Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong. Bên ngoài đường tròn

Bài 5. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG.
BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
Là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, mỗi góc có đỉnh bên trong đường tròn, một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của nó. Góc là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung và .
ĐỊNH LÍ. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
2. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
Là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, các cạnh đều có điểm chung với đường tròn. Các góc có đỉnh trong hình vẽ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
ĐỊNH LÍ. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau
Sử dụng định lý về số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Ví dụ 1. Cho đường tròn hai dây , . Gọi , lần lượt là điểm chính giữa của cung , . Đường thẳng cắt dây tại và cắt dây tại . Chứng minh là tam giác cân.
Lời giải
Ta có 
.
 cân tại .
Ví dụ 2. Qua điểm nằm bên ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn. Tia phân giác góc cắt dây tại . Chứng minh .
Lời giải
Ta có (góc ngoài của tam giác)	(1)
	(2)
 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến)	(3)
 ( là phân giác)	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có .
Suy ra cân tại .
Vậy .
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc hoặc các đẳng thức cho trước
Sử dụng định lý về số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
 Ví dụ 3. Cho nội tiếp đường tròn. Gọi , , theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn , , bởi các góc , , .
a) Chứng minh .
b) Gọi là giao điểm của , . Chứng minh cân.
Lời giải
a) Chứng minh .
Gọi là giao điểm của và .
Ta có là góc có đỉnh bên trong .
Suy ra .
Vậy tại .
b) Chứng minh cân.
Ta có 
.
 cân tại .
Ví dụ 4. Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Các tia phân giác của góc và góc cắt nhau ở và cắt đường tròn theo thứ tự ở và .
a) Chứng minh cân.
b) Chứng minh là đường trung trực của .
c) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh .
Lời giải
a) Chứng minh cân.
Ta có 
.
 cân tại .
b) Chứng minh là đường trung trực của .
Ta có và .
Suy ra và cân tại .
Mặt khác là phân giác (vì ) nên là đường trung trực của .
c) Chứng minh .
 có và là phân giác.
 là phân giác.
Suy ra .
Mặt khác ( thuộc trung trực của ) nên .
Suy ra .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên một đường tròn lấy ba cung liên tiếp , , sao cho số đo các cung , , bằng . Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Hai tiếp tuyến của đường tròn tại và cắt nhau tại . Chứng minh
a) ;	b) là tia phân giác của .
Lời giải
a) .
Ta có 
.
 là tia phân giác của .
Ta có 
.
 là tia phân giác của .
Bài 2. Cho vuông ở . Đường tròn đường kính cắt tại . Tiếp tuyến ở cắt ở . Chứng minh .
Lời giải
 nội tiếp đường tròn đường kính .
Suy ra vuông tại D.
Ta có (hai tiếp tuyến cắt nhau)
 cân tại .
	(1)
Ta có .	(2)
Ta có 	(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có .
Suy ra cân tại . Vậy .
Bài 3. Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ tiếp tuyến , và cát tuyến tới đường tròn ().
a) Phân giác cắt dây cung ở . Chứng minh .
b) cắt tại , cắt tại , cắt tại . Chứng minh .
Lời giải
a) Chứng minh .
Ta có (góc ngoài của tam giác);	(1)
Ta có ;	(2)
Ta có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến);	(3)
Ta có ( là phân giác);	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có .
Suy ra cân tại .
Vậy .
b) Chứng minh .
Gọi là giao điểm của và .
Suy ra tại .
Ta có là trung trực của .
Ta có 
.
Bài 4. Từ điểm nằm bên ngoài đường tròn , vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Qua trung điểm của đoạn vẽ cát tuyến với đường tròn (). Các đường thẳng và lần lượt cắt đường tròn tại và . Chứng minh
a) ;	b) .
Lời giải
a) .
Ta có (góc ngoài của tam giác).
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) nên .
.
 (g-g).
.
 (c-g-c).
.
.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho đường tròn hai dây và bằng nhau. Trên cung nhỏ lấy một điểm . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh .
Lời giải
Ta có 
.
Mặt khác nên .
Bài 6. Cho và là hai đường kính vuông góc của . Trên cung nhỏ lấy điểm . Tiếp tuyến tại cắt ở , đoạn thẳng cắt ở . Chứng minh .
Lời giải
Ta có 
.
 cân tại .
.
Bài 7. Cho , , là ba điểm thuộc đường tròn sao cho tiếp tuyến tại cắt tia tại . Tia phân giác của góc cắt đường tròn ở , tia phân giác của góc cắt ở . Chứng minh vuông góc .
Lời giải
Ta có (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung)	(1)
Ta có 	(2)
Ta có ( là phân giác)	(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có .
Suy ra cân tại .
Mà là phân giác nên là đường cao.
Vậy tại .
Bài 8. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn đó. Từ kẻ tiếp tuyến và cát tuyến với đường tròn (). Phân giác góc cắt tại , cắt đường tròn ở . Chứng minh
a) ;	b) .
Lời giải
a) .
Ta có (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung)	(1)
Ta có 	(2)
Ta có ( là phân giác)	(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có .
Suy ra cân tại .
Vậy .
.
 và có
 (g-g).
.
--- HẾT ---