Lý thuyết và bài tập Hình học Lớp 9: Các góc với đường tròn

CÁC GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
A. Kiến thức cơ bản
1
. Góc ở tâm. Số đo cung
a) Định nghĩa góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm của đtròn đgl góc ở tâm
b) Số đo cung:
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn)
- Số đo của nửa đtr bằng 1800
c) Tính chất của số đo cung: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ=sđ+sđ
2. Liên hệ giữa cung và dây
a) Định lý 1: Với 2 cung nhỏ trong một đtròn hay trong 2 đtròn bằng nhau:
- 2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau
- 2 dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau
b) Định lý 2: Với 2 cung nhỏ trong 1 đtròn hay trong 2 đtròn bằng nhau:
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
3. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đtròn và 2 cạnh chứa 2 dây cung của đtròn đó. Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn
b) Định lý: Trong 1 đtròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
c) Các hệ quả: Trong một đtròn
- Các góc nt bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nt cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nt (nhr hơn hoặc bằng 900) có só đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nt chắn nửa đtròn là góc vuông
4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Định nghĩa: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tiếp tuyến và cạnh còn lại chứa dây cung
b) Định lý: Sđ của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
c) Định lý đảo: Nếu có đỉnh nằm trên đtròn, một cạnh chứa dây cung AB, có sđ bằng nửa sđ cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là 1 tia tiếp tuyến của đtròn
d) Hệ quả: Trong 1 đtròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau
5. Góc có đỉnh ở bên trong đtròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đtròn
a) Góc có đỉnh ở bên trong đtròn
- Định lý: Sđ của góc ..... bằng nửa tổng sđ của 2 cung bị chắn
b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đtròn
- Định lý: Sđ của góc ..... bằng nửa hiệu sđ của 2 cung bị chắn
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho (O) và 1 điểm M cố định không nằm trên đtròn. Qua M kẻ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đtròn (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt đtròn (O) tại C và D. CMR: MA.MB = MC.MD
LG
* TH1: điểm M nằm bên trong đtròn (O)
- Xét tam giác MAC và tam giác MDB, ta có:
 (đối đỉnh)
 (góc nt chắn cung BC)
* TH2: điểm M nằm bên ngoài đtròn (O)
- Xét tam giác MAD và tam giác MCB, ta có:
 (chung)
 (góc nt chắn cung AC)
Bài 2: Trên một đtròn lấy liên tiếp ba cung: AC, CD, DB sao cho sđ=sđ=sđ=600. hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E, hai tiếp tuyến của đtròn tại B và C cắt nhau tại T. CMR:
a) 
b) CD là tia phân giác của góc BCT?
LG
a) Ta có: 
Do đó: 
b) Ta có: 
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
 (góc nội tiếp)
. Do đó CD là phân giác của góc BCT
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtròn (O), tia phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đtròn ở M.
a) CMR: OM vuông góc với BC
b) Phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt (O) ở N. CMR ba điểm M, O, N thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của NA và BC, I là trung điểm của KD. CMR: IA là tiếp tuyến của đtròn (O)
LG
a) Ta có: 
do OM là trung trực của BC 
b) Ta có: 
mà là góc nội tiếp và MN là đường kính. Do đó M, O, N thẳng hàng
c) Do DAK vuông tại A
mà IK = ID => IK = IA = ID => tam giác IAD cân tại I
 (1)
Mặt khác: tam giác OAM cân tại O (2)
Từ (1) và (2) (3)
Do tam giác MHD vuông tại H (theo a) (4)
Từ (3) và (4) IA là tiếp tuyến của đtròn (O)
Bài 4: Cho nửa đtròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đtròn (C thuộc cung AD). AD cắt BC tại H, AC cắt BD tại E. Chứng minh rằng:
a) EH vuông góc với AB
b) Vẽ tiếp tuyến với đtròn tại D, cắt EH tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm của EH
LG
a) Ta có: (góc nt chắn nửa đtròn) 
 (góc nt chắn nửa đtròn) 
Xét tam giác EAB, ta có: H là trực tâm của tam giác EAB 
b) Ta có: (cùng phụ ); (cùng chắn cung AD) 
cân tại I => IH = ID (1)
Mặt khác: cân tại I => ID = IE (2)
Từ (1) và (2) => IH = IE => I là trung điểm của EH
Bài 5: Cho (O), từ điểm M nằm ngoài đtròn (O) vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E
a) CMR: MC = ME
b) DE là phân giác của góc ADB
c) Gọi I là trung điểm của AB. CMR 5 điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đtròn
d) CMR: M là phân giác của góc CID
LG
a) + ta có: (gt)
 (cùng chắn cung AC)
 (1)
+ mặt khác: (tính chất góc ngoài của tam giác) (2)
+ từ (1) và (2) cân tại M => MC = ME
b) + vì MC và MD là các tiếp tuyến => MC = MD, mà MC = ME => MD = ME => tam giác MDE cân tại M (1)
+ mặt khác: (tính chất góc ngoài của tam giác) (2)
+ (1); (2) (3)
+ lại có: (cùng chắn cung AD) (4)
+ (3); (4) là phân giác của góc ADB
c) + do MC, MD là các tiếp tuyến của (O) 4 điểm O, C, D, M thuộc đtròn có đường kính OM (*)
+ lại có: I là trung điểm của AB (định lý đường kính và dây) => IO vuông góc với IM => tam giác IOM vuông tại I => 3 điểm I, O, M thuộc đtròn có đường kính OM (**)
+ (*) và (**) => 5 điểm 0, I, C, M, D cùng nằm trên một đtròn
d) + Xét đtròn đi qua 5 điểm: O, I, C, M, D có đường kính OM, ta có:
IM là phân giác của góc CID
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtròn ở D. Kẻ đường kính AE. CMR:
a) BC song song với DE
b) Tứ giác BCED là hình thang cân
LG
a) Ta có: BC vuông góc với AD (gt) (1)
+ mà (góc nt chắn nửa đtròn) => DE vuông góc với AD (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra BC // DE (cùng vuông góc với AD)
b) HTC = HT + 2 góc ở 1 đáy bằng nhau (hoặc 2 đường chéo bằng nhau)
(Chú ý: Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là HTC (VD: Hình bình hành là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng không là HTC))
+ do BC // DE suy ra tứ giác BCED là hình thang (1)
+ lại có: BC // DE (2 cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)
 (liên hệ giữa cung và dây) (2)
+ từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCED là Hình thang cân.