Tài liệu môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tailieumontoan.com 
 
Tài liệu sưu tầm 
 CHUYÊN ĐỀ 
HỆ THỨC LƯỢNG 
TRONG TAM GIÁC 
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 
 Website: tailieumontoan.com 
MỤC LỤC 
VẤN ĐỀ 1. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN 
1) 3 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ....................................................................................................... 3 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN ......................................................................................... 3 
C.BÀI TẬP VỀ NHÀ ...................................................................................................................... 4 
VẤN ĐỀ 2. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN 
II) ............................................................................................................................................................ 6 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ............................................................................................................ 6 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN ........................................................................................... 6 
Dạng 2. Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông ....................................... 6 
VẤN ĐỀ 3 : LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC 
VUÔNG ................................................................................................................................................ 8 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ............................................................................................................ 8 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................................................. 8 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ ..................................................................................................................... 9 
VẤN ĐỀ 4. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN I) ............................................... 10 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .......................................................................................................... 10 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN ......................................................................................... 10 
Dạng 1. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc ...................................... 10 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ ................................................................................................................... 11 
VẤN ĐỀ 5. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN II) ............................................. 13 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ..................................................................................................... 13 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN ....................................................................................... 13 
Dạng 2. Sắp thứ tự dãy các tỉ số lượng giác ......................................................................... 13 
Dạng 3.Dựng góc nhọn α biết tỉ số lượng giác của nó là .m
n
 .......................................... 14 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ : ................................................................................................................. 15 
VẤN ĐỀ 6. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN 
I). .......................................................................................................................................................... 16 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ......................................................................................................... 16 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN. ........................................................................................ 16 
Dạng 1. Giải tam giác vuông .................................................................................................. 16 
Dạng 2. Tính cạnh và góc của tam giác ................................................................................ 17 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ ................................................................................................................... 17 
VẤN ĐỀ 7. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN 
II) .......................................................................................................................................................... 19 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .......................................................................................................... 19 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 1 
 Website: tailieumontoan.com 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN ......................................................................................... 19 
Dạng 3. Toán ứng dụng thực tế ............................................................................................. 19 
Dạng 4. Toán tổng hợp ............................................................................................................ 20 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ ................................................................................................................... 20 
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 3 .......................................................................................................................... 21 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .......................................................................................................... 21 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................................................... 22 
HƯỚNG DẪN GIẢI ......................................................................................................................... 26 
VẤN ĐỀ 1. ..................................................................................................................................... 26 
VẤN ĐỀ 2 ...................................................................................................................................... 26 
VẤN ĐỀ 3 ...................................................................................................................................... 27 
VẤN ĐỀ 4 ...................................................................................................................................... 28 
VẤN ĐỀ 5 ...................................................................................................................................... 29 
VẤN ĐỀ 6. ..................................................................................................................................... 31 
VẤN ĐỀ 7 ...................................................................................................................................... 32 
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 3 ................................................................................................................. 32 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 2 
 Website: tailieumontoan.com 
75
y
x
H
CB
A
CHỦ ĐỀ 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
VẤN ĐỀ 1. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
(PHẦN 1) 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có các hệ thức sau: 
• 2 .AB BH BC= hay 2 . 'c a c= 
• 2 .AC CH BC= hay 2 'b ab= 
• . .AB AC BC AH= hay cb ah= 
• 2 .HA HBHC= hay 2 ' 'h c b= 
• 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + hay 2 2 2
1 1 1
h c b
= + . 
• 2 2 2BC AB AC= + (Định lí Pitago). 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông 
Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Nếu biết độ dài 
hai trong sáu đoạn thẳng , , , , ,AB AC BC HA HB HC thì ta luôn tính được độ dài bốn 
đoạn thẳng còn lại. 
• Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau: 
Bài 1. Tính ,x y trong mỗi hình vẽ sau: 
yx
6 8
H
CB
A
20
12
yx
H
CB
A
Hình 1 Hình 2 Hình 3 
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH 
a) Cho biết 3 , 4 .AB cm AC cm= = Tính độ dài các đoạn thẳng , ,BH CH AH và .BC 
b) Cho biết 9 , 16BH cm ch cm= = . Tính độ dài các đoạn thẳng , ,AB AC BC và .AH 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , AH BC⊥ ( H thuộc BC ). Cho biết : 3 : 4AB AC = và 
15 .BC cm= Tính độ dài các đoạn thẳng BH và .CH 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH Cho biết : 3 : 4AB AC = và 
6 .AH cm= Tính độ dài các đoạn thẳng BH và .CH 
 * Học sinh tự luyện tập các bài tập sau tại lớp : 
Bài 5. Tính ,x y trong các hình vẽ sau : 
bc
c' b'
a
H
CB
A
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 3 
 Website: tailieumontoan.com 
yx
1 4H
CB
A
Hình 4 
y
13
H
CB
A
Hình 5 
x
5
4 H
CB
A
Hình 6 
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH 
a) Cho biết 3 , 5 .AB cm BC cm= = Tính độ dài các đoạn thẳng , ,BH CH AH và .AC 
b) Cho biết 60 , 144 .AH cm CH cm= = Tính độ dài các đoạn thẳng , ,AB AC BC và .BH 
c) Cho biết 6012 , .
13
AC cm AH cm= = Tính độ dài các đoạn thẳng , ,AB BC BH và .CH 
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH Cho biết 5
6
AB
AC
= và 122 .BC cm= 
Tính độ dài các đoạn thẳng , .BH CH 
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH Cho biết : 3 : 4AB AC = và 
12 .AH cm= Tính độ dài các đoạn thẳng , .BH CH 
C.BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH Cho biết 4 , 7,5 .AB cm BC cm= = Tính 
độ dài các đoạn thẳng , .BH CH 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH 
a) Biết 6 , 4,5 .AH cm BH cm= = Tính , , , .AB AC BC HC 
b) Biết 6 , 3 .AB cm BH cm= = Tính , , .AH AC CH 
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH Tính diện tích tam giác ABC , biết 
12 , 9 .AH cm BH cm= = 
Bài 12. Cho tam giác ,ABC biết 7,5 , 4,5 , 6 .BC cm CA cm AB cm= = = 
a) Tính độ dài đường cao AH của tam giác .ABC 
b) Tính độ dài các đoạn thẳng , .BH CH 
Bài 13. Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh 
huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền. 
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH Biết 5 , 15 .
7
AB AH cm
AC
= = Tính độ dài 
các đoạn thẳng HB và .HC 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 4 
 Website: tailieumontoan.com 
Bài 15. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và .D Đường chéo BD vuông góc với .BC Biết 
12 , 25 .AD cm DC cm= = Tính độ dài ,AB BC và .BD 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 5 
 Website: tailieumontoan.com 
VẤN ĐỀ 2. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
(PHẦN II) 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Nhắc lại lý thuyết : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao .AH Khi đó có các hệ thức 
sau : 
• 2 .AB BH BC= hay 2 . 'c a c= 
• 2 .AC CH BC= hay 2 . 'b a b= 
• . .AB AC BC AH= hay .cb a h= 
• 2 .HA HB HC= hay 2 ' 'h c b= 
• 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + hay 2 2 2
1 1 1
h c b
= + 
• 2 2 2BC AB AC= + ( Định lí Pitago) 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 2. Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông 
Phương pháp giải : Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng : 
Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức. 
Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và dường cao. 
Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh. 
 * Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau : 
Bài 1. Cho tam giác CDE nhọn, đường cao .CH Gọi ,M N theo thứ tự là hình chiếu của 
H lên , .CD DE Chứng minh : 
a) . . ;CD CM CE CN= 
b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác .CED 
Bài 2. Cho hình vuông .ABCD Gọi I là một điểm nằm chính giữa A và .B Tia DI và tia CB 
cắt nhau ở .K Kẻ đường thẳng qua D , vuông góc với DI , cắt đường thẳng BC tại L . 
Chứng minh : 
a) Tam giác DIL là tam giác cân ; 
b) Tổng 2 2
1 1
DI DK
+ không đổi khi I thay đổi trên cạnh .AB 
* Học sinh tự luyện tập các bài tập sau tại lớp : 
Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AH là đường cao. 
h
bc
c' b'
a
H
CB
A
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 6 
 Website: tailieumontoan.com 
a) Chứng minh 2 2 2 2;AB CH AC BH+ = + 
b) Gọi ,M N theo thứ tự là hình chiếu của H lên , .AB AC Chứng minh : 
. . .AM AB AN AC= 
Bài 4. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Cho biết khoảng cách từ O 
tới mỗi cạnh của hình thoi là , , .h AC m BD n= = Chứng minh : 2 2 2
1 1 1 .
4m n h
= + 
C.BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có 8 , 15 .AB cm BC cm= = 
a) Tính độ dài đoạn thẳng .BD 
b) Vẽ AH vuông góc với BD tại H. Tính độ dài đoạn thẳng .AH 
c) Đường thẳng AH cắt BC và DC lần lượt tại I và .K Chứng minh 2 . .AH HI HK= 
Bài 6. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết AB = 15cm, AD = 20cm, các đường 
chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O. Tính 
a) Độ dài các đoạn thẳng OB và OD; 
b) Độ dài đoạn thẳng AC ; 
c) Diện tích hình thang ABCD. 
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với 
AB, AC. Chứng minh : 
a) 
 
=  
 
3
EB AB
FC AC
 ; b) = 3BC.BE.CF AH . 
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A có AH và BK là hai đường cao. Kẻ đường thẳng vuông 
góc với BC tại B cắt tia CA tại D. Chứng minh : 
a) BD = 2.AH ; b) 2 2 2
1 1 1
BK BC 4HA
= + . 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 7 
 Website: tailieumontoan.com 
VẤN ĐỀ 3 : LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC 
VUÔNG 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Nhắc lại lý thuyết : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các 
hệ thức sau: 
● AB2 = BH. BC hay c2 = a.c’ 
● AC2 = CH. BC hay b2 = a.b’ 
● AB. AC = BC. AH hay c.b = a. h 
● HA2 = HB. HC hay h2 = c’. b’ 
● 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + hay 2 2 2
1 1 1
h c b
= + 
● BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau : 
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi D, 
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. 
 a) Tính độ dài đoạn thẳng DE. 
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng 
minh 
1
MN BC
2
= . 
 c) Tính diện tích của tứ giác DENM. 
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh 
 a) 
2
2
AB HB
HCAC
= ; b) 
3
3
AB BD
ECAC
= ; 
 c) DE2 = BD. CE. BC; d) 33 32 2 2BC BD CE= + . 
*Học sinh tự luyện các bài tập sau đây 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 
 a) Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC. 
 b) Cho biết AB = 6cm, BC = 10cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và AC. 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 8 
 Website: tailieumontoan.com 
Bài 4. Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông nếu đường cao ứng với cạnh huyền có 
độ dài 48cm và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền theo tỉ lệ 9 : 16. 
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH. Biết BD = 15cm, CD = 
20cm. Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HC. 
Bài 6. Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy AB = 26cm và cạnh bên AD = 10cm. 
Cho biết đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Tính diện tích hình thang 
ABCD. 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 
a) Nếu BH = 2cm, CH = 8cm. Tính độ dài các đoạn AB, AC, BC, AH. 
b) Nếu AH = 5cm, CH = 16cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC, BH. 
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB : AC = 3 : 4 và AH = 
12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH. 
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH. Cho biết BD = 15cm, 
CD = 20cm. Tính độ dài các đoạn thẳng HB và HC. 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính chu vi của tam giác ABC biết 
AH = 14cm, 
HB 1
HC 4
= . 
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính diện tích tam giác ABC biết 
rằng AH = 12cm, BH = 9cm. 
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CK. 
a) Cho biết AB = 10cm, AC = 8cm. Tính BC, CK, BK và AK. 
b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K trên BC và AC. Chứng minh CB. CH = 
CA. CI 
c) Gọi M là chân đường vuông kẻ từ K xuống IH. Chứng minh = +2 2 2
1 1 1
KM CH CI
. 
d) Chứng minh 
3
3
AI AC
BH BC
= . 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 9 
 Website: tailieumontoan.com 
VẤN ĐỀ 4. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN I) 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
● Cho góc nhọn ( )o o0 90α < α < . Dựng tam giác ABC vuông tại A sao cho ABCα = . 
Từ đó ta có: 
AB
cos
AC
α = ; ACsin
AB
α = ; ACtan
AB
α = ; ABcot
AC
α = . 
● Với góc góc nhọn α bất kì, ta luôn có: 
0 < sinα < 1; 0 < cos α < 1 
tan α = sin
cos
α
α
; cot tan
cos
α
α =
α
; tan .cot 1α α = ; 
sin2α + cos2α = 1; 1 + tan2α = 2
1
cos x
; 1 + cot2 α = 2
1
sin
−
α
. 
●Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang 
góc kia. 
● Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt 
 α 
Tỉ số 
30o 45o 60o 
sinα 1
2
 2
2
 3
2
cosα 3
2
 2
2
1
2
tanα 3
3
1 3 
cotα 3 1 1
3
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc 
Phương pháp giải:Sử dụng các kiến thức trong phần Tóm tắt lý thuyết ở trên. 
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau: 
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại Ccó = =1,2 , 0,9 .BC cm AC cm Tính các tỉ số lượng giác 
của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A. 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 10 
 Website: tailieumontoan.com 
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hãy tính sin , sinB C trong các trường 
hợp sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 4): 
 a) = =13 , 0,5 ;AB cm BH dm b) = =4 , 3 .CH cm BH cm 
Bài 3. Cho tam giác ABCcó = = =5, 2 , 3AB a AC a BC a 
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. 
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A. 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C biết rằng 
=cos 0,6.B 
Bài 5. Cho tam giác ABCvuông tại Acó = = ⋅55 , cot
8
AB cm B Tính độ dài các đoạn thẳng AC 
và BC. 
 * Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp: 
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có = =1,6 , 1,2 .AB cm CA cm Tính các tỉ số lượng giác 
của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C. 
Bài 7. Cho tam giác ABCcó = = =3, 2 , 5.AB a AC a BC a 
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. 
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C. 
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Cho biết =cos 0,8.B Hãy tính các tỉ số lượng giác của 
góc C. 
Bài 9. Cho tam giác ABCvuông tại Acó = = ⋅56 , tan
12
AB cm B Tính độ dài các đoạn thẳng 
AC và BC. 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có = =60 , 8 .AB mm CA cm Tính các tỉ số lượng giác của 
góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C. 
Bài 11. Cho tam giác ABCvuông tại Acó = = ⋅530 , tan
12
AB cm B Tính độ dài các đoạn thẳng 
AC và BC. 
Bài 12. Tính α α αsin , cot , tan biết α = ⋅1cos
5
Bài 13. Cho tam giác ABCvuông tại A. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC biết: 
 a) = = ⋅312 , tan
4
AB cm B b) = = ⋅515 , cos
13
AB cm B 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 11 
 Website: tailieumontoan.com 
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông ở A,  = = 30 , 10 .C BC cm 
a) Tính AB, AC. 
b) Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác 
trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN sog song với BC và MN = BC. 
c) Chứng minh các tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 12 
 Website: tailieumontoan.com 
VẤN ĐỀ 5. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN II) 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Cho góc nhọn ( )0 90α < α < . Dựng tam giác ABC vuông tại A sao cho ABCα = . Từ 
đó ta có : 
cos ; sin ; tan ; cot
AB AC AC AB
BC BC AB AC
α = α = α = α = ⋅ 
• Với góc nhọnα bất kỳ, ta luôn có: 
0 sin 1;0 cos 1.< α < < α < 
sin cos
tan ; cot ; tan .cot 1.
cos sin
α α
α = α = α α =
α α
2 2 2 2
2 2
1 1
sin cos 1;1 tan ; 1 cot
cos sin
α + α = + α = + α = ⋅
α α
• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang 
góc kia. 
• Bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt: 
 α 
Tỉ số 
30o 45o 60o 
sinα 1
2
 2
2
 3
2
cosα 3
2
 2
2
1
2
tanα 3
3
1 3 
cotα 3 1 1
3
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 2. Sắp thứ tự dãy các tỉ số lượng giác 
Phương pháp giải: Để sắp thứ tự dãy các tỉ số lượng giác cho trước ta cần làm được hai 
bước sau: 
Bước 1: Đưa về các tỉ số lượng giác trong bài toán cùng loại bằng cách sử dụng tính chất 
"Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc 
kia" 
Bước 2: Với góc nhọn , ,α β ta có: 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 13 
 Website: tailieumontoan.com 
sin sin ;
cos cos ;
tan tan ;
cot cot .
α < β⇔ α <β
α β
α < β⇔ α <β
α β
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau: 
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh 
a) sin 20 và sin70 . b) cos60 và cos70 . 
c) tan73 20′ và tan 45 . d) cot 20 và cot 37 40 .′ 
Bài 2. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé: 
a) tan 42 , cot71 , tan 38 , cot69 15 , tan 28 ;′ 
b) sin 32 , cos51 , sin 39 , cos79 13 , sin 38 .′ 
* Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp : 
Bài 3. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh : 
 a) 0sin 40 và 0sin70 ; b) 0cos80 và 0cos 50 ; 
 c) 0tan73 20' và 0tan 65 ; d) 0cot 53 và 0cot 37 40'. 
Bài 4. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn : 
 a) 0 0 0 0 0tan12 ,cot 61 ; tan 28 ; cot 79 15'; tan 58 ; 
 b) 0 0 0 0 0cos67 ,sin 56 ,cos63 41',sin74 ,cos85 . 
Dạng 3.Dựng góc nhọn α biết tỉ số lượng giác của nó là .m
n
Phương pháp giải: Dựng một tam giác vuông có hai cạnh là m và n trong đó m và n 
là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc vuông và một cạnh huyền rồi vận dụng 
định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận ra góc α . 
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau: 
Bài 5.Dựng góc nhọn α biết rằng : 
 a) 3sin ;
5
α = b) 4cos ;
7
α = c) 
3
tan ;
2
α = d) 5cot .
6
α = 
*Học sinh tự luyện ở lớp : 
Bài 6.Dựng góc nhọn α biết rằng: 
a) 
2sin ;
3
α = b) 2cos ;
5
α = c)
3
tan ;
7
α = d) 4cot .
5
α = 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 14 
 Website: tailieumontoan.com 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ : 
Bài 7.Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết  530 , , tan =
12
AB cm B α α= = . Tính cạnh 
, .BC AC 
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Tính sin ; sinB C biết rằng: 
 a) 13; 5;AB BH= = b) 3; 4.BH HC= = 
Bài 9.Dựng góc nhọn α biết rằng: 
a) 
1sin ;
2
α = b) 2cos ;
3
α = c)
4
tan ;
5
α = d) 3cot .
4
α = 
Bài 10. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau heo thứ tự từ bé đến lớn. 
 a) 0 0 0 0 0sin 35 ,cos 28 ; sin 34 72'; cos62 ; sin 45 ; 
 b) 0 0 0 0 0cos 37 ,cos65 30',sin72 ,c os59 ,sin 47 . 
Bài 11. Tính giá trị biểu thức : 
 a) 2 0 0 2 0 0cos 52 sin 45 sin 52 cos 45 ;A = + 
 b) 0 2 0 2 0 0sin 45 cos 47 sin 47 cos 45 .B = + 
Bài 12. Tìm cos , tan ,cotα α α biết 1sin .
5
α = 
Bài 13.Cho tam giác ABC vuông tại A ,  030 , 10 .C BC cm= = 
 a) Tính độ dài các đoạn thẳng , .AB AC 
b) Kẻ từ A các đoạn thẳng ,AM AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác 
trong và phân giác ngoài của góc B . Chứng minh MN song song với BC và 
.MN BC= 
c) Chứng minh tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC . Tìm tỉ số đồng dạng. 
Bài 14.Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính : 
 a) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0cos 20 cos 30 cos 40 cos 50 cos 60 cos 70 .A = + + + + + 
 b) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0sin 5 sin 25 sin 45 sin 65 sin 85 .A = + + + + 
Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A ,  0, 45AB AC C α< = < , đường trung tuyến AM , 
đường cao AH , .MA MB MC a= = = Chứng minh : 
 a) sin 2 2sin cos ;α α α= b) 21 os2 2cos ;c α α+ = 
 c) 21 os2 2sin .c α α− = 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 15 
 Website: tailieumontoan.com 
VẤN ĐỀ 6. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
(PHẦN I). 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
• Cho tam giác ABC vuông tại A có 
, , .BC a AC b AB c= = = Ta có : 
• Trong một tam giác vuông : 
.sin .cos ;
.sin .cos ;
.tan .cot ;
. tan .cot .
b a B a C
c a C a B
b c B c C
c b C b B
= =
= =
= =
= =
• Cạnh góc vuông = (cạnh huyền ) x (sin góc đối) 
 = (cạnh huyền ) x (cosin góc kề) 
• Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông ) x (tang góc đối) 
 = (cạnh góc vuông còn lại ) x (cotang góc kề). 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN. 
Dạng 1. Giải tam giác vuông 
Phương pháp giải: 
1. Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài 
toán. 
2. Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông và 
sử dụng máy tính cầm tay hoặc bảng lượng giác để tính các yế tố còn lại. 
3.Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm : 
 i) Giải tam giác vuông khi biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn. 
 ii) Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh. 
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau: 
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , có , , .BC a AC b AB c= = = Giải tam giác ABC , biết 
rằng : 
a)  010 ; 30 ;b cm C= = b)  020 ; 35 .a cm B= = 
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có , , .BC a AC b AB c= = = Giải tam giác ABC , biết 
rằng : 
a) 15 ; 10 ;a cm b cm= = b) 12 ; 7 .b cm c cm= = 
 * Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp: 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại ,A có , , .BC a AC b AB c= = = Giải tam giác ,ABC biết 
rằng: 
c
b
a
A C
B
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 16 
 Website: tailieumontoan.com 
a) 28 ; 21 ;b cm c cm= = b) 10 ; 6 .a cm b cm= = 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại ,A có , , .BC a AC b AB c= = = Giải tam giác ,ABC biết 
rằng: 
a)  03,8 ; 51 ;c cm B= = b)  011 ; 60 .a cm C= = 
Dạng 2. Tính cạnh và góc của tam giác 
Phương pháp giải: Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức trên bằng 
cách kẻ thêm đường cao. 
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau: 
Bài 5. Cho tam giác ABC có 011 , 38BC cm ABC= = và 030 .ACB = Gọi N là chân đường 
vuông góc hạ từ A xuống cạnh .BC Hãy tính: 
a) Độ dài đoạn thẳng ;AN b) Độ dài đoạn thẳng .AC 
Bài 6. Cho tam giác ,ABC có  0 06 , 60 ; 40 .BC cm B C= = = Hãy tính: 
a) Chiều cao CH và cạnh ;AC b) Diện tích tam giác .ABC 
*Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp: 
Bài 7. Cho tam giác ABC có  0 060 , 50 , 3,5 .B C AC cm= = = Tính diện tích tam giác ABC 
(làm tròn đến hàng đơn vị). 
Bài 8. Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết 4 , 5 ,AC cm BD cm= = 
050 .AOB = Tính diện tích tứ giác .ABCD 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại ,A có , , .BC a AC b AB c= = = Giải tam giác ,ABC biết 
rằng: 
a)  05,4 , 30 ;b cm C= = b)  010 , 45 .c cm C= = 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại ,A , , .BC a AC b AB c= = = Giải tam giác ,ABC biết 
rằng: 
a) 15 , 10 ;a cm b cm= = b) 12 , 7 .b cm c cm= = 
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại ,A , , .BC a AC b AB c= = = Giải tam giác ,ABC biết 
rằng: 
a)  040 , 8;A AC= = b)  028 , 5;C AB= = c) 8, 15.AB BC= = 
Bài 12. Cho tam giác ABC có  0 060 , 50 , 35 .B C AC cm= = = Tính diện tích tam giác .ABC 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 17 
 Website: tailieumontoan.com 
Bài 13. Cho tứ giác ABCD có   0 090 , 40 , 4 , 3 .A D C AB cm AD cm= = = = = Tính diện tích tứ 
giác .ABCD 
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại ,A có đường cao ;AH 9 , 16 .HB cm HC cm= = 
a) Tính , , .AB AC AH 
b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và .AC Tứ giác 
ADHE là hình gì? 
c) Tính chu vi và diện tích của tứ giác .ADHE 
Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại .A Biết 3 , 5 .AB cm BC cm= = 
a) Giải tam giác vuông ABC (số đo góc làm tròn đến độ). 
b) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với ,BC đường thẳng này cắt đường thẳng AC 
tại D . Tính độ dài các đoạn thẳng , .AD BD 
c) Gọi ,E F lần lượt là hình chiếu của A trên BC và .BD Chứng minh : 
. . .BF BD BE BC= 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 18 
 Website: tailieumontoan.com 
VẤN ĐỀ 7. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
(PHẦN II) 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Cho tam giác ABC vuông tại A 
có , , .BC a AC b AB c= = = Ta có : 
.sin .cos ;
.sin .cos ;
.tan .cot ;
. tan .cot .
b a B a C
c a C a B
b c B c C
c b C b B
= =
= =
= =
= =
• Trong một tam giác vuông 
Cạnh góc vuông = (Cạnh huyền) × ( sin góc đối) 
 = (Cạnh huyền) × ( côsin góc kề) 
Cạnh góc vuông = (Cạnh góc vuông) × (tang góc đối) 
 = (Cạnh góc vuông) × (cotang góc kề) 
B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 3. Toán ứng dụng thực tế 
Phương pháp giải: Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để giải 
quyết tình huống trong thực tế. 
*Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau: 
Bài 1. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 .m Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một 
góc xấp xỉ bằng 042 . Tính chiều cao của cột đèn. 
Bài 2. Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 028 và có độ cao là 2,1 .m Tính độ dài của 
mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). 
*Học sinh tự luyện các bài tập sau tại lớp: 
Bài 3. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 5 .m Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một 
góc xấp xỉ bằng 050 . Tính chiều cao của cột đèn. 
Bài 4. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5 .m Hãy tính góc 
 BCA (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất. 
 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 19 
 Website: tailieumontoan.com 
Dạng 4. Toán tổng hợp 
Phương pháp giải: Vận dụng linh hoạt một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác 
vuông để giải toán. 
*Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập sau: 
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại ,A có .AC AB> Đường cao .AH Gọi ,D E lần lượt là 
hình chiếu của H trên , .AB AC 
a) Chứng minh . .AD AB AE AC= và tam giác ABC đồng dạng với tam giác .AED 
b) Cho biết 2 , 4,5 .BH cm HC cm= = Tính dộ dài đoạn thẳng .DE 
c) Tính số đo góc ABC (làm tròn đến độ). 
d) Tính diện tích tam giác .ADE 
*Học sinh tự luyện bài tập sau tại lớp: 
Bài 6. Cho hình chữ nhật .ABCD Qua B kẻ đường thẳng vuông gó