Tài liệu đề cương ôn tập chương III Đại số Lớp 9 - Khúc Quế Thanh

GV: Khúc Quế Thanh 
Các em chú ý các dạng bài tập sau: 
Dạng 1: Nhận dạng pt bậc nhất 2 ẩn, xác định hệ số a,b,c. tìm nghiệm tổng quát. 
Ví dụ: Bài 1:Cho phương trình sau 2 1x y− = 
Tìm các hệ số a,b,c 
Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trên và biểu diễn tập nghiệm của phương trình 
Bài 2:Cho phương trình sau3 2x y− = 
Tìm các hệ số a,b,c 
Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trên và biểu diễn tập nghiệm của phương trình 
Dạng 2:Kiểm tra được một cặp số là nghiệm của hệ PT 
Ví dụ:Bài 1: Kiểm tra các cặp số (2;3) và (3;2) có là nghiệm của hệ phương trình sau 
3 2 13
3 2 5
x y
x y
+ = 
− = 
Dạng 3: tìm được tham số của hệ PT khi biết nghiệm của hệ ( trong đề cương) 
Dạng 4: Giải hệ PT bằng PP cộng đại số, PP thế 
Ví dụ:Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 
2 3
3 7
x y
x y
+ = 
− = 
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 
2 1
2 2 5
x y
x y
− = 
+ = 
Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng: 
2 3 5
4 2
x y
x y
+ = 
− + = 
Bài 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng: 
2 3 1 0
3 4 0
x y
x y
− − = 
− + = 
Dạng 5:Tìm được tham số m để hệ PT bậc nhất hai ẩn có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm; 
Ví dụ: Bài 1: Cho hệ phương trình sau 
GV: Khúc Quế Thanh 
4
1
nx y
x y
− = 
+ = 
Tìm n để hệ có nghiệm duy nhất, hệ phương trình vô nghiệm 
Bài 2: Cho hệ phương trình sau 
5
1
x my
x y
+ = 
+ = 
Tìm n để hệ có nghiệm duy nhất, hệ phương trình vô nghiệm 
Dạng 6:giải HPT pp đặt ẩn phụ 
Bài 1:Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ 
1 1 5
8
1 1 3
8
x y
x y
+ = 
 − =
Dạng 7: Toán đố: Giải bài toán bằng cách lập hệ pt ( dạng tìm số, dạng toán nâng xuất) Biết đặt ẩn và 
điều kiện của ẩn 
(trong đề cương ) 
Chú ý giải lại các bài tập đề cương ôn tập chương 3 PGD ( rồi tham khảo lại bài giải của cô đã giải nhé) 
Phòng GD và ĐT Thị xã Tân Uyên 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 9 
 Năm học: 2019-2020 
Phần 1: Các bài toán liên quan đến hệ phương trình. 
Bài 1: Tìm hệ số a,b,c. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình 
sau: 
a) 2x–y = 3 (1) 
Các hệ số: a=2; b=-1; c= 3 
2x-y=3  y=2x-3 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là ( R; 2x-3) 
Bảng giá trị 
x 0 3
2
y=2x-3 -3 0 
Ta có (0;-3); (
3
2
; 0) 
Tự vẽ đồ thị hàm số 
GV: Khúc Quế Thanh 
b) 2x+3y = 5 
Các hệ số: a=2; b=3; c= 5 
2x+3y = 5  y=
5 2
3 3
x− 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là ( R; 
5 2
3 3
x− ) 
Bảng giá trị 
x 0 5
2
y=
5 2
3 3
x− 
5
3
0 
Ta có (0;
5
3
); (
5
2
; 0) 
Tự vẽ đồ thị hàm số 
c) –4x+0y = –12 
Các hệ số: a=-4; b=0; c= -12 
–4x+0y = –12  x=3 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là ( 3; R) 
Bảng giá trị 
Tự vẽ đồ thị hàm số 
Bài 2: Không giải hệ phương trình, hãy đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau: 
a. 
(I)
3x y 3
2x y 7
+ = 
− = 
' '
a b
Tacó
a b
 hay 
3 1
2 1
−
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất 
 b. (II)
6x 2y 4
3x y 2
− = 
− + = − 
' ' '
a b c
Tacó
a b c
= = hay 
6 2 4
3 1 2
−
= =
− −
Vậy hệ (II) vô số nghiệm 
Bài 3: Xét cặp số (1; 1) 
Thay x=1 ; y =1 vào phương trình 5x-3y =2 ta được : 
5.1-3.1=2 hay 2=2 ( đúng) 
Vậy cặp số (1;1) là nghiệm của phương trình 5x-3y =2 
 Xét cặp số (2; 3) 
Thay x=2 ; y =3 vào phương trình 5x-3y =2 ta được : 
5.2-3.3=2 hay1=2 ( sai) 
Vậy cặp số (2;3) là nghiệm của phương trình 5x-3y =2 
 Xét cặp số (4; 6) 
Thay x=4 ; y =6 vào phương trình 5x-3y =2 ta được : 
5.4-3.6=2 hay 2=2 ( đúng) 
GV: Khúc Quế Thanh 
Vậy cặp số (4;6) là nghiệm của phương trình 5x-3y =2 
Bài 4: Giải các hệ phương trình 
 a)
=−
=+
243
1847
yx
yx
 
10 20
3 4 2
x
x y
= 
− = 
2 2
3.2 4 2 1
x x
y y
= = 
 = = 
− = = 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;1)
 b) 
=+
=−
2
32
537
yx
yx
7 3 5 14 6 10
3 2 12 9 6 36
23 46 2 2
9 6 36 9.2 6 36 3
x y x y
x y x y
x x x
x y y y
− = − = 
 = = 
+ = + = 
= = = 
 = = = 
+ = + = = 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;3)
 c) 
3x y 3
2x y 7
+ = 
− = 
5x 10 x 2 x 2
2x y 7 2.2 y 7 y 3
= = = 
 = = = 
− = − = = − 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;-3)
 d)
x 5y 5
3x y 3
 + = 
− = 
 + = 
 = 
− = 
x 5y 5
15x 5y 15
 + = + 
 = 
+ = 
(1 15)x 5 15
x 5y 5
 +
= 
 +
 = 
+ 
+ = + 
5 15
x
1 15
5 15
5y 5
1 15
 +
= +
=+ 
 +
 = = +
− − 
=+ = + 
5 15
x 5 15
x1 15
1 15
5 15
5 15 3
y1 15
y 1 15
5
e) 
2x 3y 3
2x 3y 2
 + = 
− = 
 + = + = + 
 = = 
− = + = 
2 3x 3y 3 (2 3 2)x 3 2
2x 3y 2 2x 3y 3
 +
 =+ += = + + +
 = = = +
 −+ + + = = − + + = + 
3 2
x3 2 3 2x x2 3 2
2 3 2 2 3 2
6 2 2
33 2 6 2 2
2. 3y 3 y 12 3 2
2 3 2 y 6 6
3
f) 
( )
( )
x y
x y
2 1 2 1
2 2 1 2 2
 + + = −
− − = 
( ) ( )
( ) ( )
 + − = − = 
 = = 
− − = − − = 
2
2 1 2 1 3 3
2 2 1 2 22 2 1 2 2
x y x
x yx y 
( )
 = =
 = = 
= −− − = 
1 1
22.1 2 1 2 2
x x
yy
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1;-2)
GV: Khúc Quế Thanh 
g) (I)
x y x y
x y x y
2 1
3
1 3
1
+ = + −
 − =
+ − Đặt 
= =
+ −
a b
x y x y
1 1
;
 (I)=>
 + =
− = 
a b
a b
2 3
3 1
= + = =
 = = = 
− = − = − =
a
a b a
a b a b
b
10
6 3 9 7 10 7
3 1 3 1 10
3 1
7
== + =+
 = = = 
− = = =
 − 
a
x yx y
x y
b
x y
1 1010
10 10 777
1 1 1 7
7 7
Bài 5. Cho f(x) = x2 + bx + c. Tìm b và c biết f(1) = 2 ; f(- 3) = 0 
Ta có f(1) =2 hay 12+b.1+ c=2 
 b+c=1 (1) 
 f(- 3) = 0 hay (-3)2+b.(-3)+c=0 
-3b+c=-9 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
= + = + =
= = 
− + = − − + = − − =
b
b b c
b
c
c c
c
b
5
1 3 3 3 2
3 9 3 9 3
2
Bài 6: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b= + đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: 
a) A(2; 1), B(1; 2) 
Vì A(2; 1) thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.2+b=1 2a+b=1(1) 
Vì B(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.1+b=2  a+b=2(2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
 + = = − = −
= = 
+ = − + = = 
a ab a
bba b
2 1 1 1
2 ( 1) 2 3
b) A(1; 3), B(3; 2) 
Vì A(1; 3), thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.1+b=3a+b=3(1) 
Vì B(3; 2)thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.3+b=2 3 a+b=2(2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
 −
= + = = −
= = 
+ = + = =
a
a a
a a b
b
b
b
1
3 2 1 2
3 2 3 7
2
c) A(1; –3), B(2; 3) 
Vì A(1; -3), thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.1+b=-3a+b=-3(1) 
Vì B(2; 3)thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.2+b=3 2 a+b=3(2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
GV: Khúc Quế Thanh 
 + = − =
= 
+ = = − 
a a
a
b
bb
3 6
2 3 9
Bài 7: Cho hệ phương trình: 
a) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (2 ; -1). 
Thay x=2 và y =-1 vào hệ phương trình ta được 
 + = =
= 
− = = 
n n
3
2 1 4
22 1
1 1
1
=n
3
2
b) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có duy nhất nghiệm? 
hệ phương trình có duy nhất nghiệm khi 
−
 = = −
a b n
n
a b
1
1
' ' 1 1
c) Với giá trị nào của n thì Hệ phương trình vô nghiệm ? 
Hệ phương trình vô nghiệm 
− = −
= = = = = = − 
a b c n n
n
na b c
1 4 1
1
4' ' ' 1 1 1
Bài 8: Hai hệ phương trình sau tương đương không? 
x y 1
(I)
2x 2y 2
+ = 
+ = 
và (II)
x y 1
2x 2y 2
− = 
− + = − 
Ta có:Xét hệ (I) 
a b c 1 1 1
hay
a ' b ' c ' 2 2 2
= = = =
Hệ ( I) có vô số nghiệm 
Xét hệ (II) 
a b c 1 1 1
hay
a ' b ' c ' 2 2 2
−
= = = =
− −
Hệ ( II) có vô số nghiệm 
Hai hệ phương trình trên tương đương 
Bài 9: Cho hệ phương trình
3 4
1
x my
x y
+ = 
+ = 
a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm 
b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm x 0 
a) Hệ phương trình 
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi hay 
=+
=−
1
4
yx
ynx
GV: Khúc Quế Thanh 
Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm khi hay 
 ⇔ không tồn tại m thỏa mãn 
Với m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 hệ phương trình có nghiệm: 
Vì nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x 0 nên ta có: 
Vậy với điều kiện 3 0 
Phần 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Dạng 1: Toán có nội dung số học 
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số 
hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. 
Giải: 
Gọi x là chữ số hàng chục ( x x0 9, N) 
Gọi y là chữ số hàng đơn vị ( y y0 9, N) 
Vì tổng của hai chữ số của nó bằng 11 nên ta có phương trình: + =x y 11
 Số tự nhiên ban đầu là : 10x+y 
Số tự nhiên mới sau khi đổi chỗ là : 10y +x 
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Ta có phương trình : 
GV: Khúc Quế Thanh 
10y +x=10x+y+27 
 -9x+9y =27 -x+y = 3 
Từ (1) và (2)
 ta có hệ phương trình:
x y 11 2y 14 y 7
(TMÐK)
x y 3 x y 11 x 4
+ = = = 
 = = 
− + = + = = 
Vậy số tự nhiên cần tìm ban đầu là 47 
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn hai lần chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị. 
Nếu viết số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 18 đơn vị. 
Giải: 
Gọi x là chữ số hàng chục ( x x0 9, N) 
Gọi y là chữ số hàng đơn vị ( y y0 9, N) 
Vì chữ số hàng chục nhỏ hơn hai lần chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị nên ta có phương trình: − =y x2 1
 Số tự nhiên ban đầu là : 10x+y 
Số tự nhiên mới sau khi đổi chỗ là : 10y +x 
số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 18 đơn vị. Ta có phương trình : 
+ − + =
 = − = = − =
x y y x
x y x y
10 (10 ) 18
9 9 18 2
Từ (1) và (2)
ta có hệ phương trình 
x 2y 1 x 5
(TMÐK)
x y 2 y 3
− + = = 
 = 
− = = 
Vậy số tự nhiên cần tìm ban đầu là 53 
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 đơn vị, nếu 
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới bằng 
17
5
số ban đầu. 
Giải: 
Gọi x là chữ số hàng chục ( x x0 9, N) 
Gọi y là chữ số hàng đơn vị ( y y0 9, N) 
chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có phương trình: − =y x 4
 Số tự nhiên ban đầu là : 10x+y 
Số tự nhiên mới sau khi đổi chỗ là : 10y +x 
số mới bằng 
17
5
số ban đầu. Ta có phương trình : 
+ = +
 = + − − = = − + =
y x x y
y x x y x y
17
10 (10 )
5
50 5 170 17 0 165 33 0
GV: Khúc Quế Thanh 
Từ (1) và (2)
ta có hệ phương trình 
x y 4 33x 33y 132 x 1
(TMÐK)
165x 33y 0 165x 33y 0 y 5
− + = − = − = 
 = = 
− + = − + = = 
Vậy số tự nhiên cần tìm ban đầu là 15 
Dạng 2: Toán năng suất công việc. 
Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II 
chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 
3
4
 bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình 
đầy bể. 
Giải 
Đổi 4 giờ 48 phút =
24
5
giờ 
Gọi x(giờ) là thời gian vòi I chảy riêng một mình thì đầy bể ( x>
24
5
) 
Gọi y(giờ) là thời gian vòi II chảy riêng một mình thì đầy bể ( y>
24
5
) 
Trong 1 giờ vòi I chảy được 
x
1
bể 
Trong 1 giờ vòi II chảy được 
y
1
bể 
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được =
1 5
24 24
5
bể 
Ta có phương trình + =
x y
1 1 5
24 (1)
Vì vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 
3
4
 bể , ta có phương trình 
+ =
x y
4 3 3
4 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình(I)
1 1 5
x y 24
4 3 3
x y 4
+ = 
 + =
Đặt 
1 1
a ;b
x y
= =
GV: Khúc Quế Thanh 
5 15
3a 3b aa b
8 824
(I)
3 3 1
4a 3b 4a 3b b
4 4 12
1 1
x 8x 8
(TMÐK)
1 1 y 12
y 12
− − = − =+ = 
= = = 
 + = + = =
= = 
= = 
= =
Vậy vòi I chảy riêng một mình thì sau 8 giờ đầy bể 
vòi II chảy riêng một mình thì sau 12 giờ đầy bể 
Bài 2. Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II 
được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm 
riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó. 
Giải 
Gọi x(giờ) là thời gian tổ I làm riêng một mình thì xong công việc ( x>6 ) 
Gọi y(giờ) là thời gian tổ II làm riêng một mình thì xong công việc( y>6) 
Trong 1 giờ tổ I làm được 
x
1
công việc 
Trong 1 giờ tổ II làm được 
y
1
công việc 
Trong 1 giờ cả hai tổ làm được 
1
6
công việc 
Ta có phương trình + =
x y
1 1 1
6 (1)
Vì tổ I làm trong 12 giờ, tổ II làm trong 2 giờ thì xong công việc , ta có phương trình + =
x y
12 2
1
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình(I)
1 1 1
x y 6
12 2
1
x y
+ = 
 + =
Đặt 
1 1
a ;b
x y
= =
GV: Khúc Quế Thanh 
1
1 1 a
a b 2a 2b 15
(I) 6 3
1
12a 2b 1 12a 2b 1 b
10
1 1
x 15x 15
(TMÐK)
1 1 y 10
y 10
= + = − − = − 
= = = 
 + = + = = 
= = 
= = 
= =
Vậy tổ I làm riêng một mình thì sau 15 giờ xong công việc 
tổ II làm riêng một mình thì sau 10 giờ xong công việc 
Bài 3. Hai đội công nhân cùng tham gia lao động thì hoàn thành công việc sau 4 ngày . Nếu đội thứ nhất 
làm một mình trong 9 ngày, rồi đội thứ hai đến cùng làm thêm 1 ngày nữa mới xong. Hỏi mỗi đội 
làm một mình xong trong bao lâu? 
Giải 
Gọi x(ngày) là thời gian đội thứ nhất làm riêng một mình thì xong công việc ( x>4) 
Gọi y(ngày) là thời gian đội thứ hai làm riêng một mình thì xong công việc( y>4) 
Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được 
x
1
công việc 
Trong 1 ngày đội thứ hai làm được 
y
1
công việc 
Trong 1 ngày cả hai đội làm được 
1
4
công việc 
Ta có phương trình + =
x y
1 1 1
4 (1)
Vì đội thứ nhất làm trong 10 ngày, đội thứ hai làm trong 1 giờ thì xong công việc , ta có phương trình 
+ =
x y
10 1
1
 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình(I)
1 1 1
x y 4
10 1
1
x y
+ = 
 + =
Đặt 
1 1
a ;b
x y
= = 
13
1 a9a
a b 124
(I) 4
11
10a b 1 ba b
64
1 1
x 12x 12
(TMÐK)
1 1 y 6
y 6
== + = 
= = = 
 + = =+ = 
= = 
= = 
= =
Vậy đội thứ nhất làm riêng một mình thì sau 12 ngày xong công việc 
Đội thứ hai làm riêng một mình thì sau 6 ngày xong công việc 
GV: Khúc Quế Thanh 
Dạng 3: Toán chuyển động 
Bài 1. Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời gian đi 
được sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và 
thời gian dự định của ô tô. 
GIẢI 
Gọi x (km/h) là vận tốc dự định của ô tô (x>10) 
Gọi y (h) là thời gian dự định của ô tô (y>1) 
Quãng đường từ A đến b là x.y (km) 
Nếu vận tốc tăng 20 km/h ta có vận tốc mới là: x+20 (km/h) 
Nếu Thời gian giảm đi 1 h nên thời gian mới là : y-1 (h) 
Khi đó quãng đường là : (x+20).(y-1) (km) 
Ta có phương trình: (x+20).(y-1) =x.y 
 -x+20y =20 (1) 
Nếu vận tốc giảm 10 km/h ta có vận tốc mới là: x-10 (km/h) 
Nếu Thời gian tăng thêm 1 h nên thời gian mới là : y+1 (h) 
Khi đó quãng đường là : (x-10).(y+1) (km) 
Ta có phương trình: (x-10).(y+1) =x.y 
 x-10y=10 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
x 20y 20 10y 30 y 3 x 40
(TMÐK)
x 10y 10 x 10y 10 x 10.3 10 y 3
− + = = = = 
 = = = 
− = − = − = = 
Vậy vận tốc ddự định của ô tô là 40 km/h ; Thời gian dự định đi từ A đến B là 3h. 
Bài 2. Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km. Cùng lúc, một canô đi xuôi dòng từ A đến B và một canô đi 
ngược dòng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi canô, biết rằng vận tốc 
canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận 
tốc thật của các canô không đổi). 
GIẢI 
Gọi x (km/h) là vận tốc thật của ca nô xuôi dòng (x>0) 
Gọi y (km/h) là vận tốc thật của ca nô khi ngược dòng (y>3) 
Vận tốc của canô khi xuôi dòng là : x+3 (km/h) 
Vận tốc của canô khi ngược dòng là : y-3 (km/h) 
Đổi 1 giờ 40 phút =
5
h
3
 Quãng đường của canô xuôi dòng khi đi được 1 giờ 40 phút là : ( )
5
x 3 (km)
3
+ 
Quãng đường của canô ngược dòng khi đi được 1 giờ 40 phút là : ( )
5
y 3 (km)
3
− 
Vì A và B cách nhau 85 km nên ta có phương trình: 
( ) ( )
5 5
x 3 y 3 85
3 3
+ + − = 
 5x+5y =225 (1) 
Vì vận tốc canô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng 9 km/h nên ta có phương trình: 
x-y=9 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
GV: Khúc Quế Thanh 
5x 5y 255 5x 5y 225 10x 300 x 30 x 30
(TMÐK)
x y 9 5x 5y 45 x y 9 30 y 9 y 21
+ = + = = = = 
 = = = = 
− = − = − = − = = 
Vậy vận tốc thất của canô xuôi dòng là 30 km/h, vận tốc thất của canô ngược dòng là 21 km/h 
Bài 3: Một ô tô đi trên quãng đường AB với vận tốc 50 km/h rồi tiếp tục đi từ B đến C với vận tốc 45 km/h. 
Biết rằng quãng đường từ A đến C là 165 km ( B nằm giữa A và C), Thời gian từ A đến B ít hơn thời gian từ 
B đế C là 30 phút . Tính thời gian ô tô đi trên hai quãng đường AB và BC. 
Giải 
Gọi x( h) là thời gian đi của ôtô trên quãng đường AB (x>0) 
Gọi y( h) là thời gian đi của ôtô trên quãng đường BC (y>
1
2
) 
Quãng đường ô tô đi từ A đến B là : 50x (km) 
Quãng đường ô tô đi từ B đến C là : 45y (km) 
Vì quãng đường từ A đến C là 165 km nên ta có phương trình: 50x+45y =165 (1) 
Vì thời gian từ A đến B ít hơn thời gian từ B đế C là 30 phút nên ta có phương trình: 
 y-x=
1
2x 2y 1
2
 = − + =
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
3
50x 45y 165 50x 45y 165 95y 190 x
(TMÐK)2
2x 2y 1 50x 50y 25 2x 2y 1
y 2
+ = + = = = 
 = = = 
− + = − + = − + = = 
Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 
3
2
(h) hay 90 phút 
thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 2 (h) 
Dạng 4: Toán có nội dung hình học 
Bài 1. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba 
lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu. 
GIẢI 
Gọi x ( m) là chiều dài ban đầu khu vườn hình chữ nhật (x>0) 
Gọi y (m) là chiều rộng ban đầu khu vườn hình chữ nhật (y>0) 
Vì chu vi khu vườn hình chữ nhật bằng 48m nên ta có phương trình: 
(x+y).2 =48  x+y=24 (1) 
Vì tăng chiều rộng lên bốn lần nên chiều rộng mới là: 4y (m) 
Vì tăng chiều rộng lên ba lần nên chiều dài mới là: 3x (m) 
Khi đó chu vi khu vườn là 162 nên ta có phương trình: 
(3x+4y).2=162 3x+4y=81 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
x y 24 3x 3y 72 y 9 x 15
(TMÐK)
3x 4y 81 3x 4y 81 3x 4.9 81 y 9
+ = − − = − = = 
 = = = 
+ = + = + = = 
Vậy diện tích của khu vườn ban đầu là: 15.9= 135 m2 
Bài 2. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu 
GV: Khúc Quế Thanh 
tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa 
ruộng sẽ tăng thêm 5 m2. 
GIẢI 
Gọi x ( m) là chiều rộng ban đầu thửa ruộng hình chữ nhật (x>0) 
Gọi y (m) là chiều dài ban đầu thửa ruộng hình chữ nhật (y>5) 
Diện tích thửa ruộng ban đầu là x.y (m2) 
Vì diện tích thửa ruộng hình chữ nhật là 100 m2 nên ta có phương trình: 
xy=100 (1) 
nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích thửa 
ruộng mới là: (x+2).(y-5) (m2) 
Khi đó diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2 nên ta có phương trình: 
 (x+2).(y-5) =xy+5  xy-5x+2y-10 =xy+5 
-5x+2y=15 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
( ) 2
2 2 2 2
15 5x
x. 100 x. 15 5x 200 15x 5x 200
xy 100 2
15 5x15 5x
5x 2y 15 y15 5x y
y 22
2
5x 15x 200 0 5x 15x 200 0 x 3x 40 0 x 8x
15 5x 15 5x 15 5x
y y y
2 2 2
 + 
 = + = + = = = = = ++
− + = =+ = = 
 + − = + − = + − = +
 = = = = + + +
= = = 
( ) ( )2
5x 40 0
15 5x
y
2
x 8x 5x 40 0 (x 8).(x 5) 0 x 8(loai)
x 5(nhan)
hoac (TMÐK)15 5x 15 5x15 5x y 20y yy
2 22
 − − =
 +
= 
 + − + = + − = = − 
= 
 = = = + ++ == = = 
Vậy chiều chiều rộng ban đầu thửa ruộng hình chữ nhật là 5m, chiều dài ban đầu thửa ruộng hình chữ nhật 
là 20m. 
Bài 3. Cạnh góc vuông nhỏ của một tam giác vuông ngắn hơn cạnh góc vuông lớn là 7m. Nếu tăng cạnh góc 
vuông nhỏ 3m và giảm cạnh góc vuông lớn 2m thì diện tích tam giác vuông tăng lên 20m2. Tìm độ dài hai 
cạnh góc vuông. 
GIẢI 
Gọi x (m ) là độ dài cạnh góc vuông nhỏ ban đầu của tam giác vuông (x>0) 
Gọi y (m ) là độ dài cạnh góc vuông lớn ban đầu của tam giác vuông (y>2) 
Diện tích ban đầu của tam giác vông là :
xy
2
m2 
Vì cạnh góc vuông nhỏ của một tam giác vuông ngắn hơn cạnh góc vuông lớn là 7m nên ta có phương trình 
: y-x=7 (1) 
Vì tăng cạnh góc vuông nhỏ 3m và giảm cạnh góc vuông lớn 2m, nên diện tích mới của tam giác vuông là : 
( )( )x 3 y 2
2
+ −
m2 
Khí đó diện tích tam giác vuông tăng lên 20m2 nên ta có phương trình: 
( )( )x 3 y 2 xy
20
2 2
xy 2x 3y 6 xy 40
2x 3y 46
+ −
= +
 = − + − = =
 = − + = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
GV: Khúc Quế Thanh 
x y 7 2x 2y 14 y 32 x 25
(TMÐK)
2x 3y 46 2x 3y 46 2x 3.32 46 y 32
− + = − + = = = 
 = = = 
− + = − + = − + = = 
Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ ban đầu là 25 m, độ dài cạnh góc vuông nhỏ ban đầu là 32 m 
Dạng 5: Các dạng khác như phân chia, sắp xếp 
Bài 1. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ 
hai bằng 
4
5
 số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá. 
GIẢI 
Gọi x( cuốn ) là số sách ban đầu của giá thứ nhất ( 50<x<450,x N*) 
Gọi y( cuốn ) là số sách ban đầu của giá thứ hai (0<y< 450,y N*) 
Vì số sách hai giá là 450 cuốn nên ta có phương trình: x+y = 450 (1) 
Số sách của giá thứ nhất sau khi chuyển đi 50 cuốn là: x-50 (cuốn) 
Số sách của giá thứ hai sau khi chuyển đến 50 cuốn là: y +50 (cuốn) 
Vì sau khi chuyển, số sách trên giá thứ hai bằng 
4
5
 số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình: 
y +50 = ( )− = + = − = − − = −x y x x y
4
50 5 250 4 200 4 5 450
5 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
x y 450 4x 4y 1800 9y 1350 x 300
(TMÐK)
4x 5y 450 4x 5y 450 x y 450 y 150
+ = + = = = 
 = = = 
− + = − − + = − + = = 
Vậy số sách ban đầu của giá thứ nhất là 300 cuốn, số sách ban đầu của giá thứ hai là 150 cuốn. 
Bài 2. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 
10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. Tính số dụng 
cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch. 
GIẢI 
Gọi x( dụng cụ) là số dụng cụ của xí nghiệp I làm theo kế hoạch ( 0<x<360,x N*) 
Gọi x( dụng cụ) là số dụng cụ của xí nghiệp II làm theo kế hoạch ( 0<y<360,x N*) 
Vì theo kế hoạch hai xí nghiệp phải làm 360 dụng cụ , nên ta có phương trình: x+y =360 (1) 
Vì xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã 
làm được 404 dụng cụ nên ta có phương trình:10%x+ 15%y=404-360 
10x+15y =4400 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
x y 360 10x 10y 3600 5y 800 x 200
(TMÐK)
10x 15y 4400 10x 15y 4400 x y 360 y 160
+ = − − = − = = 
 = = = 
+ = + = + = = 
Vậy xí nghiệp I làm theo kế hoạch là 200 dụng cụ. 
Xí nghiệp II làm theo kế hoạch là 160 dụng cụ. 
Bài 3. Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 
80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn 
thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người 
đó. Biết mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm. 
GIẢI 
Gọi x( sản phẩm) là số sản phẩm dự kiến làm được trong 1 giờ của người ( 0<x<20,x N*) 
Gọi y (sản phẩm ) là số sản phẩm thực tế làm được trong 1 giờ của người ( 0<y<20,y N*) 
GV: Khúc Quế Thanh 
Thời gian làm được theo dự định là: h
x
72
( )
Thời gian làm được theo dự định là: h
y
80
( )
Vì thực tế số sản phẩm làm được nhiều hơn số sả phẩm theo dự định là 1 sản phẩm , nên ta có phương 
trình: y-x=1 (1) 
thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút= h
1
( )
5
nên ta có phương trình: 
− =
y x
80 72 1
5 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
( ) ( )
2 2
y x 1 y 1 x
y 1 x
80 72 1 80 72 1
80.5.x 72.5. 1 x x. 1 x
y x 5 1 x x 5
y 1 x y 1 x y 1 x
(x 24)(x 15) 0400x 360 360x x x x 39x 360 0
y 25 y 16
hoac
x 24(loai) x 15(nhan)
− = = + = + 
 = = 
− = − + = +− = + 
= + = + = + 
 = = = 
− − =− − = + − + = 
= = 
 = = 
= = 
số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó là 15 sản phẩm 
 Hết