Đề thi môn Toán Lớp 9 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Năm học 2020-2021 (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
 (Đề thi có một trang)
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1.(2,0 điểm) 
Cho ba số a, b, c thoả các điều kiện sau. Tính giá trị của biểu thức 
Cho là các số thực dương thỏa mãn và . Chứng minh rằng . 
Câu 2.(2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình 
Câu 3.(2,0 điểm)
a) Tìm các số có 2 chữ số sao cho số là một số chính phương.
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn .
Câu 4. (3,0 điểm) 
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Lấy điểm D bất kì trên BC. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABD và tiếp xúc với cạnh BD tại H có bán kính r1. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ADC và tiếp xúc với cạnh CD tại K có bán kính r2.
1) Chứng minh rằng .
2) Tính độ dài theo r1 và r2.
3) Tìm vị trí của D trên cạnh BC để tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Câu 5.(2,0 điểm)
Cho các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
__________________Hết_________________
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
 (Đề thi có một trang)
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu
Ý
Đáp án
Điểm
1
a
Ta có: 
Từ đây phải biến đổi giả thiết để xuất hiện thêm . 
Ta có . Đặt T là tử của của P ta được 79.
Đặt M là mẫu của P, khi đó M cũng có thể phân tích thành tích được thành
Vậy ta được .
0.25
0.25
0.25
0.25
b
 Ta có
Do đó 
Suy ra 
Vậy .
0.25
0.25
0.25
0.25
2
a
Đặt phương trình trở thành 
Với 
Vậy phương trình có nghiệm 
0.25
0.25
0.25
0.25
b
Điều kiện 
.
Với , thay vào (2) ta được 
 (do điều kiện của x)
Với , thay vào (2) ta được 
Với suy ra .
Ta có 
Với thì 
Suy ra 
Vậy hệ phương trình có các nghiệm .
0.25
0.25
0.25
0.25
3
a
Ta có 
Do đó là một số chính phương
Ta lại có 
Với có 9 số thỏa mãn: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98
Với có 6 số thỏa mãn: 40; 51; 62; 73; 84; 95.
Với có 1 số thỏa mãn: 90
Vậy có tất cả 16 số thỏa mãn: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87;98; 40; 51; 62; 73; 84; 95; 90.
0.25
0.25
0.25
0.25
b
Ta có 
Ta có bảng giá trị tương ứng (học sinh có thể xét từng trường hợp)
Nghiệm 
2
0
0
-2
0
0
Loại
0
2
0
Loại
0
-2
0
0
0
2
Loại
0
0
-2
Vậy các số cần tìm là , , 
0.25
Mỗi cặp đúng được 0.25
4
a
Hình vẽ:
1) Vì (O), (I) là tâm của đường tròn nội tiếp các tam giác nên OD, OI lần lượt là tia phân giác của các góc ADB và ADC.
 (hai tia phân giác của hai góc kề bù)
0.25
, do 
Lại có 
Suy ra đồng dạng với 
0.25
suy ra 
0.25
Hay .
0.25
b
Ta có O là tâm đường tròn nội tiếp nên là tia phân giác của góc B, suy ra 
0.25
Ta có 
0.25
Suy ra .
c
Ta có: . 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và kết quả trên ta có :
0.25
Dấu “=” xảy ra là trung điểm của cạnh BC
Vậy D là trung điểm của cạnh BC thì đạt giá trị lớn nhất bằng .
0.25
5
Ta có:
Tương tự: 
Do đó 
Mặt khác: 
Suy ra 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
0.25
0.25
0.25
0.25