Tài liệu bài tập ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số (có đáp án)

Tài liệu bài tập ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số (có đáp án)

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. ax2 1 xa2 1

b. x 1 xn3  xn .

Giải:

a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung

ax2 1 xa2 1 = ax2  a  a2 x  x

 axx  ax  a x  aax 1

b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức

n n

x 1 x 3  x .  xnx3 1 x 1

         

 1 1

1 1 1 1 1 1

2 1

2 2

    

          

n n n

n n

x x x x

x x x x x x x x x

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :

a. x8 + 3x4 + 4.

b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .

Giải:

a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức

x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4

= (x4 + 2)2 - (x2)2

= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)

b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng

hằng đẳng thức

x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)

   

         

 1  2 2

1 1 1 1 1

2 1 2 1

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 4 2 2

   

       

     

x x x x

pdf 26 trang hapham91 6120
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu bài tập ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số (có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
Các ví dụ và phương pháp giải 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
 a. 11 22 axxa 
 b. 
nn xxx 31 . 
Giải: 
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung 
 11 22 axxa = xxaaax 22 
 1 axaxaxaxax 
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức 
nn xxx 31 . 113 xxxn 
  
 11
111111
12
22
 nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : 
a. x8 + 3x4 + 4. 
b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 . 
Giải: 
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức 
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4 
 = (x4 + 2)2 - (x2)2 
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) 
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng 
hằng đẳng thức 
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) 
  
    
  221
11111
1212
222
2222222
2242
xxxx
xxxxxx
xxxxx
Ví dụ 3: 
Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 a. abcbccbaccaabba 42442
222222 
b. 200720062007
24 xxx 
Giải: 
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp: 
abcbccbaccaabba 42442 222222 
  
 cacbba
cbccbababccacabba
babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba
abcbccbaccaabba
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức 
20072062007 24 xxx
 20071
1200711
200720072007
22
22
24
xxxx
xxxxxx
xxxx
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. abccba 3
333 
b. 3333 cbacba . 
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức 
 abbababa 2233 
  abbaba 32 
 baabba 33 .Do đó: 
 abccba 3333   abcbaabcba 3333 
   
 cabcabcbacba
cbaabccbabacba
222
22 3
b.   3333333 cbacbacbacba 
   
 bacacbcabcabacb
cbcbcbacbaacbacb
33333 2
2222
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0. 
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc. 
Giải: Vì a + b + c = 0 
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
33333
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính 224 ba
ab
P
Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab 4a2 + b2 - 5ab = 0 
 ( 4a - b)(a - b) = 0 a = b. 
Do đó 
3
1
34 2
2
22
a
a
ba
ab
P 
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: 
1;0 
c
z
b
y
a
x
z
c
y
b
x
a
 thì 1; 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Giải: 000 
 cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c
y
b
x
a
1
1.2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
1. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 a. 12
2 xx 
 b. 158
2 xx 
 c. 166
2 xx 
 d. 3
23 xxx 
2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 152 222 xxxx . 
3. Phân tích đa thức thành nhân tử 
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3. 
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz. 
4. Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14. 
5. Cho a +| b + c + d = 0. 
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 
6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì : 
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) 
 là số chính phương. 
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: 
 1311 22 baababbbaa 
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá trị 
biếu thức 
P = 1997917 111 zyx . 
10. 
a.Tính 
2222222 10110099...4321 . 
b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53. 
 Tính ab + bc + ca. 
11. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện 
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. 
 Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007 
12. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : 
cbacba 
1111
. 
 Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008). 
==========o0o========== 
HƯỚNG DẪN: 
1. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 a. 34122 xxxx 
 b. 531582 xxxx 
 c. 821662 xxxx 
 d. 3213 223 xxxxxx 
2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 35152 22222 xxxxxxxx . 
3. Phân tích đa thức thành nhân tử 
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 
 ayxayaxyx 
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 
 accbba 
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz 
 xzzyyx 
4. x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14 
 222 2|321 zyx 
5. Từ a + b + c + d = 0 33 dcba Biến đổi tiếp ta được :a3 + 
b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 
6. Nếu x + y + z = 0 thì : 
 222
222555
222555
222222333
333
2
*;622
3
3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
Nhưng: 2222 20 zyxzxyzxyxyzzyx (**) 
Thay (**) vào (*) ta được: 
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 
7. Với x,y nguyên thì : 
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) 
 222 55 yxyx 
8. Biến đổi 
 11311 222 bababaababbbaa 
9. Từ 
1
1
333 zyx
zyx
 xzzyyxzyxzyx 33333 
0
0
0
xz
zy
yx
 2 P 
10. 
a. Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151 
b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14 
11. Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0 
12. Từ: 
cbacba 
1111
. : (a + b)(b + c)(c + a) = 0 
 Tính được Q = 0 
==========o0o========== 
 Chuyên đề 2: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N 
Tiết 10-12: 
Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ 
I.Một số dấu hiệu chia hết 
1. Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125. 
1 1 0 0 0... 2 2 0;2;4;6;8.n na a a a a a 
1 1 0 0... 5 0;5n na a a a a 
1 1 0... 4n na a a a ( hoÆc 25) 1 0 4a a ( hoÆc 25) 
1 1 0... 8n na a a a ( hoÆc 125) 2 1 0 8a a a ( hoÆc 125) 
2. Chia hÕt cho 3; 9. 
1 1 0... 3n na a a a (hoÆc 9) 0 1 ... 3na a a ( hoÆc 9) 
NhËn xÐt: D- trong phÐp chia N cho 3 ( hoÆc 9) còng chÝnh lµ d- trong phÐp chia tæng c¸c 
ch÷ sè cña N cho 3 ( hoÆc 9). 
 3. DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: 
 Cho 
5 4 3 2 1 0...A a a a a a a 0 2 4 1 3 511 ... ... 11A a a a a a a 
 4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101 
5 4 3 2 1 0...A a a a a a a 1 0 5 4 3 2 7 6101 ... ... 101A a a a a a a a a 
II.Ví dụ 
VÝ dô 1: T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó: 
 a) 134 4 45x y 
 b) 1234 72xy 
 Gi¶i: 
a) §Ó 134 4 45x y ta ph¶i cã 134 4x y chia hÕt cho 9 vµ 5 y = 0 hoÆc y = 5 
Víi y = 0 th× tõ 134 40 9x ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 9 4 9 5x x 
 khi ®ã ta cã sè 13554 
 víi x = 5 th× tõ : 134 4 9x y ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +5 9 
9 0; 9x x x lóc ®ãta cã 2 sè: 135045; 135945. 
b) Ta cã 1234 123400 72.1713 64 72 64 72xy xy xy xy 
V× 64 64 163xy nªn 64 xy b»ng 72 hoÆc 144. 
+ Víi 64 xy =72 th× xy =08, ta cã sè: 123408. 
+ Víi 64 xy =14 th× xy =80, ta cã sè 123480 
VÝ dô 2 T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó 7 36 5 1375N x y 
 Gi¶i: 
Ta cã: 1375 = 11.125. 
125 6 5 125 2
7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1
N y y
N x x x x
VËy sè cÇn t×m lµ 713625 
VÝ dô 3 a) Hái sè 1991
1991 1991
1991...1991
so
A cã chia hÕt cho 101 kh«ng? 
 b) T×m n ®Ó 101nA 
 Gi¶i: 
 a) GhÐp 2 ch÷ sè liªn tiÕp nhau th× A1991 cã 2 cÆp sè lµ 91;19 
 Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991. 72 101 nªn 1991 101A 
b) 101 .91 .19 72 101 101nA n n n n 
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT 
A.Tãm t¾t lý thuyÕt 
 1. §Þnh lý vÒ phÐp chia hÕt: 
a) §Þnh lý 
 Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn tuú ý, 0b , khi ®ã cã 2 sè nguyªn q, r duy nhÊt sao cho : 
a bq r víi 0 r b , a lµ sã bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th-¬ng sè vµ r lµ sè d-. 
 §Æc biÖt víi r = 0 th× a = b.q Khi ®ã ta nãi a chia hÕt cho b hay b lµ -íc cña a, ký 
hiÖu a b . 
 VËy 
b) TÝnh chÊt 
 a) NÕu a b vµ b c th× a c 
 b) NÕu a b vµ b a th× a = b 
 c) NÕu a b , a c vµ (b,c) = 1 th× a bc 
 d) NÕu ab c vµ (c,b) = 1 th× a c 
2. TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu, mét tÝch. 
- NÕu 



mb
ma


mba  
- NÕu 



mb
ma


mba  
- NÕu 



mb
ma


a .b m 
 - NÕu ma a n m (n lµ sè tù nhiªn) 
3.Một số tính chất khác: 
 Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n 
 Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! 
 A a A b và (a;b) = 1 a.bA 
B.Ví dụ: 
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2411 22  nn 
Giải: 
2
2 1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n 
Bài tập tự luyện: 
2. Chứng minh rằng 
a. 4886
23 nnn với n chẳn 
b. 384910
24  nn với n lẻ 
3. Chứng minh rằng : 722
246 nnn với n nguyên 
4. CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau: 
a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6. 
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7. 
a b cã sè nguyªn q sao cho a = b.q 
c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia hết cho 24 
d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn) 
5. CMR với mọi số tự nhiên n thì biểu thức: 
a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6 
b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho 8. 
3. §ång d- thøc 
I.Lí thuyết đồng dư: 
 a) §Þnh nghÜa : Cho sè nguyªn m > 0. NÕu 2 sè nguyªn a, b cho cïng sè d- khi chia 
cho m th× ta nãi a ®ång d- víi b theo m«®un m . 
KÝ hiÖu : (mod )a b m 
 b) TÝnh chÊt 
 a) (mod ) (mod )a b m a c b c m  
 b) (mod ) (mod )a b m na nb m 
 c) (mod ) (mod )n na b m a b m  
 d) (mod ) (mod )a b m ac bc m  
 c) Một số hằng đẳng thức: 
 m ma b a b 
 n na b a b (n lẻ) 
 ( )
n
a b B a b 
II.Ví dụ: 
1. Chứng minh: 9 992 2 200 
Giải: 
29 + 299 = 29 = 512  112(mod 200) (1) 
 299 = 29 
11
  112
11
 (mod 200) . 
 1122 = 12544  122 (mod 200) 11210  1210 (mod 200) 
 1210 = 61917364224  24(mod 200) . 
11211  24.112(mod 200)  2688(mod 200)  88(mod 200) 
 299  88(mod 200) (2) 
 Từ (1) và (2) 29 + 299 = 200(mod 200) hay 
9 992 2 200 
III,Bài tập tự luyện: 
Sử dụng hằng đẳng thức và đồng dư 
1. 72196519631961 196619641962  
2. 191424 19171917  
3. 20022 999  
4. 183113123456789  
5. 1980198219811979 19811979  
6. 1203...333 10032  
7. 755552222 22225555  
-------------------------------- 
QUY NẠP TOÁN HỌC 
I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 
 B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1? 
 B2: Giả sử Mệnh đề đúng với n = k 1. Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 
II.VÍ DỤ: 
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 2 2 17 8 57n n 
Giải: 
-Với n = 1:A1 = 73 + 83 = 855 57 
- Giả sử Ak 57 nghĩa là 
2 2 17 8 57n n 
 Ak+1 = 7k+3 + 82k+3 =7. 7k+2 + 64.82k+1 = 7(7k+2 + 82k+1 ) + 57.82k+1 . 
Vì 7k+2 + 82k+1 ( giả thiết qui nạp) và 57.82k+1 57 
 Ak+1 57 
Vậy theo nguyên lí qui nạp A = 7n+2 + 82n+1 57. 
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n n0. Thì ta 
kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n0? 
III.BÀI TẬP: 
Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì: 
1. 23225 1412  nnn 
2. 11n+2 + 122n+1 133 
3. 5985.265 122  nnn 
4. 532 1312  nn 
5. 1814242 22  nn 
LUYỆN TẬP 
1. 102521 cabA 
2. 215 cabcaB 
3. abE sao cho 3
2
baab 
4. A = 2baab 
HD: 2baab 2991 ababa (a + b) 9 và (a + b) = 9k k = 1 a 
+ b = 9 9a = 9.8 = 72 a = 8 và b = 1 
5. B = 2cdababcd 
HD: Đặt abx ; cdy 99x = (x + y)(x + y - 1) 992 
Xét 2 khả năng : 
)2(99
)1(99
x
x
 (1) B = 9801 
 (2) 
lyx
kyx
lyx
kyx
91
11
111
9
3025
2025
B
B 
ĐS: B = 9801;2025;3025 
6. abcdefC = 2defabc 
7. abcdH sao cho 
3
1...1......... 
 
nnnn
dddcccbbbaaa 
8. Tìm 241 zzxyy 
9. Tính giá trị của biểu thức: 
1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3. 
2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy 
3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy. 
4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n. 
a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 
5/ Cho x + y = m và x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m và n. 
6/ a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4. 
 b) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4. 
I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ 
1. Chứnh minh : a2 + b2 2ab (Với a , b 0) (BĐT Cô-si) 
Giải: 
 ( a – b )2 = a2 - 2ab + b2 0 a2 + b2 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b 
2. Chứng minh: ( a + b )2 4ab . (Với a , b 0) 
Giải: 
( a+b )2 = (a2 - 2ab + b2 )+ 4ab = (a-b)2 + 4ab 0 + 4ab ( a + b )2 4ab 
.Đẳng thức xảy ra khi a = b. 
3. Chứng minh: 2(a2 + b2 ) ( a+b )2 (Với a , b 0) 
Giải: 
2(a2 + b2 ) – ( a+b )2 = a2 -2ab+b2 = (a-b)2 0 2(a2 + b2 ) ( a+b )2 . Đẳng thức 
xảy ra khi a = b. 
4. Chứng minh: 
a
b
 + 
b
a
 2 .(Với a.b > 0) 
Giải: 
a
b
 + 
b
a
 = 
(a2 +b2 )
ab
 .Do ab 
a2 +b2 
2
(a2 +b2 )
ab
 2 .Hay 
a
b
 + 
b
a
 2 . Đẳng thức 
xảy ra khi a = b 
5. Chứng minh: 
a
b
 + 
b
a
 - 2 .(Với a.b < 0) 
Giải: 
a
b
 + 
b
a
 = - 
a2 +b2 
| |a.b
 .Do 
a2 +b2 
| |a.b
 2 - 
a2 +b2 
| |a.b
 -2. Hay 
a
b
 + 
b
a
 - 2. Đẳng thức xảy 
ra khi a = -b. 
6. Chứng minh: 
1
a
 + 
1
b
4
a+b
 . (Với a , b > 0) 
Giải: 
1
a
 + 
1
b
 - 
4
a+b
 = 
(a+b).a+(a+b).b-4ab
(a+b).ab
 = 
(a-b)2 
(a+b).ab
 0 
1
a
 + 
1
b
4
a+b
. Đẳng thức 
xảy ra khi a = b. 
7. Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 ab+bc+ca . 
Giải: 
 2(a2 +b2 +c2 ) – 2(ab+bc+ca) =(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 0 
 2(a2 +b2 +c2 ) 2(ab+bc+ca) .Hay a2 +b2 +c2 ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra 
khi a = b;b = c;c = a a = b= c. 
 0A B A B 
 Cần lưu ý tính chất: 0
2 A 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0 
 Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp 
B.Bài tập vận dụng: 
Chứng minh các bất đẳng thức sau 
1. a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc 
2. edcbaedcba 22222 
3. 1106431 xxxx 
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 0 
6. a2 + 9b2 + c2 + 
2
19
 > 2a + 12b + 4c 
7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 4 
8. x2 – xy + y2 0 
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0 
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 0 
11. x4 + x3y + xy3 +y4 0 
12. x5 + x4y + xy4 +y5 0 với x + y 0 
13. a4 + b4 +c4 a2b2 + b2c2 + c2a2 
14. (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b 
15. ac +bd bc + ad với ( a b ; c d ) 
16. 
222
22
 baba
17. 
2222
33
 cbacba
18. 
b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
 (với a b c > 0) 
19. 
ab
ab
ba
9
12
 ( Với a,b > 0) 
20. 
cbaab
c
ca
b
bc
a 111
 (Với a,b,c > 0) 
HƯỚNG DẪN: 
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không 
nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT 
có dấu ; thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra. 
A – B = 222 bca 
Bài 2: 4A – 4B = 2222 2222 eadacaba 
Bài 3: A – 1 = 96431 xxxx = 23 Y 
Bài 4: A – B = 113321 222 cba 
Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2 
Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
2
1
Bài 7: A – B = 22 12 bba 
Bài 8: 
x2 – xy + y2 = 
4
3
2
22 yy
x 
Bài 9: .x2 – xy + y2 -3x – 3y + 3 = 22 1111 yyxx . 
Biến đổi tiếp như bài 8 
Bài 10: Tương tự bài 9 
Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = 222 yxyxyx 
Bài 12: Tương tự bài 11 
Bài 13: Xem ví dụ 7 
Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b 
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d ) 
 = badc 
Bài 16: 
A - B = 
4
2
222 baba 
. 
Bài 17: Xem bài tập 16 
Bài 18: 
 A - B = (a-c)(b-a)( a-b). 
1
abc
(Với a b c 0) 
Bài 19: 
A - B = 
ab
baab
9
33
22
 ( Với a,b > 0) 
Bài 20: 
A - B = 
abc
abacacbcbcab
222
(Với a,b,c > 0) 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 I: DẠNG P = ax2 + bx + c 
----------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Nếu a > 0 : 
22
2 4ac-bax + bx +c = 
4a 2
b
P a x
a
 Suy ra 
24ac-b
 = 
4a
MinP Khi 
b
x=-
2a
 Nếu a < 0 : 
2
2
2
4 a c+b
ax + bx +c = 
4 a 2
b
P a x
a
Suy ra 
24 a c+b
ax
4 a
M P Khi bx=
2 a
Một số ví dụ: 
1. Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7 
Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = 
2 5 25 252( 2. ) 7
4 16 16
x x = 
 2 2 25 25 56 25 5 31 52( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
 . 
 Suy ra 
31 5
8 4
MinA Khi x . 
2. Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7 
Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = -
2 5 25 252( 2. ) 7
4 16 16
x x = 
 2 2 2
5 25 56 25 5 81 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
81
8
 . 
Suy ra 
81 5
8 4
MinA Khi x . 
3. Tìm GTNN của B = 3x2 + y2 - 8x + 2xy + 16. 
Giải: B = 3x2 + y2 - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2)2 + (x + y)2 + 8 8. 
 MinB = 8 khi : 
 x-2=0 
x+y=0
 x=2 
y=-2
 . 
4. Tìm GTLN của C = -3x2 - y2 + 8x - 2xy + 2. 
Giải: C = -3x2 - y2 + 8x - 2xy + 2 = 10 -[ ]2(x-2)
2
 +(x+y)
2
 10. 
 GTLNC = 10 khi: 
 x-2=0 
x+y=0
 x=2 
y=-2
. 
BÀI TẬP: 
5. Tìm GTNN 2 5 2008A x x 
6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2 
7. Tìm GTLN D = 22007 5x x 
8. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1. 
9. Tìm GTNN của G = 4 3 210 25 12x x x 
10. Tìm GTNN của M = x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 10y. 
11. Tìm GTNN C = 513413 2 xx 
12. Tìm GTNN của N = (x +1)2 + ( x - 3)2 
13. Tìm GTNN của K = x2 + y2 - xy +x + y 
HƯỚNG DẪN 
5. A = x2 - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 
 MinA = 2001,75 khi x = 2,5 
6. B = 1 + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 
7. D = 2007 - x2 - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 
8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x2 +x+1)2 = 
(x+
1
2
)2 +
3
4
2
 . 
9. G = x4 - 10x3 +25x2 + 12 = x2 (x - 5)2 + 12 
10. M = x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1)2 + (y - 4)2 -16. 
11. C = 513413 2 xx 
 * Nếu x 
1
3
 . C = (3x - 3)2 + 1 
 * Nếu x < 
1
3
 .C = (3x + 1)2 + 6 
12. N = (x +1)2 + ( x - 3)2 = 2(x- 1)2 + 8 
13. K = x2 + y2 - xy +x + y = 
1
2
 ( x - y)2 + 
1
2
(x + 1)2 + 
1
2
(y + 1)2 - 1. 
Tiết 31-36 
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng 
minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng 
thức Bu-nhi-a-cốp-ski 
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện 
theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây. 
1. abba 2
22 (a,b>0). (BĐT Cô-si) 
2. abba 42 
3. 2222 baba 
4. 0,;2 ba
a
b
b
a
5. 0,;
411
 ba
baba
6. cabcabcba 
222
7. 22222 yxbabyax ( Bu nhi a cop xki) 
8. 
yx
ba
y
b
x
a
222
9. 
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
2222
Ví dụ 9:Chứng minh cba
b
ca
a
bc
c
ab
 (Với a,b,c > 0) 
Giải:2A - 2B = cba
b
ca
a
bc
c
ab
222222 
= 
 222
b
a
a
b
c
a
c
c
a
b
b
c
c
b
a 
Áp dụng bất đẳng thức 0,;2 ba
a
b
b
a
.Ta có:2A - 2B 
 0222222 cba .Vậy A B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 8
21
22
yxxy
. 
Giải:
22222222 2
4
2
1
2
1
2
2
2
221
yxyxyxxyyxxyyxxy 
8
8
2
yx
.Đẳng thức xảy ra khi 
2
1
 yx 
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : 
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
Giải: 
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
.2.2
2
2
2
2
 ; 
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
.2..2
2
2
2
2
 ; 
b
c
b
a
a
c
b
a
a
c
.2..2
2
2
2
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: 
ab
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.. 
Bài tập: 
1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng 9
111
cba
cba 
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 
3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng 
a) a2 + b2 
1
2
 b) a4 + b4 
1
8
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
 9 
5. Cho x , y , z 0và x + y + z 3 . Chứng minh rằng: 
x
1+x2 
 + 
y
1+y2 
 + 
z
1+z2 
3
2
1
1+x
 + 
1
1+y
 + 
1
1+z
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 a. 
1
ab
 + 
1
a2 +b2 
 6 
 b. 
2
ab
 + 
3
a2 +b2 
 14 
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 (a + 
1
b
 )2 + (b + 
1
a
 )2 
25
2
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0 
,
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
bacacbcbaaccbba 
9. Cho a,b,c là 3 số dương. 
Chứng minh : 
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
 . 
10. Cho a,b,c là 3 số dương. 
Chứng minh rằng :
2
222 cba
ab
c
ca
b
cb
a 
. 
11. Chứng minh: a4 + b4 
1
8
 với a + b 1 
12. Chứng minh:
2
3
 ba
c
ac
b
cb
a
 Với a,b,c > 0 
13. Chứng minh: cbaabccba 444 
14. Bài 28: Cho ;0;0;0 zyx 
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz 
15. Cho A = 
13
1
...
22
1
12
1
...
2
1
1
1
 nnnnn
 Chứng minh rằng 1 A 
HƯỚNG DẪN: 
1. A = 922233 
a
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
2. Áp dụng (a + 1)2 2a 
3. a) A - B = a2 + b2 - 
1
2
 =2( a2 + b2 ) - (a + b)2 0. 
b) Áp dụng câu a. 
4. Xem bài 1 
5. 
x
1+x2 
 + 
y
1+y2 
 + 
z
1+z2 
x
2x
 + 
y
2y
 + 
z
2z
 = 
1
2
 +
1
2
 +
1
2
 = 
3
2
 . 
1
1+x
 + 
1
1+y
 + 
1
1+z
(1+1+1)2 
(3+x+y+z)
9
6
 = 
3
2
6. A = 
1
ab
 + 
1
a2 +b2 
 = (
1
2ab
 + 
1
a2 +b2 
) + 
1
2ab
4
(a+b)2 
 + 
2
(a+b)2 
 = 6 ( vì 2ab 
1
2
 (a+b)2 ) 
 B = 
2
ab
 + 
3
a2 +b2 
 = 3( 
1
2ab
 +
1
a2 +b2 
) + 
1
2ab
7. (a + 
1
b
 )2 + 
25
4
 + (b + 
1
a
 )2 + 
25
4
 = 
(a+
1
b
)2 +(
5
2
)2 + 
(b+
1
a
)2 +(
5
2
)2 5(a + 
1
b
 ) + 5(b + 
1
a
 ) 
 = 5( a + b) + 5(
1
a
 + 
1
b
 ) 5( a + b) + 5. 
4
(a+b)
 = 25 
 Suy ra: (a + 
1
b
 )2 + (b + 
1
a
 )2 
25
2
8. 
1
a+3b
 + 
1
b+2c+a
2
a+2b+c
 ; 
1
b+3c
 + 
1
c+2a+b
2
b+2c+a
 ; 
1
c+3a
 + 
1
a+2b+c
2
c+2a+b
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm 
9. Ta có: 
a
bc
 + 
b
ac
 = 
1
c
 ( 
a
b
 + 
b
a
 ) 2. 
1
c
ab
c
c
b
aab
c
ac
b 1
.2
1
bc
a
a
c
bbc
a
ab
c 1
.2
1
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hãy 
kiểm tra lại) 
10. Áp dụng BĐT 
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
2222
11. a4 + b4 
1
2
 ( a2 + b2 )2 
1
2
 1
2
(a+b)2 2 
1
8
12. ( 
a
b+c
 + 1) + ( 
b
c+a
 + 1) + ( 
c
a+b
 + 1) = 
a+b+c
b+c
 + 
a+b+c
c+a
 + 
a+b+c
b+a
= (a+b+c) ( 
1
b+c
 + 
1
c+a
 + 
1
a+b
 ) (a+b+c) . 
9
2(a+b+c)
 = 
9
2
 Suy 
ra: 
2
3
 ba
c
ac
b
cb
a
13. Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số 
444 cba rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số 
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm. 
14. Áp dụng BĐT xyyx 42 .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM 
15. A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 0,;
411
 ba
baba
Với từng cặp số 
hạng thích hợp sẽ có đpcm 
 BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC 
 Ví dụ 8: 
a. Rút gọn Biếu thức 
62
9124
2
2
aa
aa
B Với a 
2
3
b. Thực hiện phép tính: 
 aaa
a
a
aa
2
2
2
8
:
5,01
25,0 32 (a 2.) 
Giải: 
a.
62
9124
2
2
aa
aa
B
 2
32
232
32
2
a
a
aa
a
b.
 aaa
a
a
aa
aaa
a
a
aa

2
2
8
2
2
42
2
2
2
8
:
5,01
25,0
3
232
 aaa
a
aaaaa
aa 1
2
2
2
2
422
42
2
2
 Ví dụ 9: Thực hiện phép tính: 
xyyx
yx
yx
xyyx
A
2
:
22
33
22
22
 .( Với x y) 
Giải: 
 2
22
222
22
33
22
22
2
:
yx
yx
xyyxyx
yx
yxyx
xyyx
xyyx
yx
yx
xyyx
A

 Ví dụ 10: Cho biểu thức : 
12
1
234
34
xxxx
xxx
A . 
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x . 
Giải: 
1
1
12
1
2234
34
234
34
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
A 
 1
1
11
11
11
11
11
11
2
2
22
22
22
3
222
3
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxx
xxx
b.
 001;01;
1
1 22
2
2
 Axx
x
x
A 
 Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : 
8765
8765
aaaa
aaaa
với a = 2007. 
Giải: 
 1313
23
3213
23
87658
8
123
8765
8765
8765
8765
8765
2007
1
1
11
1111
Ba
aaa
aaaa
aaa
aaaaa
a
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
 Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : 
2
2
:
2510
25
223
2
yy
y
xxx
x
. 
Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - 3 x . 
Giải: 
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - 3 x 033 2 xyx 
1
3
3
3
y
x
x
yx
2
12
5
55
2
2
:
2510
25
2223
2

y
yy
xx
xx
yy
y
xxx
x
C 
 3
8
2.3
2.8
5
15
xx
yx 
Bài tập: 
13. Chứng minh rằng Biếu thức 
P =
 11
11
222
222
xaaax
xaaax
không phụ thuộc vào x. 
14. Cho biểu thức M = 
82
63422
2
2345
xx
xxxxx
. 
a. Tìm tập xác định của M. 
b. Tính giá trị của x để M = 0. 
c. Rút gọn M. 
15. Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : 
 accbbabcac
ba
cbab
ac
caba
cb
 222
16. Cho biểu thức : B = 
10999
10
234 
xxxx
x
a. Rút gọn B 
b. Chứng minh rằng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4  16 với n Z 
a. Rút gọn biểu thức : 
9
9
632
6
632
32
2
2
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A với x -3; x 3; y 
 -2. 
b. Cho Biếu thức : A = 
32
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
. 
a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A. 
b. Tìm giá trị của x để A > 0. 
c. Tìm giá trị của A trong trường hợp 47 x . 
19. a.Thực hiện phép tính: 
a.A = 
16842 1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
1
xxxxxx 
. 
b. Rút gọn C = 
2
2
22
22 9
9
1
9
1
9
1
9
1
a
a
aa
aa 
 . 
20. Cho a,b,c là 3 số nhau đôi một. 
Tính S = 
 bacb
ac
acba
bc
accb
ab
. 
21. Tính giá trị của biểu thức : 3
3
5
3
2
ba
ab
ba
ba
biết: 09&05310 2222 baabba 
22. Cho a + b + c = 1 và 1222 cba . 
a. Nếu 
c
z
b
y
a
x
 . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0. 
b.Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của a,b,c 
23. Bài 11: Cho Biếu thức : 
13
5
13
12
a
a
a
a
A . 
a. Tính giá trị của A khi a = -0,5. 
b. Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3. 
24. Chứng minh nếu xyz = 1 thì: 1
1
1
1
1
1
1
 zxzyzyxyx
. 
25. Chứng minh đẳng thức sau: 
abanabn
abbnana
baab
baba
ba
aba
3396
352
9
3
2
2
22
22
22
2
26. Thực hiện phép tính: 
2222 2008
1
1...
4
1
1
3
1
1
2
1
1 . 
27. Tính tổng : S(n) = 2313
1
...
8.5
1
5.2
1
nn
. 
28. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : 
A = 
2
217122 23
a
aaa
 . 
Biết a là nghiệm của Phương trình : 113
2 aa . 
29. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: 8111 
c
a
b
c
a
b
 Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. 
30. Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì : 
3
2
11 2233 
 ba
ab
a
b
b
a
31. Thực hiện phép tính: 
A = 
 zxzy
xyz
zyyx
xzy
zxyx
yzx
 222
32. Rút gọn biểu thức : A = 
cba
abccb
 3a 333
. 
33. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ: 
B = 
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
:
1
1 33
2
22
34. Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007. 
 A = 
xyyyxx
xyyyxx
2)6()6(
)3(2)5()5(
. 
35. Cho 3 số a,b,c 0 thỏa mãn đẳng thức: 
a
acb
b
bca
c
cba 
. 
Tính giá trị biểu thức P = 
abc
accbba 
. 
36. Cho biểu thức : 
2
2
2
2
2
2
2
4
.
2
4
.
2
4
yxz
yzx
xyz
xyz
zxy
zxy
A
 . Chứng minh rằng nếu : 
 x + y + z = 0 thì A = 1. 
HƯỚNG DẪN: 
13. P =
 2
2
222
222
1
1
11
11
aa
aa
xaaax
xaaax
14. M = 
82
63422
2
2345
xx
xxxxx
. 
4
13 2
23
x
xx
15. 
 acbacaba
cb
 11
=
 bacbcbab
ac
 11
= 
 accbbcac
ba
 11 
16. 
a.Rút gọn B = 
 1101
10
10999
10
2234 
xxx
x
xxxx
x
10;
1101
10
110;
11
1
2
2
x
xxx
x
lxx
xx
b. n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4  41 nn 
17. 
9
9
632
6
632
32
2
2
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A 
 233
0
9
9
632
6
632
32
2
2
yxxx
x
yxxy
xy
yxxy
yx
18. 
a.A = 
3
4
2
3
:
2
2
4
4
2
2 2
32
2
2
2
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
. 
b.A > 0 30
3
4 2
 x
x
x
c. 
3
11
47
x
x
x 
 x = 11 
2
121
 A 
 x = 3 A không xác định 
19. 
a.A = 
3216842 1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
1
xxxxxxx 
. 
b. Rút gọn C = 1
9
9
1
9
1
9
1
9
1
2
2
22
22
a
a
aa
aa . 
20. S = 
 bacb
ac
acba
bc
accb
ab
1 
accbba
accbba
accbba
acaccbbcbaab
21. Từ:
222222 103509&05310 ababbaabba (1) 
Biến đổi A = 22
22
9
6153
3
3
5
3
2
ba
baba
ba
ab
ba
ba
(2) 
Thế (1) vào (2) ; A = - 3 
22. Từ a + b + c = 1 và 1
222 cba suy ra: 
ab + bc + ca = 0 (1) 
a. Nếu 
c
z
b
y
a
x
suy ra : zyx
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
 2222 zyxzyx Suy ra xy + yz + zx = 0. 
b. Áp dụng accbbacbacba 33333 
Từ a3 + b3 + c3 = 1. Suy ra: 03 accbba Từ đó tính được a , b , c. 
23. Xem bài 21 
24. Từ xyz = 1 Biến đổi 
yzy
yz
yzy
y
yzy
zxzyzyxyx
111
1
1
1
1
1
1
1
. 
25. Chứng minh : 
ab
ba
abanabn
abbnana
baab
baba
ba
aba
33396
352
9
3
2
2
22
22
22
2
26. 
2222 2008
1
1...
4
1
1
3
1
1
2
1
1 . 
3996
1999
2
1999
.
1998
1
1998...4.3.2
1999..5.4.3
.
1998...4.3.2
1997...3.2.1
27. 
 23223
1
13
1
...
8
1
5
1
5
1
2
1
3
1
2313
1
...
8.5
1
5.2
1
n
n
nn
nn
. 
28. 182
2
217122 2
23
 aa
a
aaa
A . 
52;1
5;13;0
1132
Aaa
AAaa
aa . 
29. 
08111
222
ca
ac
bc
cb
ab
ba
c
a
b
c
a
b
30. Rút gọn 
 11
1
3
2
11 22
22
2233 
 aabbab
baba
ba
ab
a
b
b
a
31. 
 yx
y
zx
x
zxyx
yzx
 2
=
 zy
z
yx
y
zyyx
xzy
 2
 zx
x
zy
z
zyzx
xyz
 2
. Cộng từng vế được A = 0. 
32. A = 
cba
abccb
 3a 333
. 
 cabcabcbacbaabccb 222333 3a 
33. TXĐ: 1 x ;B = 21
1
x 
34. A = 
 yxyx
yxyx
xyyyxx
xyyyxx
6
16
2)6()6(
)3(2)5()5(
. 
35. Từ: 
a
acb
b
bca
c
cba 
. 
Suy ra: 222 
a
acb
b
bca
c
cba
Suy ra: 
a
acb
b
bca
c
cba 
Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c. 
P = -1 hoặc P = 8 
36. Từ: x + y + z = 0 suy ra: xyzzyx 3
333 
N
M
A . 333333333222 41663 xzzyyxzyxxyzzyxM 
 333333333222 429 xzzyyxzyxxyzzyxN 
=========o0o========= 

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_bai_tap_on_tap_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_pha.pdf