Tài liệu bài tập ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số (có đáp án)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. ax2 1 xa2 1
b. x 1 xn3 xn .
Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
ax2 1 xa2 1 = ax2 a a2 x x
axx ax a x aax 1
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
n n
x 1 x 3 x . xnx3 1 x 1
1 1
1 1 1 1 1 1
2 1
2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x x x x x x
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x8 + 3x4 + 4.
b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4
= (x4 + 2)2 - (x2)2
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng
hằng đẳng thức
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
1 2 2
1 1 1 1 1
2 1 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 2
x x x x
Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Các ví dụ và phương pháp giải Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. 11 22 axxa b. nn xxx 31 . Giải: a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung 11 22 axxa = xxaaax 22 1 axaxaxaxax b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức nn xxx 31 . 113 xxxn 11 111111 12 22 nnn nn xxxx xxxxxxxxx Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x8 + 3x4 + 4. b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 . Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) 221 11111 1212 222 2222222 2242 xxxx xxxxxx xxxxx Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. abcbccbaccaabba 42442 222222 b. 200720062007 24 xxx Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp: abcbccbaccaabba 42442 222222 cacbba cbccbababccacabba babcbacbaacbaab abcbccbacabccaabba abcbccbaccaabba 22 222222 222222 224242 42442 2 2 222222 222222 b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức 20072062007 24 xxx 20071 1200711 200720072007 22 22 24 xxxx xxxxxx xxxx Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. abccba 3 333 b. 3333 cbacba . Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức abbababa 2233 abbaba 32 baabba 33 .Do đó: abccba 3333 abcbaabcba 3333 cabcabcbacba cbaabccbabacba 222 22 3 b. 3333333 cbacbacbacba bacacbcabcabacb cbcbcbacbaacbacb 33333 2 2222 Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc. Giải: Vì a + b + c = 0 abccbaabccba cbaabbacba 303 3 333333 33333 Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính 224 ba ab P Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab 4a2 + b2 - 5ab = 0 ( 4a - b)(a - b) = 0 a = b. Do đó 3 1 34 2 2 22 a a ba ab P Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: 1;0 c z b y a x z c y b x a thì 1; 2 2 2 2 2 2 c z b y a x Giải: 000 cxybxzayz xyz cxybxzayz z c y b x a 1 1.2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x abc cxybxzayz c z b y a x c z b y a x c z b y a x 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. 12 2 xx b. 158 2 xx c. 166 2 xx d. 3 23 xxx 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 152 222 xxxx . 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3. 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz. 4. Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14. 5. Cho a +| b + c + d = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là số chính phương. 8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: 1311 22 baababbbaa 9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời: 1 1 1 333 222 zyx zyx zyx . Hãy tính giá trị biếu thức P = 1997917 111 zyx . 10. a.Tính 2222222 10110099...4321 . b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53. Tính ab + bc + ca. 11. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007 12. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : cbacba 1111 . Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008). ==========o0o========== HƯỚNG DẪN: 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. 34122 xxxx b. 531582 xxxx c. 821662 xxxx d. 3213 223 xxxxxx 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 35152 22222 xxxxxxxx . 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 ayxayaxyx 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc accbba 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz xzzyyx 4. x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14 222 2|321 zyx 5. Từ a + b + c + d = 0 33 dcba Biến đổi tiếp ta được :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 6. Nếu x + y + z = 0 thì : 222 222555 222555 222222333 333 2 *;622 3 3 3 zyxxyzzxyzxyxyz zyxxyzzxyzxyxyzzyx zyxxyzzxyzxyxyzzyx zyxxyzzyxzyx xyzzyx Nhưng: 2222 20 zyxzxyzxyxyzzyx (**) Thay (**) vào (*) ta được: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 7. Với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) 222 55 yxyx 8. Biến đổi 11311 222 bababaababbbaa 9. Từ 1 1 333 zyx zyx xzzyyxzyxzyx 33333 0 0 0 xz zy yx 2 P 10. a. Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151 b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14 11. Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0 12. Từ: cbacba 1111 . : (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Tính được Q = 0 ==========o0o========== Chuyên đề 2: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N Tiết 10-12: Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ I.Một số dấu hiệu chia hết 1. Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125. 1 1 0 0 0... 2 2 0;2;4;6;8.n na a a a a a 1 1 0 0... 5 0;5n na a a a a 1 1 0... 4n na a a a ( hoÆc 25) 1 0 4a a ( hoÆc 25) 1 1 0... 8n na a a a ( hoÆc 125) 2 1 0 8a a a ( hoÆc 125) 2. Chia hÕt cho 3; 9. 1 1 0... 3n na a a a (hoÆc 9) 0 1 ... 3na a a ( hoÆc 9) NhËn xÐt: D- trong phÐp chia N cho 3 ( hoÆc 9) còng chÝnh lµ d- trong phÐp chia tæng c¸c ch÷ sè cña N cho 3 ( hoÆc 9). 3. DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: Cho 5 4 3 2 1 0...A a a a a a a 0 2 4 1 3 511 ... ... 11A a a a a a a 4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101 5 4 3 2 1 0...A a a a a a a 1 0 5 4 3 2 7 6101 ... ... 101A a a a a a a a a II.Ví dụ VÝ dô 1: T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó: a) 134 4 45x y b) 1234 72xy Gi¶i: a) §Ó 134 4 45x y ta ph¶i cã 134 4x y chia hÕt cho 9 vµ 5 y = 0 hoÆc y = 5 Víi y = 0 th× tõ 134 40 9x ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 9 4 9 5x x khi ®ã ta cã sè 13554 víi x = 5 th× tõ : 134 4 9x y ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +5 9 9 0; 9x x x lóc ®ãta cã 2 sè: 135045; 135945. b) Ta cã 1234 123400 72.1713 64 72 64 72xy xy xy xy V× 64 64 163xy nªn 64 xy b»ng 72 hoÆc 144. + Víi 64 xy =72 th× xy =08, ta cã sè: 123408. + Víi 64 xy =14 th× xy =80, ta cã sè 123480 VÝ dô 2 T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó 7 36 5 1375N x y Gi¶i: Ta cã: 1375 = 11.125. 125 6 5 125 2 7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1 N y y N x x x x VËy sè cÇn t×m lµ 713625 VÝ dô 3 a) Hái sè 1991 1991 1991 1991...1991 so A cã chia hÕt cho 101 kh«ng? b) T×m n ®Ó 101nA Gi¶i: a) GhÐp 2 ch÷ sè liªn tiÕp nhau th× A1991 cã 2 cÆp sè lµ 91;19 Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991. 72 101 nªn 1991 101A b) 101 .91 .19 72 101 101nA n n n n II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT A.Tãm t¾t lý thuyÕt 1. §Þnh lý vÒ phÐp chia hÕt: a) §Þnh lý Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn tuú ý, 0b , khi ®ã cã 2 sè nguyªn q, r duy nhÊt sao cho : a bq r víi 0 r b , a lµ sã bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th-¬ng sè vµ r lµ sè d-. §Æc biÖt víi r = 0 th× a = b.q Khi ®ã ta nãi a chia hÕt cho b hay b lµ -íc cña a, ký hiÖu a b . VËy b) TÝnh chÊt a) NÕu a b vµ b c th× a c b) NÕu a b vµ b a th× a = b c) NÕu a b , a c vµ (b,c) = 1 th× a bc d) NÕu ab c vµ (c,b) = 1 th× a c 2. TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu, mét tÝch. - NÕu mb ma mba - NÕu mb ma mba - NÕu mb ma a .b m - NÕu ma a n m (n lµ sè tù nhiªn) 3.Một số tính chất khác: Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! A a A b và (a;b) = 1 a.bA B.Ví dụ: 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2411 22 nn Giải: 2 2 1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n Bài tập tự luyện: 2. Chứng minh rằng a. 4886 23 nnn với n chẳn b. 384910 24 nn với n lẻ 3. Chứng minh rằng : 722 246 nnn với n nguyên 4. CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau: a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6. b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7. a b cã sè nguyªn q sao cho a = b.q c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia hết cho 24 d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn) 5. CMR với mọi số tự nhiên n thì biểu thức: a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6 b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho 8. 3. §ång d- thøc I.Lí thuyết đồng dư: a) §Þnh nghÜa : Cho sè nguyªn m > 0. NÕu 2 sè nguyªn a, b cho cïng sè d- khi chia cho m th× ta nãi a ®ång d- víi b theo m«®un m . KÝ hiÖu : (mod )a b m b) TÝnh chÊt a) (mod ) (mod )a b m a c b c m b) (mod ) (mod )a b m na nb m c) (mod ) (mod )n na b m a b m d) (mod ) (mod )a b m ac bc m c) Một số hằng đẳng thức: m ma b a b n na b a b (n lẻ) ( ) n a b B a b II.Ví dụ: 1. Chứng minh: 9 992 2 200 Giải: 29 + 299 = 29 = 512 112(mod 200) (1) 299 = 29 11 112 11 (mod 200) . 1122 = 12544 122 (mod 200) 11210 1210 (mod 200) 1210 = 61917364224 24(mod 200) . 11211 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200) 299 88(mod 200) (2) Từ (1) và (2) 29 + 299 = 200(mod 200) hay 9 992 2 200 III,Bài tập tự luyện: Sử dụng hằng đẳng thức và đồng dư 1. 72196519631961 196619641962 2. 191424 19171917 3. 20022 999 4. 183113123456789 5. 1980198219811979 19811979 6. 1203...333 10032 7. 755552222 22225555 -------------------------------- QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1? B2: Giả sử Mệnh đề đúng với n = k 1. Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 II.VÍ DỤ: 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 2 2 17 8 57n n Giải: -Với n = 1:A1 = 73 + 83 = 855 57 - Giả sử Ak 57 nghĩa là 2 2 17 8 57n n Ak+1 = 7k+3 + 82k+3 =7. 7k+2 + 64.82k+1 = 7(7k+2 + 82k+1 ) + 57.82k+1 . Vì 7k+2 + 82k+1 ( giả thiết qui nạp) và 57.82k+1 57 Ak+1 57 Vậy theo nguyên lí qui nạp A = 7n+2 + 82n+1 57. *Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n n0. Thì ta kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n0? III.BÀI TẬP: Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì: 1. 23225 1412 nnn 2. 11n+2 + 122n+1 133 3. 5985.265 122 nnn 4. 532 1312 nn 5. 1814242 22 nn LUYỆN TẬP 1. 102521 cabA 2. 215 cabcaB 3. abE sao cho 3 2 baab 4. A = 2baab HD: 2baab 2991 ababa (a + b) 9 và (a + b) = 9k k = 1 a + b = 9 9a = 9.8 = 72 a = 8 và b = 1 5. B = 2cdababcd HD: Đặt abx ; cdy 99x = (x + y)(x + y - 1) 992 Xét 2 khả năng : )2(99 )1(99 x x (1) B = 9801 (2) lyx kyx lyx kyx 91 11 111 9 3025 2025 B B ĐS: B = 9801;2025;3025 6. abcdefC = 2defabc 7. abcdH sao cho 3 1...1......... nnnn dddcccbbbaaa 8. Tìm 241 zzxyy 9. Tính giá trị của biểu thức: 1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3. 2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy 3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy. 4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n. a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 5/ Cho x + y = m và x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m và n. 6/ a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4. b) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4. I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ 1. Chứnh minh : a2 + b2 2ab (Với a , b 0) (BĐT Cô-si) Giải: ( a – b )2 = a2 - 2ab + b2 0 a2 + b2 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b 2. Chứng minh: ( a + b )2 4ab . (Với a , b 0) Giải: ( a+b )2 = (a2 - 2ab + b2 )+ 4ab = (a-b)2 + 4ab 0 + 4ab ( a + b )2 4ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b. 3. Chứng minh: 2(a2 + b2 ) ( a+b )2 (Với a , b 0) Giải: 2(a2 + b2 ) – ( a+b )2 = a2 -2ab+b2 = (a-b)2 0 2(a2 + b2 ) ( a+b )2 . Đẳng thức xảy ra khi a = b. 4. Chứng minh: a b + b a 2 .(Với a.b > 0) Giải: a b + b a = (a2 +b2 ) ab .Do ab a2 +b2 2 (a2 +b2 ) ab 2 .Hay a b + b a 2 . Đẳng thức xảy ra khi a = b 5. Chứng minh: a b + b a - 2 .(Với a.b < 0) Giải: a b + b a = - a2 +b2 | |a.b .Do a2 +b2 | |a.b 2 - a2 +b2 | |a.b -2. Hay a b + b a - 2. Đẳng thức xảy ra khi a = -b. 6. Chứng minh: 1 a + 1 b 4 a+b . (Với a , b > 0) Giải: 1 a + 1 b - 4 a+b = (a+b).a+(a+b).b-4ab (a+b).ab = (a-b)2 (a+b).ab 0 1 a + 1 b 4 a+b . Đẳng thức xảy ra khi a = b. 7. Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 ab+bc+ca . Giải: 2(a2 +b2 +c2 ) – 2(ab+bc+ca) =(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 0 2(a2 +b2 +c2 ) 2(ab+bc+ca) .Hay a2 +b2 +c2 ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a = b;b = c;c = a a = b= c. 0A B A B Cần lưu ý tính chất: 0 2 A Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0 Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp B.Bài tập vận dụng: Chứng minh các bất đẳng thức sau 1. a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc 2. edcbaedcba 22222 3. 1106431 xxxx 4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 0 6. a2 + 9b2 + c2 + 2 19 > 2a + 12b + 4c 7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 4 8. x2 – xy + y2 0 9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0 10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 0 11. x4 + x3y + xy3 +y4 0 12. x5 + x4y + xy4 +y5 0 với x + y 0 13. a4 + b4 +c4 a2b2 + b2c2 + c2a2 14. (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b 15. ac +bd bc + ad với ( a b ; c d ) 16. 222 22 baba 17. 2222 33 cbacba 18. b c c a a b a c c b b a (với a b c > 0) 19. ab ab ba 9 12 ( Với a,b > 0) 20. cbaab c ca b bc a 111 (Với a,b,c > 0) HƯỚNG DẪN: Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu ; thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra. A – B = 222 bca Bài 2: 4A – 4B = 2222 2222 eadacaba Bài 3: A – 1 = 96431 xxxx = 23 Y Bài 4: A – B = 113321 222 cba Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2 Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 + 2 1 Bài 7: A – B = 22 12 bba Bài 8: x2 – xy + y2 = 4 3 2 22 yy x Bài 9: .x2 – xy + y2 -3x – 3y + 3 = 22 1111 yyxx . Biến đổi tiếp như bài 8 Bài 10: Tương tự bài 9 Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = 222 yxyxyx Bài 12: Tương tự bài 11 Bài 13: Xem ví dụ 7 Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d ) = badc Bài 16: A - B = 4 2 222 baba . Bài 17: Xem bài tập 16 Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)( a-b). 1 abc (Với a b c 0) Bài 19: A - B = ab baab 9 33 22 ( Với a,b > 0) Bài 20: A - B = abc abacacbcbcab 222 (Với a,b,c > 0) TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG P = ax2 + bx + c ----------------------------------------------------------------------------------------------- Nếu a > 0 : 22 2 4ac-bax + bx +c = 4a 2 b P a x a Suy ra 24ac-b = 4a MinP Khi b x=- 2a Nếu a < 0 : 2 2 2 4 a c+b ax + bx +c = 4 a 2 b P a x a Suy ra 24 a c+b ax 4 a M P Khi bx= 2 a Một số ví dụ: 1. Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7 Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = 2 5 25 252( 2. ) 7 4 16 16 x x = 2 2 25 25 56 25 5 31 52( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x . Suy ra 31 5 8 4 MinA Khi x . 2. Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7 Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = - 2 5 25 252( 2. ) 7 4 16 16 x x = 2 2 2 5 25 56 25 5 81 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x 81 8 . Suy ra 81 5 8 4 MinA Khi x . 3. Tìm GTNN của B = 3x2 + y2 - 8x + 2xy + 16. Giải: B = 3x2 + y2 - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2)2 + (x + y)2 + 8 8. MinB = 8 khi : x-2=0 x+y=0 x=2 y=-2 . 4. Tìm GTLN của C = -3x2 - y2 + 8x - 2xy + 2. Giải: C = -3x2 - y2 + 8x - 2xy + 2 = 10 -[ ]2(x-2) 2 +(x+y) 2 10. GTLNC = 10 khi: x-2=0 x+y=0 x=2 y=-2 . BÀI TẬP: 5. Tìm GTNN 2 5 2008A x x 6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2 7. Tìm GTLN D = 22007 5x x 8. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1. 9. Tìm GTNN của G = 4 3 210 25 12x x x 10. Tìm GTNN của M = x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 10y. 11. Tìm GTNN C = 513413 2 xx 12. Tìm GTNN của N = (x +1)2 + ( x - 3)2 13. Tìm GTNN của K = x2 + y2 - xy +x + y HƯỚNG DẪN 5. A = x2 - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 MinA = 2001,75 khi x = 2,5 6. B = 1 + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 7. D = 2007 - x2 - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x2 +x+1)2 = (x+ 1 2 )2 + 3 4 2 . 9. G = x4 - 10x3 +25x2 + 12 = x2 (x - 5)2 + 12 10. M = x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1)2 + (y - 4)2 -16. 11. C = 513413 2 xx * Nếu x 1 3 . C = (3x - 3)2 + 1 * Nếu x < 1 3 .C = (3x + 1)2 + 6 12. N = (x +1)2 + ( x - 3)2 = 2(x- 1)2 + 8 13. K = x2 + y2 - xy +x + y = 1 2 ( x - y)2 + 1 2 (x + 1)2 + 1 2 (y + 1)2 - 1. Tiết 31-36 * Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski . Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây. 1. abba 2 22 (a,b>0). (BĐT Cô-si) 2. abba 42 3. 2222 baba 4. 0,;2 ba a b b a 5. 0,; 411 ba baba 6. cabcabcba 222 7. 22222 yxbabyax ( Bu nhi a cop xki) 8. yx ba y b x a 222 9. zyx cba z c y b x a 2222 Ví dụ 9:Chứng minh cba b ca a bc c ab (Với a,b,c > 0) Giải:2A - 2B = cba b ca a bc c ab 222222 = 222 b a a b c a c c a b b c c b a Áp dụng bất đẳng thức 0,;2 ba a b b a .Ta có:2A - 2B 0222222 cba .Vậy A B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 8 21 22 yxxy . Giải: 22222222 2 4 2 1 2 1 2 2 2 221 yxyxyxxyyxxyyxxy 8 8 2 yx .Đẳng thức xảy ra khi 2 1 yx Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a b b c c a a c c b b a 2 2 2 2 2 2 Giải: c a c b b a c b b a .2.2 2 2 2 2 ; a b a c c b a c c b .2..2 2 2 2 2 ; b c b a a c b a a c .2..2 2 2 2 2 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: ab b c c a a c c b b a a b b c c a a c c b b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.. Bài tập: 1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng 9 111 cba cba 2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng a) a2 + b2 1 2 b) a4 + b4 1 8 4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: 1 a + 1 b + 1 c 9 5. Cho x , y , z 0và x + y + z 3 . Chứng minh rằng: x 1+x2 + y 1+y2 + z 1+z2 3 2 1 1+x + 1 1+y + 1 1+z 6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng a. 1 ab + 1 a2 +b2 6 b. 2 ab + 3 a2 +b2 14 7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng (a + 1 b )2 + (b + 1 a )2 25 2 8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0 , 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 bacacbcbaaccbba 9. Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh : cbaab c ac b bc a 111 . 10. Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh rằng : 2 222 cba ab c ca b cb a . 11. Chứng minh: a4 + b4 1 8 với a + b 1 12. Chứng minh: 2 3 ba c ac b cb a Với a,b,c > 0 13. Chứng minh: cbaabccba 444 14. Bài 28: Cho ;0;0;0 zyx Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz 15. Cho A = 13 1 ... 22 1 12 1 ... 2 1 1 1 nnnnn Chứng minh rằng 1 A HƯỚNG DẪN: 1. A = 922233 a c c b a c c a a b b a 2. Áp dụng (a + 1)2 2a 3. a) A - B = a2 + b2 - 1 2 =2( a2 + b2 ) - (a + b)2 0. b) Áp dụng câu a. 4. Xem bài 1 5. x 1+x2 + y 1+y2 + z 1+z2 x 2x + y 2y + z 2z = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 2 . 1 1+x + 1 1+y + 1 1+z (1+1+1)2 (3+x+y+z) 9 6 = 3 2 6. A = 1 ab + 1 a2 +b2 = ( 1 2ab + 1 a2 +b2 ) + 1 2ab 4 (a+b)2 + 2 (a+b)2 = 6 ( vì 2ab 1 2 (a+b)2 ) B = 2 ab + 3 a2 +b2 = 3( 1 2ab + 1 a2 +b2 ) + 1 2ab 7. (a + 1 b )2 + 25 4 + (b + 1 a )2 + 25 4 = (a+ 1 b )2 +( 5 2 )2 + (b+ 1 a )2 +( 5 2 )2 5(a + 1 b ) + 5(b + 1 a ) = 5( a + b) + 5( 1 a + 1 b ) 5( a + b) + 5. 4 (a+b) = 25 Suy ra: (a + 1 b )2 + (b + 1 a )2 25 2 8. 1 a+3b + 1 b+2c+a 2 a+2b+c ; 1 b+3c + 1 c+2a+b 2 b+2c+a ; 1 c+3a + 1 a+2b+c 2 c+2a+b Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm 9. Ta có: a bc + b ac = 1 c ( a b + b a ) 2. 1 c ab c c b aab c ac b 1 .2 1 bc a a c bbc a ab c 1 .2 1 Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hãy kiểm tra lại) 10. Áp dụng BĐT zyx cba z c y b x a 2222 11. a4 + b4 1 2 ( a2 + b2 )2 1 2 1 2 (a+b)2 2 1 8 12. ( a b+c + 1) + ( b c+a + 1) + ( c a+b + 1) = a+b+c b+c + a+b+c c+a + a+b+c b+a = (a+b+c) ( 1 b+c + 1 c+a + 1 a+b ) (a+b+c) . 9 2(a+b+c) = 9 2 Suy ra: 2 3 ba c ac b cb a 13. Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số 444 cba rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm. 14. Áp dụng BĐT xyyx 42 .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM 15. A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 0,; 411 ba baba Với từng cặp số hạng thích hợp sẽ có đpcm BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC Ví dụ 8: a. Rút gọn Biếu thức 62 9124 2 2 aa aa B Với a 2 3 b. Thực hiện phép tính: aaa a a aa 2 2 2 8 : 5,01 25,0 32 (a 2.) Giải: a. 62 9124 2 2 aa aa B 2 32 232 32 2 a a aa a b. aaa a a aa aaa a a aa 2 2 8 2 2 42 2 2 2 8 : 5,01 25,0 3 232 aaa a aaaaa aa 1 2 2 2 2 422 42 2 2 Ví dụ 9: Thực hiện phép tính: xyyx yx yx xyyx A 2 : 22 33 22 22 .( Với x y) Giải: 2 22 222 22 33 22 22 2 : yx yx xyyxyx yx yxyx xyyx xyyx yx yx xyyx A Ví dụ 10: Cho biểu thức : 12 1 234 34 xxxx xxx A . a. Rút gọn biểu thức A. b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x . Giải: 1 1 12 1 2234 34 234 34 xxxxx xxx xxxx xxx A 1 1 11 11 11 11 11 11 2 2 22 22 22 3 222 3 x x xxx xxx xxx xx xxxxx xxx b. 001;01; 1 1 22 2 2 Axx x x A Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : 8765 8765 aaaa aaaa với a = 2007. Giải: 1313 23 3213 23 87658 8 123 8765 8765 8765 8765 8765 2007 1 1 11 1111 Ba aaa aaaa aaa aaaaa a aaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa B Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : 2 2 : 2510 25 223 2 yy y xxx x . Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - 3 x . Giải: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - 3 x 033 2 xyx 1 3 3 3 y x x yx 2 12 5 55 2 2 : 2510 25 2223 2 y yy xx xx yy y xxx x C 3 8 2.3 2.8 5 15 xx yx Bài tập: 13. Chứng minh rằng Biếu thức P = 11 11 222 222 xaaax xaaax không phụ thuộc vào x. 14. Cho biểu thức M = 82 63422 2 2345 xx xxxxx . a. Tìm tập xác định của M. b. Tính giá trị của x để M = 0. c. Rút gọn M. 15. Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : accbbabcac ba cbab ac caba cb 222 16. Cho biểu thức : B = 10999 10 234 xxxx x a. Rút gọn B b. Chứng minh rằng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 16 với n Z a. Rút gọn biểu thức : 9 9 632 6 632 32 2 2 x x yxxy xy yxxy yx A với x -3; x 3; y -2. b. Cho Biếu thức : A = 32 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x . a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A > 0. c. Tìm giá trị của A trong trường hợp 47 x . 19. a.Thực hiện phép tính: a.A = 16842 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxxxx . b. Rút gọn C = 2 2 22 22 9 9 1 9 1 9 1 9 1 a a aa aa . 20. Cho a,b,c là 3 số nhau đôi một. Tính S = bacb ac acba bc accb ab . 21. Tính giá trị của biểu thức : 3 3 5 3 2 ba ab ba ba biết: 09&05310 2222 baabba 22. Cho a + b + c = 1 và 1222 cba . a. Nếu c z b y a x . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0. b.Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của a,b,c 23. Bài 11: Cho Biếu thức : 13 5 13 12 a a a a A . a. Tính giá trị của A khi a = -0,5. b. Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3. 24. Chứng minh nếu xyz = 1 thì: 1 1 1 1 1 1 1 zxzyzyxyx . 25. Chứng minh đẳng thức sau: abanabn abbnana baab baba ba aba 3396 352 9 3 2 2 22 22 22 2 26. Thực hiện phép tính: 2222 2008 1 1... 4 1 1 3 1 1 2 1 1 . 27. Tính tổng : S(n) = 2313 1 ... 8.5 1 5.2 1 nn . 28. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : A = 2 217122 23 a aaa . Biết a là nghiệm của Phương trình : 113 2 aa . 29. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: 8111 c a b c a b Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. 30. Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì : 3 2 11 2233 ba ab a b b a 31. Thực hiện phép tính: A = zxzy xyz zyyx xzy zxyx yzx 222 32. Rút gọn biểu thức : A = cba abccb 3a 333 . 33. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ: B = x x x x x x x x 1 1 1 1 : 1 1 33 2 22 34. Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007. A = xyyyxx xyyyxx 2)6()6( )3(2)5()5( . 35. Cho 3 số a,b,c 0 thỏa mãn đẳng thức: a acb b bca c cba . Tính giá trị biểu thức P = abc accbba . 36. Cho biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 4 . 2 4 . 2 4 yxz yzx xyz xyz zxy zxy A . Chứng minh rằng nếu : x + y + z = 0 thì A = 1. HƯỚNG DẪN: 13. P = 2 2 222 222 1 1 11 11 aa aa xaaax xaaax 14. M = 82 63422 2 2345 xx xxxxx . 4 13 2 23 x xx 15. acbacaba cb 11 = bacbcbab ac 11 = accbbcac ba 11 16. a.Rút gọn B = 1101 10 10999 10 2234 xxx x xxxx x 10; 1101 10 110; 11 1 2 2 x xxx x lxx xx b. n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 41 nn 17. 9 9 632 6 632 32 2 2 x x yxxy xy yxxy yx A 233 0 9 9 632 6 632 32 2 2 yxxx x yxxy xy yxxy yx 18. a.A = 3 4 2 3 : 2 2 4 4 2 2 2 32 2 2 2 x x xx xx x x x x x x . b.A > 0 30 3 4 2 x x x c. 3 11 47 x x x x = 11 2 121 A x = 3 A không xác định 19. a.A = 3216842 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxxxxx . b. Rút gọn C = 1 9 9 1 9 1 9 1 9 1 2 2 22 22 a a aa aa . 20. S = bacb ac acba bc accb ab 1 accbba accbba accbba acaccbbcbaab 21. Từ: 222222 103509&05310 ababbaabba (1) Biến đổi A = 22 22 9 6153 3 3 5 3 2 ba baba ba ab ba ba (2) Thế (1) vào (2) ; A = - 3 22. Từ a + b + c = 1 và 1 222 cba suy ra: ab + bc + ca = 0 (1) a. Nếu c z b y a x suy ra : zyx cba zyx c z b y a x 2222 zyxzyx Suy ra xy + yz + zx = 0. b. Áp dụng accbbacbacba 33333 Từ a3 + b3 + c3 = 1. Suy ra: 03 accbba Từ đó tính được a , b , c. 23. Xem bài 21 24. Từ xyz = 1 Biến đổi yzy yz yzy y yzy zxzyzyxyx 111 1 1 1 1 1 1 1 . 25. Chứng minh : ab ba abanabn abbnana baab baba ba aba 33396 352 9 3 2 2 22 22 22 2 26. 2222 2008 1 1... 4 1 1 3 1 1 2 1 1 . 3996 1999 2 1999 . 1998 1 1998...4.3.2 1999..5.4.3 . 1998...4.3.2 1997...3.2.1 27. 23223 1 13 1 ... 8 1 5 1 5 1 2 1 3 1 2313 1 ... 8.5 1 5.2 1 n n nn nn . 28. 182 2 217122 2 23 aa a aaa A . 52;1 5;13;0 1132 Aaa AAaa aa . 29. 08111 222 ca ac bc cb ab ba c a b c a b 30. Rút gọn 11 1 3 2 11 22 22 2233 aabbab baba ba ab a b b a 31. yx y zx x zxyx yzx 2 = zy z yx y zyyx xzy 2 zx x zy z zyzx xyz 2 . Cộng từng vế được A = 0. 32. A = cba abccb 3a 333 . cabcabcbacbaabccb 222333 3a 33. TXĐ: 1 x ;B = 21 1 x 34. A = yxyx yxyx xyyyxx xyyyxx 6 16 2)6()6( )3(2)5()5( . 35. Từ: a acb b bca c cba . Suy ra: 222 a acb b bca c cba Suy ra: a acb b bca c cba Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c. P = -1 hoặc P = 8 36. Từ: x + y + z = 0 suy ra: xyzzyx 3 333 N M A . 333333333222 41663 xzzyyxzyxxyzzyxM 333333333222 429 xzzyyxzyxxyzzyxN =========o0o=========
Tài liệu đính kèm:
- tai_lieu_bai_tap_on_tap_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_pha.pdf