
2
ROM AN 
b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho 
 3 1
2
R
AJ
 . Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J. Chứng tỏ QS = 
AC. 
Ta có 
 3 13
2 2 2 2
RR R RJN AN AJ JN ON
Gọi P là giao điểm của OM và QS. Vì QS  AC, AB  AC (gt) nên QS // AB 
mà OM  AB OM  QS hay OP  QS. 
Xét tứ giác ONJP, ta có 090 ,ONJ NJP JPO JN ON cmt 
Vậy tứ giác ONJP là hình vuông OP = ON, lại có OP  QS, ON  AC (gt) 
 QS = AC (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây) 
c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC 
Ta có 0 2 2, 90 , ,ABC BAC AH BC gt AB BH BC AC CH BC    
BEH và AHC : 090 , //BEH AHC gt BHE ACH HE AC 
Vậy BEH AHC .BE BH BE AC AH BH
AH AC
  
Tương tự CFH AHB .CF CH CF AB AH CH
AH AB
  
Do đó 
2 2BE CH BC CF BH BC BE AC CF ABBE CH CF BH
BC BC
  
BE AC CF AB AH BH AH CH AH BC AH BC
BC BC BC
    
d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K. Chứng 
minh rằng: BK vuông góc với AO. 
Vì 2 2 2
2
ROM AB AB AM ON R  . 
 :OAB OA OB AB R , vậy OAB đều, mà AH OB O đối xứng B qua H D O  
ABK và OBK : 090 ,BAK BOK gt BK (cạnh chung), AB OB cmt 
Vậy ABK OBK (cạnh huyền – c.g.v) KA = KO 
Lại có BA = BO (cmt), nên BK là trung trực của AO BK AO  (đpcm)