Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT không chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Nam Định (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN
Năm học: 2021 – 2022
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần I. Trắc nghiệm (2,0 điểm) 
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm.
Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức là
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Câu 2. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R? 
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Câu 3. Hệ phương trình có nghiệm là
	A. . 	 B. . 	C. .	 D. .
Câu 4. Một hình trụ có chiều cao , bán kính . Thể tích hình trụ đó bằng
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Câu 5. Cho tam giác vuông tại , có đường cao góc . Độ dài cạnh là
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Câu 6. Biết phương trình . Có hai nghiệm phân biệt . Giá trị của biểu thức bằng
	A. . 	B. . 	 C. .	 D. .
Câu 7. Đường thẳng và đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi:
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Câu 8. Cho tam giác đều có độ dài cạnh , Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng:
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Phần II. Tự luận (8,0 điểm)
Câu 1. (1,5 điểm)
Chứng mính đẳng thức: 
Rút gọn biểu thức: với .
Vậy với .
Câu 2. (1,5 điểm)
Tìm tọa độ của tất cả các điểm thuộc parabol có tung độ bằng .
Cho phương trình (với là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt (với ) thỏa mãn: .
Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 4. (3,0 điểm)
1. Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng . Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn đường kính và nửa đường tròn đường kính , phần còn lại của mảnh đất để trồng cỏ. Tính diện tích phần đất trồng cỏ (phần tô đậm trong hình vẽ bên, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
2. Cho và điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Kẻ đường kính của đường tròn 
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn và .
b) Kẻ vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng là trung điểm của .
Câu 5. (1,0 điểm)
1. Giải phương trình (1).
2. Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
_______________ HẾT _______________
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I - Trắc nghiệm.
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
A
D
A
C
C
B
C
B

II – Tự luận
Câu 1. (1,5 điểm)
Chứng mính đẳng thức: 
Rút gọn biểu thức: với .
Lời giải.
Ta có: 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Với :
 .
Vậy với .
Câu 2. (1,5 điểm)
Tìm tọa độ của tất cả các điểm thuộc parabol có tung độ bằng .
Cho phương trình (với là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt (với ) thỏa mãn: .
Lời giải.
Thay vào phương trình parabol: . Ta có:
Vậy tọa độ tất cả các điểm thỏa mãn đề bài là: và .
Phương trình: (1)
Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn có: 
>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi , mà nên:
 thỏa mãn: 
Vây tất cả các giá trị của thỏa mãn đề bài là: và .
Câu 3. (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình 
Lời giải.
* Điều kiện: 
* Đặt khi đó hệ trở thành 
Giải ta được: 
* Với thế vào ta được:
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy suy ra . Do đó hệ phương trình có nghiệm là 
* Với thế vào ta được:
Do nên phương trình vô nghiệm.
KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
Câu 4. (3,0 điểm)
1. Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng . Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn đường kính và nửa đường tròn đường kính , phần còn lại của mảnh đất để trồng cỏ. Tính diện tích phần đất trồng cỏ (phần tô đậm trong hình vẽ bên, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
2. Cho và điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Kẻ đường kính của đường tròn 
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn và .
b) Kẻ vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng là trung điểm của .
Lời giải.
1) Diện tích hình chữ nhật là 
Có là hình chữ nhật 
Bán kính đường tròn đường kính là 
Diện tích nửa đường tròn đường kính là 
Bán kính đường tròn đường kính là 
Diện tích nửa đường tròn đường kính là 
Diện tích phần đất trồng cỏ là .
2) 
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn và .
Do là các tiếp tuyến của đường tròn (gt)
 (Tính chất tiếp tuyến)
Từ đó suy ra 
Xét tứ giác có:
 và hai góc ở vị trí đối nhau
Nên tứ giác nội tiếp đường tròn.
Ta có là các tiếp tuyến của đường tròn (gt)
Suy ra (Tính chất tiếp tuyến) nên thuộc đường trung trực của 
Lại có nên suy ra cũng thuộc đường trung trực của 
Từ đó suy ra là đường trung trực của 
Xét có: là đường kính (gt) và 
Suy ra (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Từ (1) và (2) suy ra (Từ vuông góc đến song song)
b) Kẻ vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng là trung điểm của .
Kẻ tại 
Ta có và 
Mà (do tam giác cân)
Từ đó suy ra cân
Mà nên suy ra (3)
Vì (Vì cùng vuông góc )
 (Định lí Talet) (4)
Từ (3) và (4) suy ra 
Từ đó suy ra là trung điểm của 
Câu 5. (1,0 điểm)
1. Giải phương trình (1).
2. Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải.
1. Điều kiện: .
Đặt .
Khi đó, phương trình (1) trở thành
Với , ta có .
Với , ta có 
Vậy phương trình có tập nghiệm là .
2. Ta có: .
Vì dương nên .
Tương tự, ta có: ; .
Suy ra .
Ta có
Suy ra .
Vậy . Dấu “” xảy ra khi .