Giáo án Dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương III, Bài 7: Tứ giác nội tiếp

BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I.Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa 
Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. 
2. Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°.
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 
Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
Chú ý: 
1.Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
2.Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính thì có số đo bằng 900
3.Đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây
4.Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì: 
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
+ Đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
+ Đường thẳng nối từ tâm đến điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm.
II. Các dạng bài tập
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
Minh họa:
Phương pháp 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn
Minh họa: 
Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
Minh họa: 
Phương pháp 4: Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
Minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
Hướng Dẫn:
Cách 1: Phương pháp 2:Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
Þ OB’ = OB = OC = r (1)
Xét DBC’C có : (GT)
Tương tự trên Þ OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) Þ B, C’, B’, C Î (O; r)Þ Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Phương pháp 3:Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lạ dưới một góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp. 
Ta có: (giả thiết) Þ.
(giả thiết)Þ.
Þ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông 
Þ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Cách 3: Phương pháp 1 và phương pháp 4: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng và Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Ta có: (giả thiết) Þ.
(giả thiết)Þ.
Xét và có và chung.
Vậy (g-g) 
Xét và ta có và chung. Vậy (c-g-c)
 . Tứ giác có góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong tại đỉnh . Vậy tứ giác nội tiếp. (Phương pháp 2)
Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác có nên tứ giác là tứ giác nội tiếp
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiêp.
Hướng Dẫn:
Xét tứ giác AMHN có: 
Þ ĐPCM.
Xét tứ giác BNMC có:
Þ ĐPCM.
Bài 3: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
	Học sinh tự chứng minh
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
Ta có: (sđ + sđ)
 sđ 
Þ PEDC nội tiếp.
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
Ta có: 
Þ MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông)
Dạng 2. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng...
Phương pháp: Sử dụng tính chât của tứ giác nội tiếp.
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp;
b) AH.AB = AD2;
c) Tam giác ACE là tam giác cân.
Hướng Dẫn:
a) Học sinh tự chứng minh
b) DADB vuông tại D, có đường cao DH Þ AD2 = AH.AB
c) sđ EC, 
(Tứ giác AKCH nội tiếp)
Þ Þ DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC)
Þ ĐPCM.
Bài 2: Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng o và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nôi NB cắt (O) tại c. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
a) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn;
b) NE2 = NC.NB;
c) (H là giao điểm của AC và d);
d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O).
Hướng Dẫn:
a) Học sinh tự chứng minh
b) sđ 
Þ DNEC ~ DNBE (g.g) Þ ĐPCM.
c) DNCH ~ DNMB (g.g) 
Þ NC.NB = NH.NM = NE2
DNEH ~ DNME (c.g.c) 
Þ 
d) (Tứ giác NEMO nội tiếp)
Þ Þ EH ^ NO
Þ DOEF cân tại O có ON là phân giác Þ 
Þ DNEO = DNFO vậy Þ ĐPCM.
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.
a) Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AH.AK có giá trị không phụ thuộc vị ữí điểm K.
c) Kẻ DN ^ CB, DM ^ AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy.
Hướng Dẫn:
a) 
Þ Tứ giác BIHK nội tiếp
b) Chứng minh được: DAHI ~ DABK (g.g)
Þ AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi)
c) Chứng minh được MCND là hình chữ nhật từ đó Þ ĐPCM.
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi 7 là trung điểm BC.
a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AM2 = AB.AC.
c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MC.
d) Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cô' định.
Hướng Dẫn:
a) Chú ý: 
b) sđ 
Þ DAMB ~ DACM (g.g)
Þ ĐPCM.
c) AMIN nội tiếp
Þ 
BE//AM Þ 
Þ Þ Tứ giác BEIN nội tiếp Þ 
Chứng minh được: Þ IE//CM.
d) G là trọng tâm DMBC Þ G Î MI.
Gọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = AO.
Từ G kẻ GG'//IK (G' Î MK)
 không đổi (1)
 cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc ().
Dạng 3: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
Phương pháp: Chỉ ra khoảng cách từ một điểm tới tất cả các điểm đều bằng nhau.
	Lợi dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung
	Chứng minh các đỉnh của một đa giác cùng nằm trên một đường tròn.
	Sử dụng cung chứa góc.
	Chứng minh các tứ giác nội tiếp.
Bài 1:Cho hình thoi ABCD có góc A bằng , AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.
Hướng Dẫn:
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD
Do ABCD là hình thoi nên ta có .
Ta có nên (tính chất đường chéo hình thoi)
Tam giác ABO vuông tại O có 
Xét tam giác vuông ABO có ( hai góc phụ nhau) mà suy ra hay 
( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung điểm của AB.
Tam giác EOB là tam giác cân tại E có nên tam giác EBO là tam giác đều
Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :
Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính 
Bài 2:Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Hướng Dẫn:
Do 
Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF
 (c-c-c) 
Cách 1. 
Gọi O là trung điểm của BD.
Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên (1)
Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên (2)
Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên (3)
Từ (1) (2) (3) . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.
Cách 2: 
+ Tứ giác BADE có nên tứ giác BADE là tứ giác nội tiếp.
Tâm của đường tròn này là trung điểm của BD
+Tứ giác BFDE có nên tứ giác BFDE là tứ giác nội tiếp. 
Tâm của đường tròn này là trung điểm của BD
Từ  và ‚ suy ra 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.
Bài 3:Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.
Hướng Dẫn:
Do AC và AB là các tiếp tuyến nên 
Do I là trung điểm của ED nên 
(đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây cung)
hay
Gọi P là trung điểm của OA
Xét tamgiác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên
Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên 
Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên 
Vậy nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp.
b) HA.HD = HB.HE = HC.HF.
Hướng Dẫn:
a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90o
=> các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có:
+) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn ).
+) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh).
Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g)
BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF 	(1)
Chứng minh tương tự ta có: HA.HD = HB.HE 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF.
Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
a) AM.AB = AN.AC.
b) Tứ giác BMNC nội tiếp.
Hướng Dẫn:
a) Ta có: ∠AMH = ∠ANH = 90o (gt)
=> các điểm M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
=> ∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mặt khác: ∠AHN = ∠ACH
Do đó ΔAMN ∼ ΔACB (g.g) 
=> AM/AC = AN/AB hay AM.AB = AN.AC.
b) Theo chứng minh câu a) ta có:
∠AMN = ∠ACH
Suy ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180o
Vậy tứ giác BMNC nội tiếp.
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
Hướng Dẫn:
Gọi D là giao điểm khác của A của đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp ΔABC . 
Ta có: ∠BID = ∠IAB + ∠ABI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠B
∠CID = ∠IAC + ∠ACI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠C
Do đó: ∠BIC = ∠BID + ∠CID 
 = 1/2 ∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠A =1/2∠A + 90o
Mặt khác: ∠BOC = 2∠A = 120o.
Do đó hai điểm I và O cùng nhìn đoạn BC dưới những góc bằng nhau. 
Ngoài ra hai điểm I và O cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa A, bờ BC. 
Do đó B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có ∠A > ∠B > ∠C. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác INQC nội tiếp.
b) Tứ giác BPQC nội tiếp.
Hướng Dẫn:
a) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tại M và N nên AM = AN
=> ΔAMN cân tại A.
Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh)
 = (180o - ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2
 =∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ
Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn.
b) Vì INQC là tứ giác nội tiếp nên ∠INC = ∠IQC
Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên IN ⊥ AC hay ∠INC = 90o
=> ∠IQC = ∠BQC = 90o 	(1)
Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp
=> ∠IMB = ∠IPB = 90o	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90o 
=> tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90o, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh bốn điểm M, N, P, O cùng thuộc một đường tròn.
Hướng Dẫn:
Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90o (gt) 
=> tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC.
Suy ra ∠PON = 2∠PCN
Lại có: ∠PCN + ∠NAP = 180o
=> ∠PCN = 180o - ∠NAP = ∠ABC (do AD // BC)
Do đó ∠PON = 2∠ABC 	(1)
Mặt khác ∠PMN = 180o - (∠PMB + ∠NMD)
Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD
=> ∠NMD = ∠NCD = 90o - ∠CDN = 90o - ∠ABC
Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC 
=> ∠PMB = ∠PCB = 90o - ∠ABC
=> ∠PCB = 180o - (90o - ∠ABC + 90o - ∠ABC) = 2∠ABC 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN do đó tứ giác POMN nội tiếp.
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O) và tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a. OM đi qua trung điểm của dây BC.
b. AM là tia phân giác của góc OAH.
Hướng Dẫn:
a. Chứng minh OM đi qua trung điểm của dây BC
Ta có: (AM là tia phân giác )
Þ 
Vậy OM vuông góc tại trung điểm của dây BC
b. Chứng minh AM là tia phân giác của góc OAH
Ta có : AH ^ BC (giả thiết)
 	Mà : OM ^ BC (c.m trên)
 	Þ AH // OM
 	Þ 
Ta lại có: DOAM cân tại M (OA = OM)
 	Þ 
 	Þ 
Vậy : AM là tia phân giác của góc OAH
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao AM, BN cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác HMCN nội tiếp đường tròn.
b. CD = CE
c. Tam giác BHD cân.
Hướng Dẫn: 
a. Chứng minh tứ giác HMCN nội tiếp đường tròn.
Xét tứ giác HMCN
Ta có: (BN là đường cao)
 (AM là đường cao)	
 	 Þ +
	Vậy tứ giác HMCN nội tiếp
b. Chứng minh CD = CE
	Ta có: (cùng chắn cung CD)
 	Mà: (cùng phụ với góc ACB) Xét tứ giác HMCN
Ta có: (BN là đường cao)
 (AM là đường cao)	
 	Þ +
Vậy tứ giác HMCN nội tiếp
Do đó : 
 	Þ 
Vậy : CD = CE
c. Chứng minh tam giác BHD cân.
 	Xét DBHD
Ta có: 
 	Þ BM là tia phân giác góc DBH
Mà: BM ^ DH
 	Þ BM là đường cao DDBH
Do đó: DDBH cân tại B.
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC vuông góc AB, gọi M là điểm chính giữa của cung BC, AM cắt OC tại N. Từ C hạ CK vuông góc với AM tại K. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác MNOB nội tiếp.
b. Tứ giác OACK nội tiếp
c. Tam giác OKC cân.
d. AM.AN = 2R2.
Hướng Dẫn:
a. Chứng minh tứ giác MNOB nội tiếp.
Xét tứ giác MNOB
Ta có: (giả thuyết)
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)	
 	Þ +
	Vậy tứ giác MNOB nội tiếp
b. Chứng minh tứ giác OACK nội tiếp
Xét tứ giác OACK
Ta có: (giả thuyết)
 ( giả thuyết)	
 	Þ =
Vậy tứ giác OACK nội tiếp
c. Chứng minh tam giác OKC cân.
Xét DOKC
Ta có: (cùng chắn cung OK)
 	Mà: ()
d. Chứng minh AM.AN = 2R2.
Xét hai tam giác vuông: DAMB và DAON
Ta có: là góc chung.
Nên: DAMB ∽ DAON
 	Þ 
Do đó: AM.AN = AB.AO = 2R2
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A (A < 900), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a. Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng thuộc đường tròn, Xác định tâm O và vẽ đường tròn này.
b. Gọi K là giao điểm của AO và BC, chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Hướng Dẫn:
a. Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng thuộc đường tròn.
Ta có: = 900 
Þ D thuộc đường tròn đường kính AH
 	Và: = 900
Þ E thuộc đường tròn đường kính AH
 	Vậy bốn điểm A, D, E, H cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.
 	Tâm O là trung điểm của đoạn thẳng AH
b. Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Ta có AH là đường cao cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC
Xét DBDC vuông tại D, có DK là đường trung tuyến
Nên: DBDK cân tại K
Þ 
Mặt khác: 
Mà: (đối đỉnh)
Xét DODH cân tại O (OH = OD (bán kính))
Þ 
Nên: 
Do đó: 
Vậy: KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1. Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh BAF là tam giác cân.
3. Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.
4. Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Hướng Dẫn:
1. Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
Ta có : = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 	 = 900 (hai góc kề bù). 
 = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 	 	 = 900 (vì là hai góc kề bù).
Do đó: = 1800 
 	Vậy EFMK là tứ giác nội tiếp. 
2. Chứng minh DBAF cân.
Ta có: (AE là tia phân giác góc IAM)
 	 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) 
 	 BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Ta lại có = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) suy ra BAF là tam giác cân tại B . 
3. Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.
Ta có: DBAF cân tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến 
 E là trung điểm của AF. (3)
Mà: AF ^ HK (BE ^ AF) (4)
Mặt khác: AE là tia phân giác (5) 
Từ (4) và (5) suy ra DHAK cân tại A 
Þ AE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến
 	 E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) suy ra AKFH là hình thoi 
4. Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
 	Ta có: AKFH là hình thoi 
 HA // FK hay IA // FK 
 tứ giác AKFI là hình thang. 
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn 
Û AKFI phải là hình thang cân. 
Û Hình thang AKFI có (hai góc kề đáy của hình thang)
Mà: (cùng chắn cung AM)
Nên: 
Ta lại có: DIAB vuông tại A
Do đó: DIAB vuông cân tại A
 	 = 450 
 M là điểm chính giữa của cung AB
Vậy khi M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 
1. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
2. Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.
3. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C hai đường thẳng này cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.
Hướng Dẫn:
1. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
Xét tứ giác ADHE
Ta có: (CE là đường cao) 
 	Và: (BD là đường cao) 
 	Nên: 
 	Vậy: Tứ giác ADHE nội tiếp.	
2.Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. 
Xét tứ giác BCDE
Ta có: (CE là đường cao) 
 	Và: (BD là đường cao)
 	Nên: 
 	Vậy: Tứ giác BCDE nội tiếp.	
3. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.
 	Ta có: BH // KC (cùng vuông góc AC)
 	Và: BK // HC (cùng vuông góc AB)
 	Tứ giác BHCK là hình bình hành
 	 Mà: M là trung điểm của HK
 	Nên: M là trung điểm HK
 	Vậy : Ba điểm H, M, K thẳng hàng
Bài 12: Cho đường tròn (O), đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B (B khác O và C). Gọi M là trung điểm AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB tại M. Đường tròn đường kính BC cắt DC tại I.
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp.
2. Chứng minh ba điểm I, B, M thẳng hàng.
3. Chứng minh MI là tiếp tuyến đường tròn (K)
Hướng Dẫn:
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp.
Xét tứ giác BMDI
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Þ
Mà (DE ^ AB)
Nên: +
Vậy tứ giác BMDI nội tiếp.
2. Chứng minh ba điểm I, B, M thẳng hàng.
Ta có: AB ^ DE (gt)
Þ MD = ME (đường kính vuông góc với dây)
 Mà: AM = MB (gt)
Nên tứ giác ADBE là hình thoi
Þ BE // AD (1)
Ta lại có: AD ^ DC ( nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Và: BI ^ DC ( nội tiếp chắn nửa đường tròn)
	Þ BI // AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm I, B, M thẳng hàng.
3. Chứng minh MI là tiếp tuyến đường tròn (K)
Ta có: 
	Do đó: Tứ giác MEIC nội tiếp
	Mà: (DIKC cân tại K)
	Mặt khác: (cùng chắn cung MI)
 	(ADBE là hình thoi)
 	(cùng chắn cung MO)
	Nên: 
Ta lại có: 
 Þ
 Þ
Vậy MI là tiếp tuyến của đường tròn (K)
Bài 13: Cho hình vuông ABCD điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc DE, đường thẳng nay cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
1. Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
2. Tính góc CHK
3. Chứng minh KC.KD = KH.KB
Hướng Dẫn:
1. Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
Xét tứ giác BHCD
Ta có: ( ABCD là hình vuông)
 (BH ^ DE)
Nên: 
Vậy tứ giác BHCD nội tiếp
2. Tính góc CHK
Ta có: ( cùng bù với góc BHC)
Mà: ( ABCD là hình vuông)
 	Þ 
3. Chứng minh KC.KD = KH.KB
Xét: DKHC và DKDB 
Ta có: 
 là góc chung 
 	 Þ DKHC ∽ DKDB 
 	Þ 
 ÞKC. KD = KH.KB.
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm AC, kẻ đường tròn đường kính MC cắt BC tại E và cắt BM kéo dài tại D
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Xác định tâm O.
b) Chứng minh OM là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC.
c) Chứng minh DB là tia phân giác góc ADE
Hướng Dẫn:
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
Xét tứ giác ABCD
Ta có: (DABC vuông tại A) 
 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 	 Nên: 
 	Vậy tứ giác ABCD nội tiếp
Tâm O là trung điểm BC
b) Chứng minh OM là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC.
Ta có OB = OC (c.m trên)
MA = MC (giả thuyết)
OM là đường trung bình của DABC
Þ OM // AB
Mà: AB ^ AC
Þ OM ^ AC tại M
Vậy OM là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC.
c) Chứng minh DB là tia phân giác góc ADE
Ta có: (cùng chắn cung ME)
 (cùng chắn cung AB)
Nên: 
Vậy: BD là tia phân giác góc ADE
Bài 15: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Kẻ đường kính AC của (O) cắt đường tròn (O’) tại F. Kẻ đường kính AE của (O') cắt đưòng tròn (O) tại G. Chứng minh:
a) Tứ giác GFEC nội tiếp; 	b) GC, FE và AB đồng quy.
Hướng Dẫn:
Học sinh tự chứng minh.
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn (O) tại N, AN cắt đường tròn (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E.
a) Chứng minh BANC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh CA là phân giác của .
c) Chứng minh ABED là hình thang.
d) Tìm vị trí M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất.
Hướng Dẫn:
a) Học sinh tự chứng minh.
b) Học sinh tự chứng minh.
c) Học sinh tự chứng minh.
d) Chú ý:
Þ Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) cũng là đường tròn ngoại tiếp DBIK. Trong (T), dây BC không đổi mà đường kính của (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ nhất bằng BC.
Dấu "=" xảy ra 
Bài 17: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E; BE cắt CF tại H.
a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp. Từ đó, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.
b) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh HE.HB = 2HD.HI
c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng Dẫn:
	Học sinh tự chứng minh
Bài 18: Cho đường tròn (O; R) và dây CD cố định. Điểm M thuộc tia đối của tia CD. Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD). Gọi I là trung điểm CD. Nối BI cắt đường tròn tại E (E khác B). Nối OM cắt AB tại H.
a) Chứng minh AE song song CD.
b) Tìm vị trí của M để MA ^ MB.
c) Chứng minh HB là phân giác của CHD.
Hướng Dẫn:
a) HS tự chứng minh.
b) 
c) MC. MD = MA2 = MH.MO
Þ MC. MD = MH.MO
Þ DMHC ~ DMDO (c.g.c)
 Tứ giác CHOD nội tiếp
Chứng minh được: 
 (cùng phụ hai góc bằng nhau)
Bài 19: Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm c và D thuộc đường tròn, B là điểm chính giữa của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S. Nối S với cắt (O) tại M, MD cắt AB tại K, MB cắt AC tại H. Chứng minh:
a) . Từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp;
b) HK song song CD.
Hướng Dẫn:
	Học sinh tự chứng minh
Bài 20: Cho hình vuông ABCD. E di động trên đoạn CD (E khác c, D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F, tia Ax vuông góc vói AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh:
a) 
b) Tam giác KAF vuông cân;
c) Đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF;
d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M là giao điểm của BD và AE.
Hướng Dẫn:
a) HS tự chứng minh.
b) HS tự chứng minh.
c) Tứ giác ACFK nội tiếp (I) với I là trung điểm của KF 
Þ BD là trung trực AC phải đi qua I.
d) HS tự chứng minh.
Bài 21: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc AC tại I.
a) Chứng minh 
b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh MK vuông góc vói BK.
c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng vói tam giác MAB.
d) Gọi E là trung điểm của IH và F là trung điểm AB. Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ đó suy ra ME vuông góc vói EF.
Hướng Dẫn:
a) HS tự chứng minh.
b) HS tự chứng minh.
c) HS tự chứng minh.
d) 
 (cùng bù với hai góc bằng nhau)
Þ KMEF nội tiếp Þ = 900.
Bài 22:	Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được;
Chứng minh MI2 = MH.MK;
Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp rồi suy ra 
Hướng Dẫn:
 	a)suy ra tứ giác BIMK nội tiếp.	(phương pháp 1)
	 suy ra tứ giác CIMH nội tiếp.	(phương pháp 1)
b) Tứ giác BIMK nội tiếp nên (nội tiếp cùng chắn cung MI); (nội tiếp cùng chắn cung KM)	(1)
Tứ giác CIMK nội tiếp nên (cùng chắn cung MI); (cùng chắn cung MH)	(2)
Xét đường tròn tâm (O) có : (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung(; (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)	(3)
Từ (1) (2) (3) suy ra 
Do đó 
 .
c) Ta có 
Hay 
Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp.(phương pháp 1)
Từ đó ta có 
mà nên 
Bài 23:	Cho nửa đường tròn tâm đường kính và tia tiếp tuyến cùng phía với nửa đường tròn đối với . Từ điểm trên kẻ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn ( là tiếp điểm).cắt tại ; cắt nửa đường tròn tại ( khác ).
a) Chứng minh: và là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp 
Hướng Dẫn:
Vì là tiếp tuyến nên: . Tứ giác có là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1)
Lại có: ; (tính chất tiếp tuyến). 
Suy ra là đường trung trực của 
(2). 	
Từ (1) và (2) suy ra . Tứ giáccó hai đỉnh A, E kề nhau cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi. Vậy là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
Bài 24:Cho nữa đường tròn tâm đường kính, kẻ tiếp tuyến và lấy hai điểm và thuộc nửa đường tròn. Các tia và cắt lần lượt ở , ( ở giữa và )
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
a)có ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) (vì tổng ba góc của một tam giác bằng )(1)
có ( là tiếp tuyến ).(vì tổng ba góc của một tam giác bằng ) (2)
Từ (1) và (2) 	
b) Tứ giác nội tiếp .
mà ( Vì là hai góc kề bù) 
Theo trên ,. Mà ( Vì là hai góc kề bù) nên 
, do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Bài 25:Cho nửa đường tròn đường kính . Từ điểm trên nửa đường tròn vẽ . Nửa đường tròn đường kính, lần lượt có tâm ; cắt và thứ tự tại và .
a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật, từ đó tính biết và 
b) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hướng Dẫn:
a)Ta có (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)
Tương tự có 
Xét tứ giác có hay là hình chữ nhật.
Từ đó mà (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
hay 
b) Ta có:= (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà (1)
(Vì là hình chữ nhật) => do nên tứ giác nội tiếp đường tròn.
Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh một cách sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng dạng như sau:
Tam giác AHB vuông tại H, đường cao AH. Ta có 
Tam giác AHC vuông tại H, đường cao AE. Ta có 
Ta có 
Xét tam giác ADE và tam giác ACB có , (góc chung)
mànên 
Tứ giác BDEC có nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
Bài 26: Cho nửa đường tròn tâm đường kính . Lấy điểm thuộc đoạn thẳng , điểm thuộc nửa đường tròn . Từ và vẽ các tiếp tuyến và . Đường thẳng qua N và vuông góc với cắt thứ tự tại và .
a) Chứng minh và là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh đồng dạng với từ đó suy ra là tứ giác nội tiếp.
Hướng Dẫn:
a)Ta có tứ giác có: (gt) (tínhchất tiếp tuyến).
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính. Tương tự tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính.
b) và có:
 (do tứ giác nội tiếp)
 (do tứ giác nội tiếp ) nên (g.g)
(do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Suy ra . Vậy là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
Bài 27: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
Hướng Dẫn:
Ta có : (góc có đỉnh nằm bên trong (O))
Mà (góc nội tiếp)
Hay 	
Lại có : 
Nên : 	= 
Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C. Vậy tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
Bài 28: Cho nửa đường tròn đường kính . Điểm (khác ) bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho . Điểm thuộc cung nhỏ sao cho . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh là tiếp tuyến của .
d) Hỏi khi thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, thuộc đường tròn cố định nào?
Hướng Dẫn:
a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
.
Tứ giác có là tứ giác nội tiếp.
b) Xét và có: ;
	 chung.
	 (hai cạnh tương ứng).
	.
c) Gọi là giao điểm của và . Vì là trực tâm của nên .
 cân tại nên (hai góc ở đáy).
Ta có là đường trung tuyến của tam giác vuông nên . Do đó cân tại nên (hai góc ở đáy).
 (vì vuông tại ).
. Vậy là tiếp tuyến của đường tròn.
d) Gọi là điểm chính giữa của cung không chứa điểm ( cố định).
Khi đó nên .
Chứng minh tương tự câu c, ta có được là tiếp tuyến của đường tròn.
Do đó tứ giác là hình chữ nhật. Lại có nên tứ giác này là hình vuông cạnh .
Tam giác vuông tại có là trung tuyến nên .
Ta có: và nên là hình bình hành.
Do vậy .
Vậy thuộc đường tròn tâm bán kính .
Bài 29: Cho tam giác và đường cao . Gọi lần lượt là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp và đi qua trung điểm của .
Hướng Dẫn:
Ta có: 
Suy ra hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Kẻ , giả sử cắt tại thì là cát tuyến của hai đường tròn .
Lại có (tính chất trung tuyến tam giác vuông). Suy ra tam giác cân tại .
 luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Hay là tiếp tuyến của suy ra .	(1)
Tương tự ta cũng có là tiếp tuyến của suy ra .	(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Vậy đi qua trung điểm của .
Bài 30: Cho tam giác vuông tại . Kẻ đường cao và phân giác trong của góc . Phân giác trong góc cắt lần lượt tại .
Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
Ta có mà 
và do cùng phụ với góc , từ đó suy ra hay tứ giác nội tiếp 
.
Bài 31: Cho tam giác