Đề thi tuyển sinh Lớp 10 môn Toán - Năm học 2009-2010 - Tỉnh Nghệ An (có đáp án)

§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 tØnh NghÖ An
N¨m häc: 2009-2010
M«n: To¸n
Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
C©u I: (3,0®). Cho biÓu thøc A = 
Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc A.
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A khi x = 9/4.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A <1.
C©uII: (2,5®). Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai, víi tham sè m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1).
1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 2.
2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1 + x2 = x1x2.
3. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 
C©u III: (1,5®).
Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 45m. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng thay ®æi.
C©u IV: (3,0®). Cho ®­êng trßn (O;R), ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®­êng kÝnh thay ®æi kh«ng trïng víi AB. TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®­êng th¼ng AC vµ AD lÇn l­ît t¹i E vµ F.
1. Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.
2. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®­êng trßn.
3. Gäi I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD. Chøng minh r»ng t©m I lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Gîi ý §¸p ¸n
C©u I: 
1. §kx®: x≥ 0, x ≠ 1
 A = 
2. Víi x = 9/4 => A = .
3. Víi A Û x<1
 VËy ®Ó A < 1 th× 0 ≤ x < 1.
C©u II: 
1. Víi m = 2 th× ph­¬ng tr×nh trë thµnh: 2x2 – 5x + 2 = 0
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ: 2 vµ 1/2.
2. Ta cã D = (m + 3)2 – 4.2.m = m2 - 2m + 9= (m - 1)2 + 8 
=> D>0 víi mäi m => ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
Theo ViÐt ta cã: 
Mµ x1 + x2 = x1x2 =>2(m+3) = 5m Û m = 2.
3. Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = (m + 3)2:4 – 2m = (m2 - 2m + 9):4 = 
VËy MinP = Û m =1
C©u III: Gäi chiÒu dµi cña thöa ruéng lµ x(m) 
 ChiÒu réng cña thöa ruéng lµ y(m) ( x>45, x>y)
 => Gi¶i hÖ ta ®­îc x = 60, y = 15 (tho¶ m·n)
VËy diÖn tÝch cña thöa ruéng lµ: 60.15 = 900(m2).
C©u IV: 
a. Ta cã tam gi¸c AEF vu«ng t¹i A (Gãc A lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)
Mµ AB lµ ®­êng cao.
=> BE.BF = AB2 (HÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng)
=> BE.BF = 4R2 ( V× AB = 2R)
b. Ta cã gãc CEF = gãc BAD (Cïng phô víi gãc BAE)
Mµ gãc BAD = gãc ADC ( Tam gi¸c AOD c©n)
=> Gãc CEF = gãc ADC => Tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®­êng trßn.
c. Gäi trung ®iÓm cña EF lµ H.
=> IH // AB (*)
 Ta l¹i cã tam gi¸c AHE c©n t¹i H (AH lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng AEF, gãc A = 900) => gãc HAC = gãc HEA (1)
 Mµ gãc HEA + gãc BAC = 900 (2)
 MÆt kh¸c gãc BAC = gãc ACO ( tam gi¸c AOC c©n t¹i O) (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) => AH ^CD
Nh­ng OI ^CD 
=> AH//OI (**)
Tõ (*) vµ (**) => AHIO lµ h×nh b×nh hµnh => IH = AO = R (kh«ng ®æi).
Nªn I c¸ch ®­êng th¼ng cè ®Þnh EF mét kho¶ng kh«ng ®æi = R => 
I thuéc ®­êng th¼ng d // EF vµ c¸ch EF mét kho¶ng =R.