Bài tập môn Hình học Lớp 9

BÀI TẬP GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG – LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
Bài 1. Từ điểm A trên (O) vẽ tiếp tuyến d với đường tròn. Trên d lấy điểm T sao cho AT = OA. Tính số đo góc ở tâm AOB. Tính số đo cung lớn AB.
Bài 2. Hai tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau ở M, biết góc AMB = 350
a. Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi 2 bán kính OA, OB
b. Tính số đo cung lớn và cung nhỏ AB
Bài 3. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây . Tính số đo của hai cung AB.
Bài 4. Cho (O;R); AB là dây cung của (O) sao cho AB = R3 . M là 1 điểm trên cung lớn AB. Số đo cung AMB là bao nhiêu?
Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB.
Bài 6. Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM = 10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra.
Bài 7. Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD, DE và EC.
Bài 8. Trên (O) lấy 3 điểm A, B, C sao cho cung AB = cung BC = cung CA.
a. Tam giác ABC là tg gì?
b. Tính các cạnh của tg ABC theo bán kính R của (O).
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Biết , hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC
Bài 10. Cho 2 đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ 2 của AC với (O’).
a. So sánh các cung BC, BD của 2 đường tròn.
b. Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD.
c. CM O’B vuông góc DE.
Bài 11. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tg DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD
a. CM OH > OK	b. So sánh 2 cung nhỏ BD và BC.
Bài 12. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và . Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C.
a) Chứng minh rằng .	b) Tính số đo của hai cung AB.
GÓC NỘI TIẾP
Bài 1. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC, AD. Chứng minh C, B, D thẳng hàng.
Bài 2. Cho đường tròn (O) có đường kính AB vuông góc dây cung CD tại E. Chứng minh rằng: .
Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm trên AC. Đường tròn đường kính CM cắt BM và BC lần lượt tại D và N. AD cắt đường tròn nói trên tại S. Chứng minh:
a. A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b. CA là phân giác của góc SCB.
c. AB, MN và CD đồng quy.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng . Nửa đường tròn đường kính AC cắt AB tại D và BC tại H. Tính số đo các cung AD, DH và HC.
Bài 5. Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.
	a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng.
	b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
Bài 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng .
	a) So sánh các góc của tam giác ABC.
	b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB.
Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên một nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng:
	a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng.
	b) ID ^ MN.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A (). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
	a) Tam giác DBE cân.	b) .
Bài 9. Cho tg đều ABC nội tiếp (O). Lấy M nằm trên cung BC. Chứng minh MB + MC = MA.
Bài 10. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính MN ^ BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.
Bài 11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.
	a) Tứ giác BFCH là hình gì?
	b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.
	c) Chứng minh rằng .
Bài 12. Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ hai cát tuyến CAD và EAF (C và E trên (O) ) sao cho góc CAB = góc BAF. Chứng minh rằng:
a. CD = EF	b. BC. BF = BE.BD
Bài 13. Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F.
	a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.
	b) Vẽ CH ^ AB. Chứng minh rằng tia CM là tia phân giác của góc .
GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Bài 1. Từ một điểm M bên ngoài một đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến MT và 1 cát tuyến MAB của đường tròn đó. Chứng minh khi cho cát tuyến MAB quay quanh điểm M, ta luôn có MT2 = MA. MB
Bài 2. Cho đường thẳng d ko cắt (O), vẽ đường kính CD vuông góc với d tại I. Kẻ tiếp tuyến IA với (O). Đường thẳng CA cắt d tại B. Chứng minh IA = IB.
Bài 3. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
	a) Chứng minh rằng tia CA là tia phân giác của góc MCH.
	b) Giả sử MA = a, MC = 2a. Tính AB và CH theo a.
Bài 4. Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) tiếp xúc trong tại A. Dây BC của (O) tiếp xúc (O’) tại M (3 điểm A, O, M ko thẳng hàng). E và F là các giao điểm của AB với AC với (O’). Chứng minh EF song song BC.
Bài 5. Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) tiếp xúc trong tại A. Dây BC của (O) tiếp xúc (O’) tại M. Chứng minh AM là tia phân giác góc BAC.
Bài 6. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt (O) tại điểm thứ 2 là P. Tia PB cắt (O’) tại Q. Chứng minh AQ song song với tiếp tuyến tại P của (O).
Bài 7. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây AC và tia tiếp tuyến Bx nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn . Tia phân giác của góc CAB cắt dây BC tại F , cắt nửa đường tròn tại H , cắt Bx ở D. 
a) Chứng minh FB = DB và HF = HD 
 b) Gọi M là giao điểm của AC và Bx . Chứng minh AC . AM = AH . AD 
 c) Tính tích AF .AH + BF.BC theo bán kính R của đường tròn (O) 
Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ( AB < AC ) . Đường tròn (I) đi qua B và C , tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D . Chứng minh rằng : OA ^ BD . 
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) ở M . Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt các tia AB và AC lần lượt ở D và E . Chứng minh : 
 a) BC // DE 
 b) DAMB và DMCE dồng dạng ,DAMC và DMDB đồng dạng.
 c) Nếu AC = CE thì MA2 = MD . ME 
Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O1) ở ngoài nhau . Đường nối tâm OO1 cắt các đường tròn (O) và (O1) tại các điểm A , B , C , D theo thứ tự trên đường thẳng . Kẻ tiếp tuyến tuyến chung ngoài EF ( E Î (O) , F Î (O1) ) . Gọi M là giao điểm của AE và DF , N là giao điểm của EB và FC . Chứng minh rằng : 
Tứ giác MENF là hình chữ nhật . 
MN ^ AD 
ME . MA = MF . MD 
Bài 11. Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC = CM.
	a) Tính góc AOI.	b) Tính độ dài OM.
Bài 12. Cho (O), dây MN và tiếp tuyến Mx. Trên Mx lấy T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại S. Chứng minh:
a. SM = ST	b. TM2 = TN.TS
Bài 13. Cho tam giác ABC nội tiếp (O); At là tiếp tuyến của (O). Đường thẳng qua O song song với At cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh AB.AM = AC. AN
Bài 14. Cho tg ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P.
a. Chứng minh tg PAC đồng dạng với tg PBA.
b. PA2 = PB. PC và MB2 = MA.MD
Bài 15. Cho (O) tiếp xúc với cạnh Ax và Ay của góc xAy lần lượt ở B và C. Đường thẳng kẻ qua C song song với Ax cắt (O) tại D. AD cắt (O) tại M, CM cắt AB ở N. Chứng minh:
a. ANC đồng dạng MNA	b. AN = BN
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BD tại D. Chứng minh SA = SD
Bài 2. Từ điểm A bên ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là phân giác góc CBD.
Bài 3. Cho (O;R) đường kính AB. Trên nửa đường tròn đk AB lấy dây CD = R. Gọi M là giao điểm của AC và BD; N là giao điểm AD và BC. Tính góc AMB và ANB.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có 4 đỉnh thuộc (O). Gọi P là điểm chính giữa cung AB (phần ko chứa C, D). Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại K. Dây AC cắt PD tại M, dây PC cắt BD tại N. Chứng minh góc CID = CKD; góc CMD = CND.
Bài 5. Cho tg ABC cân tại A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. Gọi AD cắt đường tròn tại E. Chứng minh góc ABE = ADC.
Bài 6. Từ điểm P nằm ngoài (O), kẻ tiếp tuyến PA. Từ trung điểm B của PA kẻ cát tuyến BCD. Các đường thẳng PC, PD cắt đường tròn theo thứ tự tại E và F. Chứng minh góc DCE = DPE + CAF
Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Các tia phân giác của các góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E . Chứng minh rằng : 
DBDI là tam giác cân .
DE là đường trung trực của IC . 
IF // BC ( F là giao điểm của DE và AC ).
Bài 8. Cho (O) và dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy điểm N. Các đường thẳng CN, DN cắt cạnh AB tại E; F. Tiếp tuyến của (O) tại N cắt AB tại I. Chứng minh IF = IN = IE
Bài 9. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME và MF ( E và F là hai tiếp điểm ) . Kẻ dây EG của đường tròn (I) song song MF. Gọi H là giao điểm của MG với (I) và K là giao điểm của EH với MF . 
 a) Chứng minh KF2 = KE . KH . 
 b) Chứng minh K là trung điểm của MF . 
Bài 10. Từ điểm E ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ 2 cát tuyến EAB, EDC sao cho AB < CD. Tia DA và CB cắt nhau tại F. Tia phân giác của góc CEB và CFD cắt nhau tại I. Chứng minh EI vuông góc IF.
Bài 11. Cho tg ABC nội tiếp (O). Gọi M,N là điểm chính giữa cung AB, BC; AN cắt CM tại I.
a. Chứng minh BNI cân
b. NM cắt AB tại K. Chứng minh IK song song BC.
Bài 12. Cho tg ABC nội tiếp (O). Gọi P, Q, R lần lượt là các giao điểm của các tia phân giác trong góc A, B, C với đường tròn. Chứng minh AP vuông góc QR.
Bài 13. Cho tg nhọn ABC (AB > BC) nội tiếp (O). D là điểm chính giữa cung AC. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD; AD và BC. Chứng minh rằng góc AED < góc CFD
Bài 14. Cho tg đều ABC nội tiếp (O). D là 1 điểm di động trên cung nhỏ AC. Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh tích AE.BF không phụ thuộc vào vị tí điểm D.
Bài 15. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.
Bài 16. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC. Chứng minh góc ASC = góc MCA
Bài 17. Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC,CD, DB sao cho cung AC = cung CD = cung DB = 600. AC, BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng 
a. Góc AEB = góc BTC	
b. CD là tia phân giác của BTC.
Bài 18. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng Cm cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM.
Bài 19. Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên tròn đường tròn.
Bài 20. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P,Q,R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.
a) Chứng minh AP ⊥ QR.
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân.
Bài 21. Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I. Chứng minh AOC = AIC.
Bài 22. Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến PT và cắt tuyến PAB đến (O) ( A nằm giữa P và B), phân giác góc ATB cắt AB tại C và (O) tại D.
a) Chứng minh: PT=PC 
b) Chứng minh: BD2=DC.DT